張小萌

解答三角函數(shù)問題往往需要進(jìn)行一定的三角變換.這就要求同學(xué)們熟練掌握三角函數(shù)恒等變換的各種技巧.本文主要談探討了三角函數(shù)恒等變換的六種技巧.

一、角的變換技巧

在三角函數(shù)式的化簡、求值和證明過程中，一般都會(huì)出現(xiàn)一些不同的角，這時(shí)我們要觀察這些角之間是否存在和差關(guān)系、倍半關(guān)系、互補(bǔ)關(guān)系或互余關(guān)系.我們要學(xué)會(huì)利用這些角之間的關(guān)系進(jìn)行變換，建立條件與結(jié)論中角之間的聯(lián)系，從而迅速找到解答問題的辦法.

例1.已知α∈π4，3π4，β∈0，π4，且cosπ4-α=35，sin5π4+β=-1213，則cos（α+β）=______.

解析：∵α∈π4，3π4，π4-α∈-π2，0，cosπ4-α=35，∴sinπ4-α=-45，

∵sin5π4+β=-1213，∴sinπ4+β=1213，

又∵β∈0，π4，π4+β∈π4，π2，∴cosπ4+β=513，

∴cos（α+β）=cosπ4+β-π4-α=35×513-45×1213=-3365.

解答三角函數(shù)求值問題的關(guān)鍵是，把“所求角”用“已知角”表示出來.當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般可以表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式;當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，我們應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，來進(jìn)行變換.

二、函數(shù)名稱的變換技巧

在三角變形中，有時(shí)需要統(tǒng)一三角函數(shù)的名稱，即所謂的將不同名函數(shù)化為同名函數(shù).常用的辦法是切化弦或弦化切，即在同一個(gè)三角函數(shù)解析式中將正弦余弦與正切互化，使函數(shù)名稱統(tǒng)一即可.

例2.4cos50°-tan40°等于______.

解析：原式=4sin40°-sin40°cos40°=4cos40°sin40°-sin40°cos40°

=2sin80°-sin40°cos40°=2sin120°-40°-sin40°cos40°

=3cos40°+sin40°-sin40°cos40°=3cos40°cos40°=3.

本題是求非特殊角的三角函數(shù)值問題，采用化弦為切的方法，利用兩角和與差公式，求出它的值.同樣的，我們也可以采用化切為弦的方法來解題.

三、 “1”的變換技巧

在三角變換中，常用的“1”的變換有1= ? .究竟選擇哪個(gè)公式進(jìn)行變換，需具體問題具體分析，要根據(jù)題目的不同特征來確定.

例3.已知 ?，求 的值.

解：由已知得 ，

=

= ?= = .

這里把分母中的“1”用“ ”代替，分子中的“2”寫成“2×1”后，再進(jìn)行代換.

四、冪的變換技巧

對于次數(shù)較高的三角函數(shù)式，我們一般采用降冪處理.常用的降冪公式有 ， ，當(dāng)然有時(shí)需要升冪，如對 的化簡就要用升冪.

例4. 函數(shù) 的最小正周期是___;值域是___.

解析： =

= =

故該函數(shù)的最小正周期為 ，值域?yàn)?.

本題只有升冪才可將原三角函數(shù)化成 的形式，才能求出它的周期和最值.

五、公式變換技巧

對于三角函數(shù)公式，我們不僅要學(xué)會(huì)順用，還要學(xué)會(huì)逆用和變用，這樣可以達(dá)到拓寬解題思路，化難為易的目的.如由公式 ，可變?yōu)?， ;由 可變?yōu)?;由 可得 ，等等.

例5.（1+tan17°）·（1+tan28°）的值為______.

解析：原式=1+tan17°+tan28°+tan17°·tan28°

=1+tan45°（1-tan17°·tan28°）+tan17°·tan28°=2.

若三角函數(shù)式中，同時(shí)出現(xiàn) 與 ，常用 來求解.

六、結(jié)構(gòu)變換技巧

為了更好地運(yùn)用三角公式，我們有時(shí)需對條件進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整，如重新分組、移項(xiàng)、因式分解、乘除互換、配方等.

例6 .設(shè)α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα=1+sinβcosβ，則（ ? ）.

A.3α-β=π2 ? ?B.2α-β=π2 ? ?C.3α+β=π2 D.2α+β=π2

解析：由tanα=1+sinβcosβ，得sinαcosα=1+sinβcosβ，

即sinαcosβ=cosα+cosαsinβ，

∴sin（α-β）=cosα=sinπ2-α.

∵α∈0，π2，β∈0，π2，∴α-β∈-π2，π2，π2-α∈0，π2，

由sin（α-β）=sinπ2-α，得α-β=π2-α，

∴2α-β=π2. ?故選B.

本題只有將tanα=1+sinβcosβ的結(jié)構(gòu)打破，并結(jié)合三角恒等變換公式，才能導(dǎo)出α+β的關(guān)系式.

在進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，我們要注意對角、函數(shù)名稱、“1”、冪、公式、結(jié)構(gòu)進(jìn)行相應(yīng)的變換.同學(xué)們抓住這些關(guān)鍵點(diǎn)，根據(jù)題目的特征進(jìn)行相應(yīng)的變換，就可以優(yōu)化解題的方案，提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省口岸中學(xué) ）