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例談一類三角混合題的求解策略

2020-09-10 07:22黃智銳江中偉
關(guān)鍵詞:奇函數(shù)切線零點(diǎn)

黃智銳 江中偉

摘?要:本文根據(jù)近幾年的高考題或模擬題,總結(jié)了幾種類型和解決此類問(wèn)題的基本思路.對(duì)高考復(fù)習(xí)有參考價(jià)值.

關(guān)鍵詞:三角題;相結(jié)合

中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2020)22-0055-03

近幾年來(lái),全國(guó)和各省高考對(duì)三角函數(shù)部分的考查,在內(nèi)容、題量、分值三個(gè)方面保持相對(duì)穩(wěn)定的同時(shí),加大了對(duì)三角函數(shù)和其他函數(shù)結(jié)合的一類新函數(shù)的考查,難度較大,往往都是壓軸題. 這樣的命題意在考查考生的計(jì)算能力、演繹推理能力、綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能. 近幾年來(lái)不斷在高考的相關(guān)問(wèn)題中出現(xiàn),成為高考題型中的一個(gè)創(chuàng)新,僅供參考.

一、sinx、cosx或tanx與一次函數(shù)的和或差相結(jié)合

此題型形如f(x)=asinx+bx+c、f(x)=acosx+bx+c或f(x)=atanx+bx+c(a,b,c∈R).

例1?設(shè)函數(shù)f(x)=ax-sinx.若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(π,f(π))處的切線方程.

解析?由已知得f(x)=x-sinx,求導(dǎo)得f ′(x)=1-cosx,因?yàn)閒(π)=π,f ′(π)=2,故所求的切線方程為y-π=2(x-π),即y=2x-π.

點(diǎn)評(píng)?根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程.

例2?設(shè)函數(shù)f(x)=3x+2cosx,g(x)=(ex-1)(e2x-5),若x1∈(-SymboleB@

,0],x2∈R,f(x1)+a≤g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().

A.(-SymboleB@

,-2]B. (-SymboleB@

,-4027]

C. (-SymboleB@

,-3]D. (-SymboleB@

,-9427]

解析?因?yàn)閒 ′(x)=3-2sinx>0,所以f(x)在(-SymboleB@

,0]上為增函數(shù),所以f(x)max=f(0)=2.令t=ex(t>0),則h(t)=(t-1)(t2-5),h′(t)=(t+1)(3t-5).當(dāng)0<t<53時(shí),h′(t)<0;當(dāng)t>53時(shí),h′(t)>0.所以h(t)min=h(53)=-4027,從而g(x)min=-4027,依題意可得a+2≤-4027,即a≤-9427.故應(yīng)選D.

點(diǎn)評(píng)?求導(dǎo),確定f(x)max=f(0)=2,然后換元,構(gòu)造函數(shù)求出g(x)=(ex-1)(e2x-5)的最小值,利用f(x)max+a ≤ g(x)min,列不等式求實(shí)數(shù)a即可.

請(qǐng)同學(xué)們思考:

1.若x1∈(-SymboleB@

,0],x2∈[-1,1],其余條件不變,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

2.若x1∈(-SymboleB@

,0],x2∈[-1,1],其余條件不變,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

3.若x1∈(-SymboleB@

,0],x2∈[-1,1],其余條件不變,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

二、sinx、cosx或tanx與二次函數(shù)的和或差相結(jié)合

此題型形如f(x)=asinx+bx2+cx+d、f(x)=acosx+bx2+cx+d或f(x)=atanx+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R).

例3?設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+kx2+(2k-1)x(x∈R).

(1)證明:對(duì)k∈R,函數(shù)f(x)都不是奇函數(shù);

(2)當(dāng)k=12時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

解析?(1)假設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù),因?yàn)閤∈R,所以f(0)=0,這與f(0)=k·02+cos0+(2k-1)·0=1矛盾.故對(duì)k∈R,函數(shù)f(x)都不是奇函數(shù).

(2)當(dāng)k=12時(shí),f(x)=cosx+12x2,令f ′(x)=x-sinx=g(x),則g′(x)=1-cosx≥0,g(x)即f ′(x)在R上單調(diào)遞增.又f ′(0)=0,則當(dāng)x>0時(shí),f ′(x)>0,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+SymboleB@

).

點(diǎn)評(píng)?(1)采用反證法,假設(shè)f(x)為奇函數(shù),則必有f(0)=0與f(0)=1矛盾,故假設(shè)不成立,即可證明f(x)不是奇函數(shù);

(2)將k=12代入,求導(dǎo)后再構(gòu)造新函數(shù),再求導(dǎo)判斷單調(diào)性,結(jié)合特殊點(diǎn),即可求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

三、sinx、cosx或tanx與三次函數(shù)的和或差相結(jié)合

此題型形如f(x)=asinx+bx3+cx2+dx+e、f(x)=acosx+bx3+cx2+dx+e或f(x)=atanx+bx3+cx2+dx+e(a,b,c,d,e∈R).

例4設(shè)函數(shù)f(x)=ax-sinx.當(dāng)a≤1,x∈[0,+SymboleB@

)時(shí),證明:f(x)≤16x3.

解析?設(shè)g(x)=ax-sinx-16x3,則當(dāng)a≤1時(shí),g(x)≤x-sinx-16x3.令h(x)=x-sinx-16x3,x∈[0,+SymboleB@

),則只要證明h(x)≤0即可.設(shè)h′(x)=1-cosx-12x2=m(x),則m′(x)=sinx-x在[0,+SymboleB@

)上單調(diào)遞減,因此m(x)≤m(0)=0,即h′(x)≤h′(0)=0,則h(x)≤h(0)=0,故f(x)≤16x3,得證.

點(diǎn)評(píng)?構(gòu)造函數(shù)h(x)=x-sinx-16x3,證明h(x)≤0恒成立即可,分析函數(shù)h(x)的單調(diào)性,從而可證明.

四、sinx、cosx或tanx與指數(shù)函數(shù)的和或差相結(jié)合

例5?已知函數(shù)f(x)=ex-cosx.

(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(2)求證:f(x)在(-π2,+SymboleB@

)上僅有2個(gè)零點(diǎn).

解析?(1)∵f(x)=ex-cosx,則f ′(x)=ex+sinx,∴f(0)=0,f ′(0)=1.故函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程y=x.

(2)當(dāng)x>0時(shí),ex>1≥cosx,此時(shí)f(x)=ex-cosx>0,所以函數(shù)f(x)在(0,+SymboleB@

)上沒(méi)有零點(diǎn).又f(0)=0,下面只需證明函數(shù)f(x)在(-π2,0)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).構(gòu)造函數(shù)g(x)=f ′(x)=ex+sinx,則g′(x)=ex+cosx.當(dāng)-π2<x<0時(shí),g′(x)>0,所以函數(shù)g(x)在(-π2,0)上單調(diào)遞增.因?yàn)閒 ′(-π2)=e-π/2-1<0,f ′(0)=1,由零點(diǎn)存在定理知,存在t∈(-π2,0),使得f ′(t)=0,且當(dāng)-π2<x<t時(shí),f ′(x)<0;當(dāng)t<x<0時(shí),f ′(x)>0,所以函數(shù)f(x)在x=t處取得極小值,則f(t)<f(0)=0.又f(-π2)=e-π2>0,所以f(-π2)·f(-t)<0,由零點(diǎn)存在定理知,函數(shù)f(x)在(-π2,0)上有且只有一個(gè)零點(diǎn). 綜上所述,函數(shù)f(x)在(-π2,+SymboleB@

)上僅有2個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)?(1)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程是基本題型,只需求出f(x0)和f ′(x0),然后利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出所求切線的方程即可;

(2)利用分類討論思想,當(dāng)x>0時(shí),ex>cosx來(lái)說(shuō)明函數(shù)f(x)在(0,+SymboleB@

)上沒(méi)有零點(diǎn),并利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)f(x)在(-π2,0)上有且只有一個(gè)零點(diǎn),結(jié)合f(0)=0,可證明函數(shù)f(x)在(-π2,+SymboleB@

)上有兩個(gè)零點(diǎn).

五、sinx、cosx或tanx與對(duì)數(shù)函數(shù)的和或差相結(jié)合

例6?函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x),f ′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

證明:f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

解析?顯然f(0)=0,故x=0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn).∵f(π2)=1-ln(1+π2)>0,f(e-1)=sin(e-1)-1<0,且f(x)在(-1,+SymboleB@

)上是連續(xù)函數(shù),∴由零點(diǎn)存在定理知,存在x1∈(π2,e-1)使得f(x1)=0.

①當(dāng)-1<x<0時(shí),∵f ′(x)=cosx-11+x<0,∴f(x)在(-1,0)上是單調(diào)遞減.又f(0)=0,∴f(x)>0;

②當(dāng)0<x<x1時(shí),∵sinx>ln(1+x),∴f(x)>0;

③當(dāng)x1<x<2π時(shí),∵sinx<f(x1),ln(1+x)>f(x1),∴f(x)>0;

④當(dāng)x>2π時(shí),∵ln(1+x)>lne=1,sinx≤1,∴f(x)>0.

故f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)?此題是2019年高考理數(shù)全國(guó)Ⅰ卷第20題第(2)問(wèn),用分類討論的方法結(jié)合求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用零點(diǎn)存在定理可證得.

六、 sinx、cosx或tanx與分式函數(shù)的積或商相結(jié)合

例7?已知函數(shù)f(x)=sinxx.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(π2,f(π2))處的切線的縱截距;

(2)求函數(shù)f(x)在[π2,π]上的值域.

解析?(1)∵f ′(x)=xcosx-sinxx2,f(π2)=2π,

f ′(π2)=-4π2,∴切線方程為y-2π=-4π2(x-π2).令x=0,得y=4π,故所求切線的縱截距為4π.

(2)令g(x)=xcosx-sinx,x∈[π2,π],則g′(x)=-xsinx<0,所以g(x)在[π2,π]上單調(diào)遞減,可得g(x)∈[-π,-1],因此f ′(x)<0,f(x)在[π2,π]上單調(diào)遞減,可得0≤f(x)≤2π.

故函數(shù)f(x)在[π2,π]上的值域是[0,2π].

點(diǎn)評(píng)?(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),再求切線的斜率寫(xiě)出切線方程,即得切線的縱截距.

(2)先通過(guò)二次求導(dǎo)得到函數(shù)f(x)在[π2,π]上的單調(diào)性,再求其值域得解.

七、形如f(x)=Axmsinx+Bxncosx+C (A、B、C∈R,m、n∈N*)

例8?已知f(x)=12x2sinx+xcosx,則其導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象大致是().

解析?由求導(dǎo)可得f ′(x)=12x2cosx+cosx.顯然f ′(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故排除A,B;當(dāng)x∈(0,π2)時(shí),f ′(x)>0,故排除C,因此應(yīng)選D.

點(diǎn)評(píng)?根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的解析式可判斷f ′(x)為偶函數(shù),利用偶函數(shù)圖象性質(zhì)及函數(shù)圖象的特點(diǎn)即可選出正確答案.

八、sinx、cosx或tanx與其他函數(shù)的和差積商相結(jié)合

例9?已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),且點(diǎn)P(x,ex)和點(diǎn)Q(sinx,-cosx),設(shè)函數(shù)h(x)=OP·OQ,當(dāng)x∈[-π2,π]時(shí),試判斷函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析?根據(jù)題意得h(x)=OP·OQ=xsinx-excosx,h′(x)=(ex+1)sinx +(x-ex)cosx.

①當(dāng)x∈[-π2,0]時(shí),可知ex>x,又sinx≤0,cosx≥0,因此h′(x)<0,h(x)在[-π2,0]上單調(diào)遞減.h(0)=-1<0,h(-π2)=π2>0,故h(x)在[-π2,0]上有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)x∈(0,π4]時(shí),∵cosx≥sinx>0,ex>x>0,∴excosx>xsinx,∴h(x)<0恒成立,故h(x)在(0,π4]上無(wú)零點(diǎn).

③當(dāng)x∈(π4,π2]時(shí),

∵sinx>cosx>0,∴h′(x)=(xcosx+sinx)+ex(sinx-cosx)>0,故h(x)在(π4,π2]上存在一個(gè)零點(diǎn).

④當(dāng)x∈(π2,π]時(shí),∵sinx>0,cosx<0,∴h(x)=xsinx-excosx>0恒成立,故h(x)在(π2,π]上無(wú)零點(diǎn).

綜上得,函數(shù)h(x)在[-π2,π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

點(diǎn)評(píng)?求出函數(shù)h(x)后,對(duì)區(qū)間[-π2,π]分成四種情況討論,并利用零點(diǎn)存在定理,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的情況.

總之,這類三角混合題的求解,無(wú)論如何變化,都離不開(kāi)函數(shù)單調(diào)性的研究,因此在備考中就應(yīng)該緊緊圍繞這個(gè)中心問(wèn)題,熟練掌握函數(shù)求導(dǎo)公式、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具研究單調(diào)性的方法. 進(jìn)行分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練和總結(jié).

參考文獻(xiàn):

[1]鄒生書(shū).一道經(jīng)典三角題的解法與變式[J].河北理科教學(xué)研究,2017(04):24-25+34.

[責(zé)任編輯:李?璟]

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