胡永強(qiáng)

近年來(lái)許多地區(qū)都以二次函數(shù)知識(shí)為背景編制中考?jí)狠S題。解決這類問(wèn)題通常需要引入新的參數(shù)代入函數(shù)表達(dá)式得出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)表示一些線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)題目的條件建立這些線段之間的相等關(guān)系或比例關(guān)系，得到方程并求出新參數(shù)的值，從而解決問(wèn)題。下面以2019年四川省南充市中考試卷第25題為例進(jìn)行詳細(xì)解讀，供同學(xué)們參考。

如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（-3，0），且OB=OC。

（1）求拋物線的解析式。

（2）點(diǎn)P在拋物線上，且∠POB=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（3）拋物線上兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m+4。點(diǎn)D是拋物線上M、N之間的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交MN于點(diǎn)E。

1求DE的最大值;

2點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)為F，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形MDNF為矩形？

【思路突破】（1）由點(diǎn)B（-3，0）和OB=OC這兩個(gè)條件可得點(diǎn)C（0，-3），將A（-1，0）、B（-3，0）、C（0，-3）代入y=ax2+bx+c得方程組，解方程組后即可求出拋物線的解析式為y=-x2-4x-3。我們還可以由點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（-3，0）設(shè)二次函數(shù)的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+3）（x+1），將點(diǎn)C（0，-3）代入y=a（x+3）（x+1），得a=-1，則拋物線的解析式為y=-x2-4x-3。

（2）因?yàn)辄c(diǎn)A、B、C三點(diǎn)確定，因此∠ACB為一定值。圖中的∠ACB所在的三角形為鈍角三角形，不利于解決問(wèn)題，可依托∠ACB構(gòu)造一個(gè)直角三角形，再用直角三角形的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。

如圖2，作AH⊥BC于點(diǎn)H，因?yàn)锳（-1，0）、B（-3，0）、C（0，-3），則AB=2，OB=OC=3，BC=32，所以∠ABC=45°，所

過(guò)點(diǎn)P向兩條坐標(biāo)軸作垂線段，構(gòu)造直角三角形，再借助點(diǎn)P的坐標(biāo)表示

因?yàn)镈E∥y軸，所以我們可以設(shè)點(diǎn)D、E的橫坐標(biāo)為d，將其代入拋物線和直線MN的解析式表示出點(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)，再將點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)作差，即可得到DE的二次表達(dá)式，最后結(jié)合求二次函數(shù)最值的相關(guān)知識(shí)求出DE的最大值。

我們首先要求出直線MN的解析式。由題意得M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35），設(shè)直線MN的解析式為y=kx+n，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入y=kx+n以直線MN的解析式為y=（-2m-8）x+m2+4m-3。設(shè)D（d，-d2-4d-3），因?yàn)镈E∥y軸，所以DE=-d2+（2m+4）d-m2-4m=-[d-（m+2）]2+4，所以當(dāng)d=m+2時(shí)，線段DE的值最大為4。

2如圖5，此問(wèn)屬于矩形存在性問(wèn)題。由題意得ED=EF，因此可以從對(duì)角線的角度入手，只要EM=EN就可以推出四邊形MDNF為平行四邊形，如果再有DE=EM，就可推出DF=MN，根據(jù)“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”可推出四邊形MDNF是矩形。

引入新的字母表示點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，從而表示出線段DE和線段EM的長(zhǎng)，根據(jù)DE=EM得到方程，解出方程，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。具體解法如下：因?yàn)辄c(diǎn)M、N在拋物線上，所以M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35）。因?yàn)樗倪呅蜯DNF是矩形，所以DF=MN且DF與MN互相平分，即DE=EM，點(diǎn)E為MN的中點(diǎn)，所以E（m+2，-m2-形MDNF是矩形。注意，此問(wèn)還可以從矩形的定義切入，由DF與MN互相平分可推出四邊形MDNF為平行四邊形，若∠MDN是直角即可判斷四邊形MDNF是矩形。那么我們可以過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)S，過(guò)點(diǎn)M、N分別作DS的垂線，構(gòu)造“K型圖”，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列方程求解。

【解后反思】解決這類問(wèn)題的突破口是用新的參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)及線段的長(zhǎng)，關(guān)鍵是建立這些線段之間的等量關(guān)系或比例關(guān)系。此類題的難點(diǎn)是計(jì)算，一要計(jì)算準(zhǔn)確，二要注重驗(yàn)算。

（作者單位：江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校）