曹雪辛

韓信是中國古代一位有名的軍事家，民間流傳著許多有關(guān)他的故事，韓信點(diǎn)兵便是其中最為耳熟能詳?shù)墓适轮?，韓信點(diǎn)兵的背后蘊(yùn)含著怎樣的奧秘？中國剩余定理對現(xiàn)代又有何啟示呢？

韓信點(diǎn)兵的奧秘

秦朝末年，楚漢相爭，一次，韓信率領(lǐng)1500名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)，兩軍苦戰(zhàn)一場，楚軍不敵，敗退回營，于是，韓信整頓兵馬返回大本營，當(dāng)行至一山坡時，忽有后軍來報(bào)，說有楚軍騎兵追來，只見遠(yuǎn)方塵土飛揚(yáng)，殺聲震天，于是韓信帶領(lǐng)兵馬來到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點(diǎn)兵迎敵。

韓信命令士兵3人一排，結(jié)果多出2名;接著命令士兵5人一排，結(jié)果多出3名;他又命令士兵7人一排，結(jié)果又多出2名，韓信馬上向?qū)⑹總冃迹骸拔臆娪?073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人，”漢軍本已十分疲憊，但受到韓信的鼓舞后，隊(duì)伍頓時士氣大振，一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍步步逼近，楚軍亂作一團(tuán)，交戰(zhàn)不久，楚軍大敗而逃，部將好奇地問韓信：“大帥是如何迅速地算出我軍人馬的呢？”韓信說：“根據(jù)編隊(duì)時排尾的余數(shù)算出來的。”

韓信到底是怎么算出來的呢？

這也是中國古代的一道趣味算術(shù)題，有一首四句詩隱含了解題的思路：

三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，

七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知，

詩里讓人記住了這幾個數(shù)字：3與70.5與21.7與15.還有105（也就是3、5、7的公倍數(shù)），這些數(shù)是什么意思呢？題中3人一列多2人，用2x70;5人一列多3名，用3x21;7人一列多2人，用2×15.三個乘積相加：

2×70+3×21+2×15=233

用233除以3余2.除以5余3.除以7余1.符合題中條件，但是，因?yàn)?05是3、5、7的公倍數(shù)，所以233加上或減去若干個105仍符合條件，這樣一來，128、338、443、548、653……都可能是答案，而韓信根據(jù)現(xiàn)場觀察，得出了1073這個數(shù)字，

詩歌里的數(shù)字又是怎么得來的呢？

70是5和7的公倍數(shù)，除以3余1;

21是3和7的公倍數(shù)，除以5余1;

15是3和5的公倍數(shù)，除以7余1.

中國剩余定理

《孫子算經(jīng)》中也有類似的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？”

答曰：“二十三，”

術(shù)曰：“三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得，凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七數(shù)之剩一，則置十五，即得?！?/p>

什么意思呢？用現(xiàn)代語言說明這個解法就是：

首先找出能被5與7整除而被3除余1的數(shù)70.被3與7整除而被5除余1的數(shù)21.被3與5整除而被7除余1的數(shù)15.如果所求的數(shù)被3除余2.那么就取數(shù)70～2=140.140是被5與7整除而被3除余2的數(shù)，如果所求數(shù)被5除余3.那么取數(shù)21x3=63.63是被3與7整除而被5除余3的數(shù)，如果所求數(shù)被7除余2.那就取數(shù)15x2=30.30是被3與5整除而被7除余2的數(shù)。

140+63+30=233.由于63與30都能被3整除，所以233與140這兩數(shù)被3除的余數(shù)相同，都是余2.同理233與63這兩數(shù)被5除的余數(shù)相同，都是3.233與30被7除的余數(shù)相同，都是2.所以233是滿足題目要求的一個數(shù)，105是3、5、7的公倍數(shù)，前面說過，凡是滿足233加減105的整數(shù)倍的數(shù)都是符合題意的，因此依定理譯成算式解為：

70×2+21×3+15×2=233

233-105×2=23

這就是有名的“中國剩余定理”，或稱“孫子定理”，和韓信點(diǎn)兵是一個道理，

《孫子算經(jīng)》中的“物不知其數(shù)”題雖然開創(chuàng)了一次同余式研究的先河，但真正從完整的計(jì)算程序和理論上解決這個問題的是南宋數(shù)學(xué)家秦九韶，他在自己的著作《數(shù)學(xué)九章》中提出了一個數(shù)學(xué)方法，稱之為“大衍求一術(shù)”，即現(xiàn)代數(shù)論中一次同余式組解法，這是中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)的最高成就，比西方著名數(shù)學(xué)家高斯于1801年建立的同余理論早了554年，因而被西方稱為“中國剩余定理”，“大衍求一術(shù)”不僅在當(dāng)時處于世界領(lǐng)先地位，在近代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中，也起到了重要作用，同時，在密碼學(xué)研究中，現(xiàn)代密碼的解密和保密算法都需要用到中國剩余定理。