張 婧, 劉興祥, 董朦朦
(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西延安 716000)
矩陣是許多理工學(xué)科的主要數(shù)學(xué)工具,與眾多學(xué)科的研究發(fā)展息息相關(guān). 而在矩陣這個(gè)龐大的主干下有一類特殊矩陣-幻方. 近年來(lái),許多學(xué)者關(guān)注幻方研究的問(wèn)題,其研究成果[1-16]也層出不窮. 本文在充分掌握了幻方定義及性質(zhì)之后,研究一種新的幻方即完美和幻方,又稱純幻方和泛對(duì)角線幻方,并總結(jié)出雙偶數(shù)階完美始元和幻方的一種構(gòu)造方法.
令C=4k?A+B,則C 是始元完美和完美幻方.
證明 1)先證明矩陣A 的行和、列和、主副對(duì)角線和及其與主副對(duì)角線平行的線上和相等:
3)證明矩陣C 為始元完美和幻方:
根據(jù)矩陣A 和矩陣B 都是完美幻方,則矩陣C=4k?A+B,則矩陣C 是幻和為32k3+2k2的完美和幻方,再證矩陣C 為始元完美和幻方,由矩陣A 的構(gòu)造知A 中元素的行下標(biāo)被4 整除,余數(shù)相同的,列下標(biāo)被2整除余數(shù)相同的元素,構(gòu)造方法相同;矩陣B 中元素的行下標(biāo)被2整除余數(shù)相同,并且所在列在前2k,或后2k的,元素構(gòu)造方法相同,所以我們根據(jù)所在的行構(gòu)造方法,只需對(duì)矩陣C 的前4行進(jìn)行驗(yàn)證,若矩陣C 的前4行元素為兩兩互不相同的,則矩陣C 中的元素是兩兩互不相同的,并且為1-16k2個(gè)連續(xù)的正整數(shù). 矩陣A 的1、3行和2、4行的元素是由2k 組和為2k-1 的2個(gè)不相同元素的重復(fù)排列,且1、3行和2、4行的元素互不相同,但1、3兩行和2、4兩行的兩個(gè)不同元素的排列順序不同,而矩陣B 的1、3兩行和2、4兩行元素及排列順序完全相同,且為前4k 個(gè)正整數(shù)的全排列,則矩陣C 中1、3 兩行為被4k 整除,商相同的4k 個(gè)互不相同的數(shù),2、4兩行也為被4k 整除,商相同的4k 個(gè)互不相同的數(shù),且C 的前4行元素各不相同,且矩陣A 中的元素在后面的4k-4 行元素中沒(méi)有與前4 行重復(fù)的元素,則矩陣C 中的元素是兩兩互不相同的,并且為1-16k2個(gè)連續(xù)的正整數(shù). 則矩陣C 為始元完美和幻方.
證畢!
例 1)構(gòu)造4階完美幻方:
A 的幻和為6;B 的幻和為10;C 為幻和為34的4階完美始元和幻方.
2)構(gòu)造6階完美幻方:
A 的幻和為28;B 的幻和為36;C 為幻和為260的8階完美始元和幻方.