胡偉濤

摘要：資源分配規(guī)劃問題在軍事防御領域起著重要的作用，受限條件下的軍事資源分配是實際存在的。以往該領域的規(guī)劃、決策問題往往從期望效用理論入手，存在對敵方行為考慮不夠完全，不夠貼近現(xiàn)實情況等不確定性問題。本文采用前景理論描述敵方面臨不確定性情境下的選擇行為，并利用Logit選擇模型估算敵方選擇概率。并以防守者期望損失最小為目標，建立資源分配模型。指導防守者對目標進行資源分配，增強目標的防御能力。

一、引言

當今世界是一個和平和發(fā)展，機遇與挑戰(zhàn)共存的世界，探究未來各國軍事上難以有大規(guī)模的對抗性戰(zhàn)爭發(fā)生，但局部地區(qū)沖突總是不可避免，恐怖分子襲擊事件時有發(fā)生[1，2]。同時，各國應對這些沖突的軍事經(jīng)費又相對受限，因此如何在資源相對有限的條件下進行防御外來襲擊相關問題的研究，這是應對軍事領域的發(fā)展過程中急待解決的問題。

傳統(tǒng)的資源決策尤其是軍事防御資源分配方面一直以來都受著期望效用理論的影響，作戰(zhàn)雙方理想化的作為完全理性的決策者，但實際作戰(zhàn)對抗過程中決策者往往會表現(xiàn)出與期望效用理論不一樣的現(xiàn)象。1979年Tversky和Kahneman在此基礎上提出了前景理論[3]，使用“前景”來替代“效用”。前景理論可以較好刻畫決策者在面臨不確定情境下的主觀行為。在由此特別歸納出了兩類模型，價值函數(shù)模型和決策權(quán)重模型。

價值函數(shù)模型有如下三個重要特征：

（一）參照點依賴：決策者更加看重結(jié)果的變化值而不是最終值;

（二）風險偏好逆轉(zhuǎn)：決策者面對收益傾向于風險厭惡，面對損失傾向于風險追求;

（三）損失規(guī)避：決策者表現(xiàn)出對損失的規(guī)避程度要大于對收益的偏愛程度。

人們在決策時將事件發(fā)生的原始概率轉(zhuǎn)化為一個非線性的決策權(quán)重，并且時常表現(xiàn)為高估小概率事件和低估大概率事件。因此，Kahneman和Tversky分別得出了決策者預估行為的形如“S”形價值函數(shù)和倒“S”形的決策權(quán)重函數(shù)。

本文基于前景理論建立起軍事防御層面上的資源分配模型，結(jié)合價值函數(shù)模型和決策權(quán)重函數(shù)模型，通過Logit風險分析方法估計對手對目標打擊的概率選擇。以防守者期望損失最小為目標，建立資源分配模型。

二、基于前景理論的資源分配模型

本節(jié)主要基于前景理論相關知識對不同事件的前景值進行估算，研究在考慮敵方主觀風險態(tài)度的情況下對我方目標打擊的前景值大小?？坍嫑Q策者在面對不確定性情境下所表現(xiàn)出來的資源分配選擇與防御行為，并據(jù)此依據(jù)戰(zhàn)略Logit風險分析（SLRA）方法[4]想建立資源分配模型。

（一）敵方攻擊成功概率

在進攻者攻擊目標的概率確定上。假設目標沒有任何防護資源，則進攻者總可以成功攻擊目標，這在實際軍事對抗過程中也并非不可能，有時候為了更大的效益或者整體上效益的最優(yōu)就必須要有所取舍;相反，如果存在無限多的防護資源，則進攻者成功攻擊目標的概率接近為0，即攻擊該目標總不能達到預期的效果。由此，給出如下攻擊成功概率公式：

（1）

其中si表示對我方目標i的攻擊成功概率;αi表示防御目標i具有的防護效果，bi表示對目標i投入的資源，且有（B為可分配的總資源）。

決策者在決策過程中經(jīng)常會對起始的概率進行轉(zhuǎn)化，經(jīng)常會表現(xiàn)為對小概率事件因害怕?lián)p失而表現(xiàn)出高估的現(xiàn)象，在大概率事件因利益獲取有限而表現(xiàn)出低估的現(xiàn)象。

（二）不同事件下的前景值

假設考慮I個防御目標上的防御性對抗問題，且對應每個防御目標都可能有J個屬性的損失。防守者要將總數(shù)為B的資源分配到I個目標上，以減少敵方對目標各屬性上的傷害。假設ni為第i個前景可能的結(jié)果，xijk為第i個前景第k個可能結(jié)果上屬性j上的值，假設rj為屬性j的參考值，且由進攻方?jīng)Q定。

首先，每個事件下對應的收益值和損失值都要進行歸一化，方便后續(xù)在不同屬性上對指標值進行加權(quán)聚合。假設為歸一化后的值，參考值的確定是由攻擊者確定的，故而一個事件的結(jié)果是收益型還是成本型，取決于進攻者，而不是防守者。

采用下式對參考點值進行歸一化，如下：

（2）

（3）

其中，表示歸一化后的某個目標上第j個屬性上的參考值。

繼而，基于歸一化之后的參考點和不同屬性上的可能結(jié)果值，本文采取上文介紹到的價值函數(shù)來對每種情況下的得失情況進行處理：

，（4）

其中λj 代表防守者針對屬性j的損失厭惡系數(shù)，gj和 lj 分別是針對屬性j上的收益和損失的風險偏好。

由于防守者防守目標可能面臨多個方面的損失，每涉及多個屬性。假設已經(jīng)按降序進行排列，以的概率發(fā)生，屬性Aj有mj個收益可能，則事件i的前景值[5]為：

，（5）

和分別是針對屬性j收益和損失時候的決策權(quán)重，和是屬性j上針對收益和損失的概率決策函數(shù)。

（三） 最優(yōu)資源分配模型

采用SLRA方法來計算防守者的最佳資源分配模型。假設進攻者攻擊目標i的概率[4]為：

，（6）

其中pi為防守者對進攻者攻擊目標i的估計值，且取決于分配給目標i的資源。

防守者會采取一定的分配策略，使得自己的期望損失最小，由下式給出：

，（7）

其中kj是屬性j的權(quán)重，表示敵方對目標城市i發(fā)動攻擊成功后對屬性j上所造成的損失歸一化后的值，表示敵方對目標城市i發(fā)動攻擊失敗后對屬性j上所造成的損失歸一化后的值。

三、示例分析

自20世紀60年代以來，恐怖主義活動日益頻繁，嚴重威脅著國際社會的安全和秩序。本小節(jié)開展示例研究，旨在將所提出的資源分配模型應用于軍事領域中的對恐怖分子攻擊的目標防御問題上。

假設一個場景：恐怖分子可能襲擊四個城市A，B，C和D中任一個，意圖造成經(jīng)濟損失、人員傷亡和連鎖反應這三個方面的影響。假定每次恐怖分子只會攻擊其中一個城市。不同城市的防護程度為和。針對三個屬性的參考點設置為20億，0.3，和0.4。其中人員傷亡和連鎖反應這兩個屬性采用[0，1]區(qū)間內(nèi)的打分值進行衡量。防守者的損失厭惡程度為。針對這三個屬性的權(quán)重設為值k1=0.25，k2=0.5和k3=0.25。防守者的資源約束為B=100億。

恐怖分子在不同城市上的攻擊可對我方造成的不同屬性上的損傷值。攻擊成功時在城市A，B，C，D上造成的損失分別是60，60，50，40;失敗時分別是10，10，5，5。造成的人員傷亡在攻擊成功時分別是0.6，0.6，0.75，0.75;失敗時分別是0.2，0.25，0.35，0.15。造成的連鎖反應在攻擊成功時分別是0.7，0.65，0.65，0.6;失敗時分別是0.4，0.35，0.3，0.3。

實驗結(jié)果基于前景理論的最優(yōu)資源分配方案為是分配到各個目標城市的經(jīng)費額度;具體來說，將30億分配給了目標城市A，將25億分配給了目標城市B，27億分配給了目標城市C，以及剩余的18億分配給了目標城市D。

實驗結(jié)果同時顯示，在該資源分配方案下，恐怖分子進攻城市D成功的概率最大，為0.7。但恐怖分子在不同目標城市的進攻選擇概率由高到低依次是目標城市C，城市A，城市B，最后為城市D。防守者總體期望損失為0.278，而恐怖分子的期望收益為0.262。盡管恐怖分子進攻城市D的概率最大，但依據(jù)本文建立考量恐怖分子主觀風險偏好及不確定性因素的資源分配模型來看，恐怖分子更有可能進攻城市C，因為這種情況下恐怖分子收益最高，同時對我方造成的打擊效果最好。

四、結(jié)論

本文基于前景理論，研究了考慮敵方主觀風險偏好的資源分配對策模型。采用SLRA方法預測敵方對我方不同防御目標的攻擊概率，并以此來指導我方資源分配模型的構(gòu)建，同時分別對敵方是否具有轉(zhuǎn)移行為進行了分析與考慮，并通過示例分析驗證了該模型的可行性。這也充分說明了在考慮資源分配模型時候，需要考慮對手風險水平的重要性。

參考文獻：

[1]Bai，C.，Sarkis，J.：Supplier development investment strategies：A game theoretic evaluation. J. Annals of Operations Research. 240（2），583--615 （2016）

[2]Golany，B.，Goldberg，N.，Rothblum，U.：A two-resource allocation algorithm with an application to large-scale zero-sum defensive games. J. Computers & Operations Research. 78，218-229 （2017）

[3]Kahneman，D.，Tversky，A.：Prospect theory，an analysis of decision under risk. J. Econometrica. 47（2），264-291 （1979）

[4]Kujawski，E.：Accounting for terrorist behavior in allocating defensive counterterrorism resources. J. Risk Analysis. 18（4），365-376 （2015）

[5]Bleichrodt，H.，Schmidt，U.，Zank，H.：Additive utility in prospect theory. J. Management Science. 55（5），863-873 （2009）