摘 要：21世紀的中國迎來了教育大變革的時代，新的課程改革強調(diào)數(shù)學與實際生活的聯(lián)系，新課標要求數(shù)學建模以不同的形式滲透于必修和選修課程中.數(shù)學建模進入高中數(shù)學課程已成必然.本文以數(shù)學史上的一道數(shù)學名題-米勒問題為問題藍本，探索了數(shù)學建模的一般過程及其米勒問題的數(shù)學模型在中學學習中的應用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學建模;米勒問題

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0014-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：張俊暢（1976.8-），男，廣東省梅州人，本科，中學高級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題.數(shù)學模型構(gòu)建了數(shù)學與外部世界的橋梁，是數(shù)學應用的重要形式.數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力.

我國《普通高中數(shù)學課程標準》中要求數(shù)學建模以不同的形式滲透于必修和選修課程中.數(shù)學建模進入高中數(shù)學課程已成必然，作為一線教師必須改變觀念，積極探索數(shù)學建模教學實施策略，為學生數(shù)學學習營造更為寬廣的空間.筆者通過數(shù)學史上的一道名題-米勒問題的數(shù)學建模與應用作些研究.

一、關(guān)于米勒問題

1471年，德國數(shù)學家米勒向諾德爾教授提出了如下十分有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長？即在地球上什么部位，視角最大？最大視角問題，是數(shù)學史上100個著名的極值問題中第一個極值問題，因而引人注目.因為德國數(shù)學家米勒曾提出這類問題，因此最大視角問題又稱之為“米勒問題”.

二、米勒問題的數(shù)學問題形式

米勒問題可以轉(zhuǎn)化為這樣的幾何模型：如圖1，線段AB垂直于直線EF，垂足為點O，在直線EF上任選一點C，使得∠ACB的值最大，求此時點C的位置.

三、米勒問題的數(shù)學模型及其求解

1.米勒問題的代數(shù)解法

解 不妨設(shè)AB長度為a，OB長度為b，∠ACB=θ，OC距離為x，因為AB⊥EF，所以△AOC和△BOC都是直角三角形.所以tanθ=tan∠ACO-tan∠BCO1+tan∠ACO·tan∠BCO

=a+bx-bx1+a+bx·bx=axx2+a+b·b

=ax+a+b·bx≤a2a+bb.

當x=a+b·bx，即x=a+b·b時，取等號.

2.米勒問題的幾何解法（Ad.Lorsch解法）

在水平直線上選擇點C，使得△ABC外接圓與水平直線剛好相切于點C，則切點就是視角最大的點.

理由如下：如圖2，在OF上任取一異于點C的點C′，連接AC′，BC′，設(shè)BC′與圓的交點為D，因為∠ADB=∠ACB（同弧所對的圓周角相等），又∠ADB是△ADC′的外角，所以∠ADB>∠AC′B，所以∠ACB>∠AC′B，因此切點C就是∠ACB取得最大值時的點.由切割線定理可知：OC2=OB·OA，所以x2=a+b·b，即x=a+b·b.

3.米勒問題的推廣

如圖3，已知點A，B是銳角∠MON的邊OA上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當點C在何處時，∠ACB最大？利用Ad.Lorsch的幾何解法，我們不難發(fā)現(xiàn)：當△ABC的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大（這里證明省略）.

4.結(jié)論提煉

通過上面的數(shù)學建模的論證，我們可以得出如下重要結(jié)論（我們這里稱為米勒定理）：

米勒定理 已知點A，B是銳角∠MON的邊ON上的兩個定點，

點C是邊OM上的動點，則當且僅當△ABC的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大.

四、米勒問題的應用

例1 要測量電視塔AE的高度H（單位：m），如圖4，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠

ABE=α，∠ADE=β，若該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d，使α，β之差較大，可以提高測量精度.若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，α-β最大？

解 設(shè)BD=x，由米勒定理知，當且僅當AE2=AB·AD，即dx+d=1252①時，∠DEB=α-β最大.又由△DBC～△DAE得xx+d=4125②.①×②得xd=125×4.將其代入①得d2=1252-125×4=125×121，所以d=555m，故當d為555m時，α-β最大.

點評 本題是以實際應用和平面幾何為背景考查最大角問題，此解法以米勒定理和相似三角形等知識為突破口，結(jié)合方程思想求解，綜合性強，能力立意高，有一定難度.

例2 已知橢圓x216+y24=1的左右焦點是E，F(xiàn)，點P在直線x-3y+8+23=0上，當∠EPF最大時，求PE∶PF.

解 如圖5，設(shè)直線與x軸相交于點M-8-23，0，

易求得E-23，0，F(xiàn)23，0，則ME=8，MF=8+43.

由米勒定理知，當且僅當MP=ME·MF=8×8+43=43+1時，∠EPF最大，

此時△PEF的外接圓與直線相切于點P.由弦切角定理得∠MPE=∠MFP，又∠PME=∠PMF，

所以△MPE∽△MFP，所以PEPF=MPMF=43+143+8=3-1.

點評 本解法不僅用到米勒定理的結(jié)論，而且還要熟悉定理證明的幾何背景及圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，用相似三角形對應邊成比例求線段比，運算量小解法簡單快捷.

最大視角問題在數(shù)學競賽、歷屆高考和模擬考試中頻頻亮相，常常以解析幾何、平面幾何和實際應用為背景進行考查.若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運用米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸、大大減少運算量、降低思維難度、縮短解題長度，從而使問題順利解決.

參考文獻：

[1]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[責任編輯：李 璟]