摘 要:線性規(guī)劃是實現(xiàn)數(shù)與形溝通的重要方式,蘊藏著數(shù)形結(jié)合、化歸以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,在數(shù)學(xué)解題中有著重要的作用,提供新的解題思路和視角.線性規(guī)劃是高三數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的重要知識點,是學(xué)生必須掌握的知識點內(nèi)容,也是學(xué)生解題中常見的輔助方式,在學(xué)生之后的學(xué)習(xí)和解題中有著重要作用.在高中數(shù)學(xué)解題中,借助線性規(guī)劃解決最值問題、不等式問題以及函數(shù)問題等.文章中分析線性規(guī)劃在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略.
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)解題;線性規(guī)劃;應(yīng)用策略
中圖分類號:G632????? 文獻標(biāo)識碼:A????? 文章編號:1008-0333(2020)34-0032-02
收稿日期:2020-09-05
作者簡介:徐芹(1984.7-),女,安徽省淮北人,研究生,中學(xué)一級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.
高中數(shù)學(xué)解題中,線性規(guī)劃的應(yīng)用和解題是考試的熱點和難點,線性規(guī)劃是一種有效的解題輔助工具,在很多數(shù)學(xué)問題中廣泛使用,優(yōu)化解題過程,提高學(xué)生解題效果和質(zhì)量.作為高中數(shù)學(xué)教師,需要引導(dǎo)學(xué)生利用線性規(guī)劃解題,培養(yǎng)學(xué)生良好的解題意識,發(fā)揮線性規(guī)劃的優(yōu)勢,明確數(shù)學(xué)問題解題思路,簡化數(shù)學(xué)解題計算,有效解答數(shù)學(xué)問題.結(jié)合具體的數(shù)學(xué)解題,引導(dǎo)學(xué)生掌握線性規(guī)劃應(yīng)用技巧,不斷地歸納和總結(jié),更好地利用線性規(guī)劃解決問題,提高學(xué)生解題能力.
一、線性規(guī)劃思想遷移,解決函數(shù)最值問題
高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,函數(shù)知識是重要的內(nèi)容,函數(shù)最值求解是函數(shù)解題的重點和難點,也是高考數(shù)學(xué)中??嫉膬?nèi)容.在函數(shù)最值解題中,解題的方式有很多,應(yīng)當(dāng)根據(jù)題目特點,靈活選擇解題方式,保證解題效率.利用線性規(guī)劃解決函數(shù)最值問題,是一種有效的解題方式,特別是特殊的二元函數(shù)最值解題,降低問題解答難度,保證學(xué)生快速解決函數(shù)問題.
例1 當(dāng)a2+b2-4a+6b+11=0時,求a+b+4的最值.
分析 在解題時,需要對題目進行分析,結(jié)合已知條件進行轉(zhuǎn)化,之后根據(jù)線性規(guī)劃知識,繪制相應(yīng)的圖形,完成函數(shù)最值的解答.根據(jù)已知條件得出(a-2)2+(b+3)2=2,如圖1所示,是以(2,-3)作為圓心的圓,其半徑是2.假設(shè)k=a+b+4轉(zhuǎn)化得出b=-a+k-4,表現(xiàn)在坐標(biāo)系中是和b=-a相平行的一簇平行直線,其在b軸的截距是k-4.當(dāng)圓和直線相切時,截距存在最值.通過這樣進行計算,得出|2-3+4-k|2=2,求解得出k的值為1或者5,因此,得出a+b+4的最小值是1,最大值是5.
高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值求解時,根據(jù)題目條件進行分析,借助數(shù)形轉(zhuǎn)化思想,靈活利用線性規(guī)劃方式,明確問題解題思路,保證題目有效解答.
二、有效利用線性規(guī)劃,解決數(shù)列問題
高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)列是重要的知識內(nèi)容,其數(shù)學(xué)概念和公式比較多,數(shù)列問題解題難度比較大,也是高考數(shù)學(xué)考查的重要內(nèi)容.數(shù)列范圍問題是數(shù)列問題中的典型問題,題目綜合性比較強,通常情況下常將數(shù)列范圍問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題解題,但是,一些數(shù)列范圍問題不適合構(gòu)造函數(shù),影響學(xué)生解題.因此,教師可以引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成不等式問題,通過變形將原問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題,完成數(shù)學(xué)難題解答.
例2 已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列的前n項和,S4≥10,S5≤15,求a4的最大值.
分析 在解題的過程中,需要對題目中的已知條件進行分析,根據(jù)已知列出相應(yīng)的不等式組,2a1+3d≥5,a1+2≤3,a4=a1+3d.通過這樣的分析,實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化:已知實數(shù)x、y滿足2x+3y≥5,x+2y≤3,求解z=x+3y的最大值.通過這樣的轉(zhuǎn)化之后,引入線性規(guī)劃方法,畫出相應(yīng)的直角坐標(biāo)系,標(biāo)記出不等式表示的區(qū)域和z的直線,找出距離最大的點,則是其最大值.通過這樣的思考和解題,主要利用等差數(shù)列的基本量,利用首項和公差進行思考,將等差數(shù)列性質(zhì)和線性規(guī)劃思想結(jié)合,完成數(shù)學(xué)問題解題,提高學(xué)生解題能力.
三、利用線性規(guī)劃,解決不等式問題
不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,題目綜合性強,和方程、函數(shù)、概率等知識有著非常大的聯(lián)系.在部分不等式問題求解中,解題難度大,解題過程復(fù)雜,影響學(xué)生解題效率.在這樣的情況下,引導(dǎo)學(xué)生嘗試線性規(guī)劃解題,利用數(shù)形結(jié)合思想,將相關(guān)數(shù)量關(guān)系和信息直觀展示出來,使得解題更加簡便快捷,保證解題準確性和解題效率.
例3 已知x、y為實數(shù),并且滿足x2+y2≤1,求證:4-2≤|x+y|+|y+1|+|2y-x-3|≤6.
分析 根據(jù)已知條件x2+y2≤1,可以得出-1≤y≤1,-1≤x≤1.令t=|x+y|+|y+1|+|2y-x-3|=|x+y|+x-y+4.如果x+y≤0,t=4-2y,如圖2中所示,可行域則是x+y=0的左下方的部分,因為y的取值范圍是[-1,22],得出t=4-2y的取值范圍是[4-2,6].如果x+y≥0,那么t=2x+4,那么其可行域則是直線x+y=0的右上方部分,通過相應(yīng)的計算,可以得出直線和圓的交點分別是(-22,22),(22,-22),此時x的取值范圍是[22,1],得出t=2x+4的取值范圍是[4-2,6],完成題目問題的驗證.
在解題的過程中,將不等式的轉(zhuǎn)換和獲得可行域是解題的關(guān)鍵,根據(jù)題目已知進行分析,通過相應(yīng)的換元獲得可行域,將其轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題.此題要求學(xué)生具有比較強的思維能力,題目有著一定的深度,實現(xiàn)學(xué)生的全面考查.
四、利用線性規(guī)劃,解決向量問題
向量具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重特點,將數(shù)與形融為一體.在向量問題解答中,從數(shù)的角度來說,其思路將幾何問題轉(zhuǎn)變成坐標(biāo)和符號,結(jié)合坐標(biāo)進行適當(dāng)?shù)淖冃翁幚恚瓿山獯?,也可以將其轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題,對題目進行思考和解答,保證學(xué)生解題效率和準確性,提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.
例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A、B、C是圓x2+y2=1上不同的三個點,如果存在實數(shù)λ、μ滿足OC=λOA+μOB,求λ2+(μ-3)2的取值范圍.
分析 在向量問題解題時,需要借助坐標(biāo)系,完成線性規(guī)劃問題的轉(zhuǎn)換.設(shè)OA和OB的夾角是θ,并且θ∈(0,π),將OC=λOA+μOB兩邊同時平方,可以得出1=λ2+μ2+2λμcosθ,根據(jù)λ、μ為實數(shù),可以得出1<λ2+μ2+2λμ且1>λ2+μ2-2λμ,以此在建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系,畫出相應(yīng)的約束條件,如圖3所示.約束條件如下:
λ+μ>1,-1<λ-μ<1,λ>0,μ>0,得到相應(yīng)的可行域,根據(jù)λ2+(μ-3)2的幾何意義,結(jié)合圖形找出最小值是定點C到直線λ-μ=1的距離,求解其取值范圍是(2,+∞).
高中數(shù)學(xué)解題中,線性規(guī)劃應(yīng)用比較廣發(fā),通過線性規(guī)劃求解函數(shù)最值問題,解決平面幾何的相關(guān)數(shù)學(xué)問題.應(yīng)用線性規(guī)劃解決數(shù)學(xué)問題,可以減少運算量,將抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)變成直觀圖形,化繁為簡,實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題快速準確解答.作為高中數(shù)學(xué)教師,在解題中引導(dǎo)學(xué)生樹立數(shù)形思想,有效利用線性規(guī)劃,掌握有效的解題方式,巧妙解決數(shù)學(xué)難題,樹立學(xué)生學(xué)習(xí)自信心,提高學(xué)生解題能力.
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