曹 芳,化存才

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 昆明 650500)

多年來,城市交通車輛不斷暴增,使得交通擁堵、環(huán)境污染、能源浪費(fèi)等問題日益嚴(yán)重,且成為難以解決的城市交通科學(xué)問題.因此,解決城市交通擁堵是學(xué)者們和城市管理者密切關(guān)注的重要問題.

研究交通擁堵問題的基礎(chǔ)是經(jīng)典的車輛跟馳模型.跟馳模型最早由Pipes[1]提出,1961年,Newell[2]對Pipes的模型進(jìn)行了改進(jìn).1995年,Bando[3]為改進(jìn)[2]中的模型產(chǎn)生的無限大加速度而提出了最優(yōu)速度(optimal velocity, OV)模型,但是,后來發(fā)現(xiàn)此模型也存在加速度過大和不切實(shí)際減速的問題.為解決這個(gè)問題,Helbing等[4]提出了考慮正速度差的廣義力(generalized force, GF)模型.2001年,姜銳等[5]同時(shí)考慮正負(fù)速度差而提出了全速度差(full velocity difference model, FVD)模型.2006年,王濤等[6]考慮了多輛前車速度差的信息而提出了多速度差(multiple velocity difference, MVD)模型.近年來,隨著智能交通系統(tǒng)ITS的新發(fā)展,有很多學(xué)者通過改進(jìn)一些經(jīng)典的跟馳模型[7-20],使其有助于研究和解決交通問題.

本文將在全速度差模型(FVD)基礎(chǔ)上,考慮智能提示限速信息,給出改進(jìn)的FVD模型,即含有智能提示限速信息的FVD模型,分析其穩(wěn)定性條件和精準(zhǔn)穩(wěn)定條件,以及不同區(qū)域內(nèi)的孤立波.

1 考慮限速提示信息的全速度差模型

在智能交通系統(tǒng)提供交通信息服務(wù)的環(huán)境下,駕駛員可以得到智能提示限速信息,從而能及時(shí)調(diào)整行駛車速,以保障交通穩(wěn)定.本章主要考慮智能系統(tǒng)提前td時(shí)間提示限速信息,基于在本車與前車之間的全速度差模型,引入如下的跟馳模型：

(1)

其中,a是駕駛員的敏感系數(shù),V(Δxn(t))是優(yōu)化速度函數(shù).Δvn(t)=vn+1(t)-vn(t)是前后兩輛車的速度差,λ表示駕駛員對前車相對速度的反應(yīng)系數(shù).γ>0表示有智能提示限速后駕駛員的反應(yīng)系數(shù).td是駕駛員提前獲知限速信息的時(shí)間.

2 模型(1)的線性穩(wěn)定性條件

為便于后面的計(jì)算,現(xiàn)將模型(1)式改寫成下面的形式：

(2)

設(shè)初始狀態(tài)是穩(wěn)定態(tài),車流的車頭間距都是b,相應(yīng)的優(yōu)化速度是V(b).此時(shí)穩(wěn)態(tài)交通流的車輛位置可表示為

(3)

現(xiàn)加1個(gè)小擾動(dòng),即

yn(t)=exp(ikn+zt).

(4)

有：

(5)

將(5)式代入(2)式得到：

(6)

其中Δyn(t)=yn+1(t)-yn(t)．將(6)式Taylor展開得：

(7)

z2=a[V′(b)(eik-1)-z]+λz(eik-1)+γz[eztd-1].

(8)

再令

(9)

代入(8)式中,得：

(10)

將z=z1ik+z2(ik)2+…,代入(10)式,得到模型(1)的結(jié)果：

(11)

當(dāng)z2<0時(shí),交通流將不穩(wěn)定;當(dāng)z2>0時(shí),交通流的穩(wěn)定狀態(tài)不變.于是,我們得到模型(1)的如下臨界穩(wěn)定條件：

a=2(1-γtd)V′(b)-2λ.

(12)

當(dāng)滿足如下條件時(shí),交通系統(tǒng)將處于不穩(wěn)狀態(tài)：

a<2(1-γtd)V′(b)-2λ,

(13)

當(dāng)滿足如下條件時(shí),交通系統(tǒng)將處于穩(wěn)定狀態(tài)：

a>2(1-γtd)V′(b)-2λ.

(14)

選取模型(1)的優(yōu)化速度函數(shù)如下：

(15)

取參數(shù)值vmax=3,hc=4,λ=0.3.在圖1中分別給出了FVD模型與改進(jìn)模型(1)在取td和γ不同值時(shí)的臨界曲線,位于臨界曲線外的區(qū)域是穩(wěn)定的,位于臨界曲線內(nèi)的區(qū)域是不穩(wěn)的.從圖1中可以直觀地看出改進(jìn)模型(1)的穩(wěn)定區(qū)域比FVD模型擴(kuò)大.事實(shí)上,因成立著2V′(b)-2λ>2(1-γtd)V′(b)-2λ,而a>2V′(b)-2λ為FVD模型的穩(wěn)定性條件,故這表明含智能提示限速信息能有效緩解交通流擁堵現(xiàn)象.

下面,我們就3種智能提示限速情況,對穩(wěn)定條件(14)作進(jìn)一步的精準(zhǔn)分析.

(i) 如駕駛員對限速度vM反應(yīng)快,則可設(shè)γ與vM成正比,即取γ=kvM.此時(shí)有γtd=kvMtd=ksM0,其中sM0為車輛在td時(shí)間內(nèi)按限速度行駛的距離,于是,穩(wěn)定條件(14)變?yōu)椋篴>2(1-ksM0)V′(b)-2λ.由此可知,提前提示限速的時(shí)間td越長,相應(yīng)的車輛行駛的距離sM0就越遠(yuǎn),交通流就會(huì)越穩(wěn)定.

3 模型(1)的非線性分析和孤立波

模型(1)的孤立波解反映了由密度波極限狀態(tài)表示的交通擁堵現(xiàn)象.本節(jié)通過約化攝動(dòng)法,從模型(1)導(dǎo)出相應(yīng)于不同的區(qū)域的非線性波方程及其孤立波解.

為了方便計(jì)算,我們先將模型(1)改寫為：

(16)

3.1 在穩(wěn)定區(qū)域?qū)С鯞urgers方程和孤立波解

在穩(wěn)定區(qū)域,條件(14)成立.現(xiàn)對空間變量n和時(shí)間變量t引入1個(gè)緩慢變量：

X=ε(n+bt),T=ε2t,

(17)

其中0<ε?1,b為待定參數(shù).設(shè)車頭間距為：

Δxn(t)=h+εR(X,T).

(18)

將(17)、(18)代入(16),并將其Taylor展開至ε3,得到如下方程：

(19)

令b=V′(h)消去ε2,方程(19)化為：

(20)

(21)

3.2 在亞穩(wěn)定區(qū)域?qū)С鯧dV方程和孤立波解

在亞穩(wěn)定區(qū)域,條件(12)成立.取：

X=ε(n+bt),T=ε3t,

(22)

參數(shù)意義同上,設(shè)車頭距為：

Δxn(t)=h+ε2R(X,T).

(23)

將(22)、(23)代入(16),將其Taylor展開至ε6,得如下方程：

(24)

令b=V′(h)消去ε3,在臨界穩(wěn)定線as=2V′(h)(1-γtd)-2λ附近,令a=(1+ε2)as,則(24)式可化為：

(25)

其中,

(26)

(27)

從(27)可知,A越大時(shí),車輛的間距越大,交通流會(huì)更加穩(wěn)定,從而可避免擁堵的發(fā)生.在其他條件不變,td越小時(shí),車輛的間距越大,因而交通流穩(wěn)定.

3.3 在不穩(wěn)定區(qū)域?qū)С鰉KdV方程和孤立波解

在不穩(wěn)定區(qū)域,條件(13)成立.考慮臨界點(diǎn)(hc,ac)附近,取：

X=ε(n+bt),T=ε3t,

(28)

且間距為：

Δxn(t)=hc+εR(X,T).

(29)

將(28)、(29)代入(16), Taylor展開至ε5,得到方程：

(30)

令b=V′(hc),a=(1+ε2)ac.則(30)化為：

(31)

其中,

(32)

忽略O(shè)(ε)項(xiàng),方程是mKdV方程.于是：

(33)

其中傳播速度為c=5g2g3/(2g2g4-3g1g5).

于是得到：

(34)

于是得到扭結(jié)-反扭結(jié)波解的振幅A為：

(35)

扭結(jié)-反扭結(jié)波解代表了模型運(yùn)動(dòng)中的共存相,包括低密度的自由運(yùn)動(dòng)相和高密度的擁擠相,自由運(yùn)動(dòng)相和擁擠相的車頭距分別是Δxn(t)=hc+A和Δxn(t)=hc-A.

4 結(jié)語

本文主要研究智能提示限速信息對于交通流的影響問題,引入了含有智能提示限速信息的全速度差模型,導(dǎo)出和分析了模型的穩(wěn)定性條件和孤立波解.穩(wěn)定性條件表明,相比于FVD模型,考慮智能限速信息提示能擴(kuò)大交通流的穩(wěn)定區(qū)域；進(jìn)而根據(jù)駕駛員對智能提示限速度的反應(yīng)快、慢及有彎道等3種情形,對穩(wěn)定條件作了精準(zhǔn)分析,使闡釋結(jié)果更加符合現(xiàn)實(shí)交通情形.通過非線性分析得到了Burgers方程、KdV方程和mKdV方程,并且分別求得其孤立波解.