張浩群

摘?要：在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師不僅要強(qiáng)調(diào)知識的講解，更要注重對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，而構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，對于啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維，強(qiáng)化學(xué)生邏輯思考具有重要意義.本文從構(gòu)造法的含義出發(fā)，結(jié)合類型題分析構(gòu)造法的應(yīng)用，并反思其應(yīng)用過程，以期對提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)指導(dǎo)效果提供參考.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法;高中數(shù)學(xué);習(xí)題類型;實(shí)踐應(yīng)用

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0075-02

構(gòu)造法就是根據(jù)題設(shè)條件或結(jié)論所具有的特征、性質(zhì)，構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)模型，借助于該數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題的方法.在高中數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)中，構(gòu)造法的應(yīng)用能夠激發(fā)學(xué)生主動調(diào)用函數(shù)、方程、幾何圖形、數(shù)列等知識，促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新思考與邏輯探究，提升學(xué)生的解題能力.

一、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用類型

1.構(gòu)造函數(shù)

在解題中，學(xué)生可以根據(jù)問題條件構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解答.

例1?在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程：（x2-x+1）5-x5+4x2-8x+4=0.

分析?該方程為高次的，直接展開超出所學(xué)范圍，且過于復(fù)雜，因此并不可行，而利用函數(shù)，將高次方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，并結(jié)合函數(shù)的奇偶性進(jìn)行分析則不失為一種簡單易行的方法.

解析?（x2-2x+1）5+4x2-8x+4=（x2-2x+1）5+4（x2-2x+1）=0，則令

t=（x2-2x+1），則將原方程構(gòu)造函數(shù)

f（t）=t5+4t，通過對f（t）的分析可知f（t）在區(qū)間實(shí)數(shù)范圍

與y軸僅有一個(gè)焦點(diǎn)，此時(shí)t=0，由此可推出x2-2x+1=0，x=1.

拓展：解不等式：x（1+x2+2）+（x+1）（1+（x+1）2+2）>0.

解析?與上一例題類似，學(xué)生可以通過觀察，設(shè)f（x）=x（1+x2+2），x∈R，易證明f（x）在區(qū)間0，+SymboleB@

為單調(diào)遞增函數(shù)，且f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數(shù)，原不等式可以轉(zhuǎn)化為f（x）+f（x+1）>0，最終結(jié)果為

x>-12.

2.構(gòu)造方程

方程與數(shù)量關(guān)系、函數(shù)等知識之間存在密切聯(lián)系.在解題中根據(jù)條件構(gòu)造出一個(gè)新的方程往往能夠打開解題思路，獲得更加便捷的解決方法.

例2?求函數(shù)y=2x+1x2+x+1的值域.

解析：將函數(shù)兩邊同時(shí)乘以x2+x+1，能夠得到關(guān)于x的方程，即y（x2+x+1）=2x+1在R范圍內(nèi)有解;通過y的討論，確定函數(shù)值域，即當(dāng)y=0時(shí)，x=-12，符合條件;當(dāng)y≠0時(shí)，確定Δ≥0，即3y2≤4，最后求得函數(shù)值域?yàn)?233，233.

由上述題目可以看出方程在問題轉(zhuǎn)化中有著更加靈活的應(yīng)用，而教師應(yīng)結(jié)合問題啟發(fā)學(xué)生思考解題過程，即明確方程轉(zhuǎn)化的條件，如何結(jié)合題目特點(diǎn)設(shè)計(jì)方程，討論方程相關(guān)性質(zhì)，即判別式與韋達(dá)定理，最后將方程結(jié)論轉(zhuǎn)化為題目結(jié)論，完成對問題的有效解答.3.構(gòu)造幾何圖形

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想方法，在解題中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生將構(gòu)造法與數(shù)形結(jié)合相融合，根據(jù)數(shù)量關(guān)系對圖形進(jìn)行與構(gòu)造，利用直觀圖形實(shí)現(xiàn)對抽象問題的分析，以降低解題難度，提高階梯效果.

例3?關(guān)于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0，在區(qū)間0，2π內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根α和β，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析?在解題中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生拓展思維，思考方程問題與平面幾何問題的關(guān)系，并通過構(gòu)造幾何圖形實(shí)現(xiàn)對問題的解答.設(shè)x=cosθ，y=sinθ，則由題設(shè)知，3x+y+a=0，另方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，即y=-3x-a與圓x2+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，原點(diǎn)O到直線的距離小于1，可以得出d=0+0+a（3）2+12<1，解得-2<a<2.由于方程在區(qū)間0，2π內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根α和β，可知y=-3x-a不過點(diǎn)（1，0），即a≠-3，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a∈（-2，-3）∪（-3，2）.

4.構(gòu)造數(shù)列

數(shù)列模型具有一定的規(guī)律性，其在解題中能夠更加清晰地呈現(xiàn)問題特點(diǎn).在教學(xué)指導(dǎo)中，教師可以結(jié)合相應(yīng)問題，指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，利用數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行解題.

例4?求證：1n+1+1n+2+…+13n+1>1，其中n為正整數(shù).

解析：題目中“n為正整數(shù)”這一條件十分重要，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)可以來能想到數(shù)列，并進(jìn)行構(gòu)造：令an=1n+1+1n+2+…+13n+1，則an+1-an=13n+4+13n+3+13n+2-1n+1=13n+4+13n+2-23n+3=2（3n+2）（3n+3）（3n+4）>0.由此可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列an為遞增數(shù)列.根據(jù)a1>1最終可以證明不等式.在這一問題中，直接證明十分復(fù)雜，需要根據(jù)不等式的特點(diǎn)，與相關(guān)知識建立聯(lián)系，并利用數(shù)列模型進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化，完成證明.

二、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中需注意的問題

構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用十分廣泛，但是通過對學(xué)生解題過程與解題效果的觀察，可以發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生對于構(gòu)造法的掌握存在問題，無法細(xì)致觀察題目，在構(gòu)造模型的過程中也常常一頭霧水.針對此，教師在教學(xué)指導(dǎo)中，應(yīng)注重方法，幫助學(xué)生掌握構(gòu)造法的本質(zhì)含義，并實(shí)現(xiàn)靈活自主運(yùn)用.

在解題指導(dǎo)中，教師首先應(yīng)注重對學(xué)生觀察能力的培養(yǎng).構(gòu)造法屬于創(chuàng)新思維方法，需要學(xué)生在細(xì)致觀察中靈活調(diào)用所學(xué)知識.教師在教學(xué)指導(dǎo)中，應(yīng)鼓勵學(xué)生主動觀察，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)發(fā)現(xiàn)問題的情境，并結(jié)合問題滲透數(shù)學(xué)定理、解決數(shù)學(xué)難題的事例，融入一些富有趣味性的練習(xí)，讓學(xué)生通過自己的觀察、分析，發(fā)現(xiàn)題目之間的聯(lián)系，并激發(fā)其主動構(gòu)造的興趣，提高觀察能力.其次，教師應(yīng)注重對學(xué)生思維發(fā)展過程的培養(yǎng).構(gòu)造法的運(yùn)用是思維不斷深化發(fā)展的過程，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)精心編創(chuàng)問題，促使學(xué)生多角度地思考，經(jīng)歷假設(shè)分析、舉例驗(yàn)證、反問推理等一些列抽象思考過程，讓思路從思維定勢的框架中跳出來，用一種全新的思維方式解答問題;此外，教師還應(yīng)結(jié)合例題啟發(fā)學(xué)生思考，鼓勵學(xué)生表達(dá)，并在手腦口并用中加深印象，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的思考與應(yīng)用，同時(shí)提升學(xué)生的思維品質(zhì).再次，教師應(yīng)注重對學(xué)生舉一反三能力的培養(yǎng).舉一反三是學(xué)生思維拓展的必要途徑，在構(gòu)造法的應(yīng)用中教師可以對問題進(jìn)行變式，利用相似的題目啟發(fā)學(xué)生拓展思考，以提高知識靈活運(yùn)用能力.例如在上述“構(gòu)造函數(shù)”一節(jié)中，教師從方程拓展到不等式，不同的題目采取相同的思路，即構(gòu)造函數(shù)，以啟發(fā)學(xué)生對構(gòu)造法應(yīng)用的進(jìn)一步思考，激發(fā)其結(jié)合其它問題嘗試運(yùn)用構(gòu)造法的動力.最后，教師應(yīng)注重對學(xué)生總結(jié)反思能力的培養(yǎng).根據(jù)上述類型題舉例可以看出構(gòu)造法的應(yīng)用范圍之廣，教師在教學(xué)指導(dǎo)中，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生對多接觸的典型習(xí)題進(jìn)行總結(jié)，如構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造幾何圖形、構(gòu)造數(shù)列等，歸納解題步驟，探究構(gòu)造法的應(yīng)用思路，逐漸內(nèi)化解題方法，將解題積累逐漸轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思想方法，從而提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

總之，在高中數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)中，構(gòu)造法是一種常見，且具有創(chuàng)新意義的解題思路.在教學(xué)指導(dǎo)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入理解構(gòu)造法的含義，理解構(gòu)造的目的，并結(jié)合不同類題習(xí)題分析構(gòu)造法的應(yīng)用策略，促使學(xué)生在觀察與思考中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新解答，提高解題能力.

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[責(zé)任編輯：李?璟]