摘?要：在高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容中，極值點(diǎn)偏移是非常重要的一部分，極值點(diǎn)偏移及函數(shù)思想對(duì)于整個(gè)高中數(shù)學(xué)都有貫穿，函數(shù)教學(xué)目的是讓學(xué)生能夠通過(guò)函數(shù)模型來(lái)對(duì)客觀世界的變化規(guī)律進(jìn)行描述，隨著新課改的實(shí)施，高中數(shù)學(xué)新教材中開(kāi)始體現(xiàn)出導(dǎo)數(shù)知識(shí)，這一改變使高中數(shù)學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生新的生機(jī)和活力，為很多數(shù)學(xué)問(wèn)題提供新的視角和解決方法，同時(shí)對(duì)于高考命題空間來(lái)說(shuō)也進(jìn)一步增大了.當(dāng)然，在高中數(shù)學(xué)解題中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的主要目的還是對(duì)于極值點(diǎn)偏移等方面的問(wèn)題進(jìn)行求解，如利用極值點(diǎn)偏移來(lái)求函數(shù)的各類問(wèn)題.本文從這個(gè)角度出發(fā)對(duì)導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)偏移進(jìn)行介紹.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);極值點(diǎn)偏移判定;運(yùn)用策略

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0040-02

收稿日期：2020-05-05

作者簡(jiǎn)介：汪杰（1982.9-），男，湖北省孝昌人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

極值點(diǎn)偏移在高中數(shù)學(xué)的引入，能夠更直觀地解決所學(xué)的函數(shù)問(wèn)題，為學(xué)生們提供更便捷的解題思路，讓學(xué)生能夠快速地解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有利于學(xué)生未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).本文著手這一角度，對(duì)導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值以及最值問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行介紹.

一、函數(shù)極值概述

1.極值點(diǎn)偏移的判斷定理

對(duì)于一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），在它的區(qū)間（a，b）之間只有一個(gè)極大值/極小值點(diǎn)x0，假設(shè)該方程的兩個(gè)根是x1、x2，其中存在關(guān)系a

情況1：如果f（x1）x0或者是（x1+x2）/2

因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），在區(qū)間（a，b）上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)x0，則函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增/單調(diào)遞增區(qū)間為（a，x0），單調(diào)遞減/單調(diào)遞增區(qū)間為（x0，b），另外又因?yàn)榇嬖赼2x0-x2，即（x1+x2）/2>x0或者是（x1+x2）/2

情況2：如果f（x1）>f（2x0-x2），那么（x1+x2）/2>x0或者是（x1+x2）/2

因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），在區(qū)間（a，b）上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)x0，則函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增/單調(diào)遞增區(qū)間為（a，x0），單調(diào)遞減/單調(diào)遞增區(qū)間為（x0，b），另外又因?yàn)榇嬖赼x0，所以結(jié)合f（x1）2x0-x2/x1<2x0-x2，即（x1+x2）/2x0，得出函數(shù)y=f（x）極小值/極大值點(diǎn)x0右偏/左偏.

2.求可導(dǎo)函數(shù)f（x）極值的步驟

第一步，確定函數(shù)定義區(qū)間，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo).第二步，求出f ′（x0）=0的根.第三步，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)來(lái)將函數(shù)定義域順次劃分為若干小開(kāi)區(qū)間，并整理成表格，針對(duì)導(dǎo)數(shù)方程根兩端的值符號(hào)進(jìn)行判斷，左正右負(fù)為極大值，左負(fù)右正為極小值，如果左右不改變符號(hào)，那么該函數(shù)在這個(gè)根處沒(méi)有極值.

3.函數(shù)極值注意事項(xiàng)

（1）極極值的運(yùn)用能夠更快速地解決函數(shù)問(wèn)題.但極值是一個(gè)局部的概念，僅針對(duì)所要解決的函數(shù)問(wèn)題運(yùn)用極值進(jìn)行函數(shù)的區(qū)間判斷，通過(guò)分析與計(jì)算明確函數(shù)的最大值和最小值，但并不能說(shuō)明這點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)就是最大的或者最小的;

（2）極值點(diǎn)偏移指的是對(duì)于單極值函數(shù)來(lái)說(shuō)，因?yàn)樗暮瘮?shù)極值點(diǎn)左右增減速度有所不同，所以函數(shù)圖象就不具備一定的對(duì)稱性.若函數(shù)的左右不改變符號(hào)，那么可以說(shuō)函數(shù)在這個(gè)定義區(qū)間內(nèi)沒(méi)有極值.

二、運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法

1.求出函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)x0;

2.構(gòu)造一元函數(shù)F（x）=f（x0+x）-f（x0-x）;

3.確定函數(shù)F（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間;

4.根據(jù)F（0）=0，判斷F（x）的符號(hào)，進(jìn)一步確定

f（x0+x）、f（x0-x）的大小關(guān)系[3].

三、運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的運(yùn)用策略

1.構(gòu)造函數(shù)法

構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)（主要適用于用判定定理2）判斷極值點(diǎn)時(shí)

（1）求出函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)x0;

（2）構(gòu)造一元差函數(shù)F（x）=f（x0+x）-f（x0-x）;

（3）確定函數(shù)F（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間;

（4）根據(jù)F（0）=0，判斷F（x）的符號(hào)，進(jìn)一步確定f（x0+x）、f（x0-x）的大小關(guān)系.

2.構(gòu)造比較函數(shù)

（主要適用于用判定定理1或者定義）判斷極值點(diǎn)時(shí)

（1）把x1+x2轉(zhuǎn)化為t的函數(shù);

（2）設(shè)t=x2/x1、t=ln（x2/x1）、t=x2-x1、t=ex2-x1等.

3.不等式放縮

極值點(diǎn)偏移的有關(guān)問(wèn)題中，函數(shù)中如果存在ex、lnx的式子時(shí)，很難用到基本不等式，所以需要利用平均不等式或者是指數(shù)不等式，采用不等式放縮法求解.

兩個(gè)正數(shù)a，b的對(duì)數(shù)平均L（a，b）=（a-b）/（lna-lnb）（a≠b），且a=b時(shí)L（a，b）=a，可得下列關(guān)系ab≤L（a，b）≤（a+b）/2.

在對(duì)數(shù)平均的定義中，設(shè)a=em，b=en，則有E（a，b）=（em-en）/（m-n）（m≠n），且E（a，b）em-en（m=n），根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等式e（m+n）/2≤E（a，b）≤（em+en）/2，此不等式為指數(shù)不等式.

本文針對(duì)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題及運(yùn)用策略分別展開(kāi)詳細(xì)闡述，總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師需要讓學(xué)生能夠掌握利用極值點(diǎn)偏移思想來(lái)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求解，這樣有利于學(xué)生對(duì)于函數(shù)極值問(wèn)題在進(jìn)行解題時(shí)更加準(zhǔn)確和快速，而極值點(diǎn)偏移貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，當(dāng)學(xué)生對(duì)于函數(shù)問(wèn)題能夠有更深層次地理解和應(yīng)用，那么有利于整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

[1]羅誠(chéng).函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（7）：8-9.

[2]鄒生書.函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的三種求解策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2017（03）：42-44.

[3]呂二動(dòng)，田科.破解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的三種策略[J].高中生之友（高考版），2019（07）：37-38.

[4]施小平.例談函數(shù)極值點(diǎn)偏移背景下非常規(guī)題型的處理策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2019（6）：23-25.

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