呂朋

軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)是初中階段常見的三種圖形變換，也是中考數(shù)學(xué)倒數(shù)第二題的必考內(nèi)容. 本文以2019年沈陽市沈河區(qū)二模題為例，介紹此類問題的解法.

例 如圖1，在矩形紙片 ABCD中，AB = 2，AD = 6，將紙片沿對角線AC對折，使得點D落在點P處.

（1）填空：∠BCA的大小是 .

（2）如圖2，將折疊后的紙片沿著AC剪開，把△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α角 （0°≤ α ≤ 90°），得到△AP′C′，點 P，C分別對應(yīng)點P′，C′，P′A交BC于點 E，P′C′交CD于點F.

①當(dāng)α = 15°時，求證：AB = BE;

②填空：當(dāng)點P′落在邊BC上時，連接AF，則tan∠DAF的值為 ;

③填空：在②的條件下，將△AP′C′沿著AP′折疊至△AP′C′′處，點C′對應(yīng)點C′′，AC′′交BC于點G，則線段BG的長度為 .

分析：（1）借助特殊角三角函數(shù)值即可求解;（2）根據(jù)“一線三直角”及相似三角形的知識解答即可.

解：（1）在Rt△ABC中，∠B = 90°，∴tan∠BCA =? =? = ，∴∠BCA = 30°.

（2）①當(dāng)α = 15°時，由（1）得：∠BCA = 30°，則∠P′AC′ = ∠DAC = ∠BCA = 30°，

∴∠P′AC = ∠P′AC′ - ∠CAC′ = 15°，∴∠BAE = ∠BAC - ∠P′AC = 45°，

又∵∠B = 90°，∴△ABE是等腰直角三角形，AB = BE;

②如圖3，當(dāng)點P′落在邊BC上時，可證得Rt△ADF ≌Rt△AP′F（HL），

∴∠DAF = ∠P′AF，

借助“一線三直角”可證△CFP′∽△BP′A，

∴tan∠P′AF =? = ，

在Rt△ABP′中，BP′ =? = 2，

∴CP′ = BC - BP′ = 6 - 2，

∴tan∠P′AF =? =? =? - ，∴tan∠DAF =? - .

③方法一：如圖4，過點G作GQ⊥AP′，垂足為點Q，

在Rt△AC′′P′中，∠C′′AP′ = 30°，

設(shè)GQ = x，則AQ = x，P′Q = 6 - x，

∵∠GP′Q = ∠AP′B，∠GQP′ = ∠ABP′ = 90°，∴△GP′Q∽△AP′B，

∴ =? = ，即： =? = ，

∴GP′ = x， = ，解得x = 6 - 6，

∴BG = BP′ - GP′ = 2 - x = 8 - 18;

方法二：如圖5，過點G作GQ⊥C′′P′，垂足為點Q，

在Rt△GQC′′中，∠GC′′Q = 60°，

設(shè)C′′Q = x，則GQ = x，P′Q = 2 - x，可證得△GP′Q∽△P′AB，

∴ =? = ，即： =? = ，

∴GP′ = ，∴ = ，解得x = 6 - 4，

∴BG = BP′ - GP′ = 2 -? = 8 - 18;

方法三：如圖6，過點C′′作C′′Q⊥BC，垂足為點Q，可證得△C′′P′Q∽△P′AB，

∴ =? = ，即： =? = ，

∴P′Q = 2，C′′Q = 2，

設(shè)BG = x，則GQ = 2 - 2 - x，可證得△C′′GQ∽△AGB，

∴ = ，即 = ，

解得x = 8 - 18.

即BG = 8 - 18.

點評：解題過程中運用了多種方法，涉及“A字型”相似、“X字型”相似、勾股定理、“一線三直角”模型、特殊的三角函數(shù)值應(yīng)用以及函數(shù)思想，同學(xué)們要注意體會每種方法各自的特點.