摘 要:數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛,熟練掌握數(shù)學(xué)中的思想方法,能夠有助于學(xué)生快速解題,使得問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化、直觀化.
關(guān)鍵詞:中學(xué)數(shù)學(xué);思想方法;數(shù)形結(jié)合
中圖分類號(hào):G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A????? 文章編號(hào):1008-0333(2020)34-0041-02
收稿日期:2020-09-05
作者簡(jiǎn)介:李成輝(1974.9-),男,安徽省靈璧人,本科,中學(xué)高級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.
函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)與方程的觀點(diǎn),處理變量與未知數(shù)之間的關(guān)系;數(shù)形結(jié)合思想即是將數(shù)和形構(gòu)建相互聯(lián)系的體系,進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化,求解問(wèn)題.要想熟練、快速地解答此類問(wèn)題,需要熟悉數(shù)學(xué)解題的三種語(yǔ)言,即文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言.
求解數(shù)學(xué)問(wèn)題中,離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸,有時(shí)也需要對(duì)問(wèn)題分類討論才能得到需要的結(jié)論.要想對(duì)問(wèn)題熟練、準(zhǔn)確地求解,需要細(xì)讀題目,弄清題意,弄清題目中設(shè)計(jì)的相關(guān)數(shù)學(xué)概念、公式及其相互間的聯(lián)系,才能明白如何轉(zhuǎn)化、如何討論.
一、函數(shù)與方程思想
例1 在等差數(shù)列{an}中,已知a1=13,3a2=11a6,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為.
解析 方法一(函數(shù)法):由3a2=11a6,得3×(13+d)=11×(13+5d),解得d=-2,
所以an=13+(n-1)×(-2)=-2n+15.
所以Sn=n(13+15-2n)2=-n2+14n=-(n-7)2+49,
所以當(dāng)n=7時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大,最大值為S7=49.
方法二(通項(xiàng)法):由解法一可得an=-2n+15.
由an≥0,an+1≤0,得-2n+15≥0,-2(n+1)+15≤0
解得6.5≤n≤7.5.
因?yàn)閚∈N*,所以當(dāng)n=7時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大,最大值為
S7=7×(13-2×7+15)2=49.
點(diǎn)評(píng) 數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為整數(shù)的函數(shù),可用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題.常涉及最值問(wèn)題或參數(shù)范圍問(wèn)題,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)研究最值問(wèn)題.
二、數(shù)形結(jié)合思想
例2 已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),在(0,+∞)上是減函數(shù),且在區(qū)間[a,b](a<b<0)上的值域?yàn)閇-3,4],則在區(qū)間[-b,-a]上(? ).
圖1
A.有最大值4
B.有最小值-4
C.有最大值-3D.有最小值-3
解析? 方法一:根據(jù)題意作出y=f(x)的簡(jiǎn)圖,由圖知,選B.
方法二:當(dāng)x∈[-b,-a]時(shí),-x∈[a,b],
由題意得f(b)≤f(-x)≤f(a),即-3≤-f(x)≤4,
∴-4≤f(x)≤3,即在區(qū)間[-b,-a]上,f(x)min=-4,f(x)max=3.
故選B.
點(diǎn)評(píng) 函數(shù)最值問(wèn)題是高考試題中常見(jiàn)的一類考題,此類考題的求解方法常結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行解決,利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,有助于使問(wèn)題更加直觀化.
三、分類討論思想
例3 已知函數(shù)f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.
(1)當(dāng)x∈[1,4]時(shí),求函數(shù)h(x)=(f(x)+1)·g(x)的值域;
(2)如果對(duì)任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解析 (1)h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2.
因?yàn)閤∈[1,4],所以log2x∈[0,2],
故函數(shù)h(x)的值域?yàn)閇0,2].
(2)由f(x2)·f(x)>k·g(x),得
(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x,
令t=log2x,因?yàn)閤∈[1,4],
所以t=log2x∈[0,2],
所以(3-4t)(3-t)>k·t對(duì)一切t∈[0,2]恒成立,
①當(dāng)t=0時(shí),k∈R;
②當(dāng)t∈(0,2]時(shí),k<(3-4t)(3-t)t恒成立,即k<4t+9t-15,因?yàn)?t+
9t≥12,當(dāng)且僅當(dāng)4t=9t,即t=32時(shí)取等號(hào),所以4t+9t-15的最小值為-3,從而k<-3.
綜上,實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,-3).
點(diǎn)評(píng) 分類討論思想的運(yùn)用,在高中數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)是十分明顯的,我們要清楚產(chǎn)生分類討論的具體緣由,這樣才能在分類討論時(shí)做到不重復(fù)也不遺漏.
四、轉(zhuǎn)化與化歸思想
例4? (2019·江西南昌二模)如圖2,有一塊半徑為20米,圓心角∠AOB=2π3的扇形展示臺(tái),該展示臺(tái)被分成了四個(gè)區(qū)域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD).某次菊花展分別在這四個(gè)區(qū)域擺放:泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜,預(yù)計(jì)這三種菊花展示帶來(lái)的日效益分別是: 50元/m2,30元/m2,40元/m2.為使預(yù)計(jì)日總效益最大,∠COD的余弦值應(yīng)等于.
圖2
解析 設(shè)∠AOC=∠BOD=α,則∠COD=2π3-2α,且易知0<α<π3.
結(jié)合圖形及題意可知,日總效益f(α)=12×
202sin(2π3-2α)×50+2×12×202α×40+30[12×202(2π3-2α)-12×202sin(2π3-2α)]=4000sin(2π3-2α)+4000α+400π.
求導(dǎo)得f ′(α)=4000-8000cos(2π3-2α),所以令f ′(α)>0,結(jié)合0<α<π3,可解得0<α<π6;令f ′(α)<0,結(jié)合0<α<π3,可解得π6<α<π3.
于是,函數(shù)f(α)在(0,π6)上單調(diào)遞增,在(π6,π3)上單調(diào)遞減.
從而,當(dāng)α=π6時(shí),f(α)取得最大值.
故所求∠COD的余弦值等于cos(2π3-2×π6)=12.
點(diǎn)評(píng) 本題需要先結(jié)合圖形引入輔助角,以便根據(jù)題意建立日總效益的函數(shù)關(guān)系式,然后通過(guò)求導(dǎo)分析并運(yùn)用其單調(diào)性,即可順利求解目標(biāo)問(wèn)題.
分類討論問(wèn)題主要涉及:由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論;由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論;由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論;由圖形的不確定性引起的分類討論;由參數(shù)的變化引起的分類討論.
轉(zhuǎn)化與化歸問(wèn)題主要有:直接轉(zhuǎn)化法;換元法;數(shù)形結(jié)合法;等價(jià)轉(zhuǎn)化法.
高考題中考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的題目較多,選擇題、填空題和解答題中都有.
函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用十分廣泛,如:函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化;數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和;解析幾何問(wèn)題;立體幾何中與線段、角、面積、體積的計(jì)算問(wèn)題.
數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題常有:構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求解相關(guān)問(wèn)題;構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題;構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題;構(gòu)建方程模型,求根的個(gè)數(shù);研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì);等等.
參考文獻(xiàn):
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[責(zé)任編輯:李 璟]