楊占力，趙海文，付津昇，戴士杰

（1.河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)器人與自動(dòng)化研究所，天津 300130；2.中國(guó)民用航空大學(xué) 民用航空器適航與維修天津重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300300）

0 引言

邊緣投影輪廓術(shù)（FPP）作為目前最流行的三維光學(xué)測(cè)量技術(shù)之一，以其速度快、精度高、靈活性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在制造、生物識(shí)別、醫(yī)學(xué)、娛樂(lè)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-3]。傳統(tǒng)的FPP系統(tǒng)由數(shù)字光處理（DLP）投影儀和電荷耦合器件（CCD）相機(jī)組成，通常采用正弦條紋模式進(jìn)行全磁場(chǎng)三維形狀采集。然而，為了給用戶(hù)更好的視覺(jué)感受，現(xiàn)有的DLP投影機(jī)被設(shè)計(jì)成非線(xiàn)性器件，其本質(zhì)被稱(chēng)為投影機(jī)[4]的非線(xiàn)性響應(yīng)。伽瑪非線(xiàn)性響應(yīng)使投影條紋圖非正弦，帶來(lái)不可避免的相位誤差，將嚴(yán)重影響系統(tǒng)測(cè)量精度[5-6]。

為了減小由伽瑪非線(xiàn)性響應(yīng)引起的測(cè)量誤差，學(xué)者們提出了許多伽瑪校正或相位補(bǔ)償方法[7-16]。Zhang等[9-10]提出兩種查閱表格（LUT）的方法，一種是任何相移算法的通用方法，但需要校準(zhǔn)投影儀的伽瑪響應(yīng)曲線(xiàn)，這種方法的步驟比較繁瑣[9]；另一種不需要校準(zhǔn)伽瑪響應(yīng)曲線(xiàn)，只需要將一組條紋圖投影到一個(gè)平面的校準(zhǔn)板上，然后對(duì)捕獲的條紋模式進(jìn)行分析，生成相位補(bǔ)償[10]的相位誤差LUT。雖然它可以減小由投影儀的非線(xiàn)性響應(yīng)而引起的相位誤差，但對(duì)于高精度測(cè)量來(lái)說(shuō)，殘余誤差仍是不可忽略的。通過(guò)建立包絡(luò)相位和深度的相位誤差函數(shù)，Xu等[11]提出一種多項(xiàng)式LUT方法。Pan等[12]提出一種基于近似誤差模型的相位補(bǔ)償?shù)惴?。Hoang等[13]提出一種伽瑪校正方法提高測(cè)量精度，采用非線(xiàn)性?xún)?yōu)化的方法對(duì)投影儀的伽瑪值進(jìn)行估計(jì)，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜且不穩(wěn)定。此外，優(yōu)化需要大梯級(jí)（比如20）相移算法得到參考相位[4]。文獻(xiàn)[14]以傅里葉級(jí)數(shù)的形式描述了所捕獲的條紋圖案，并通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)分析了傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)與投影儀伽瑪之間的關(guān)系。但由于沒(méi)考慮系統(tǒng)的離焦效應(yīng)，得到的伽瑪值存在較大偏差。針對(duì)這一問(wèn)題，Li[15]提出一種更完整的伽瑪校正模型，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)伽瑪?shù)臏?zhǔn)確估計(jì)。與Li的方法不同，Ma等[16]提出一種從空間角度快速估計(jì)伽瑪值的伽瑪校正方法。然而，空間條紋圖容易受到斜角投影的影響，之前的伽瑪校正方法還沒(méi)有考慮到。一般來(lái)說(shuō)，相位補(bǔ)償方法在相位校正中可靠性較低[17]，伽瑪校正方法要么需要處理大量的圖像，要么對(duì)測(cè)量條件很敏感。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種基于階躍圖像的伽瑪校正方法。由于數(shù)據(jù)是在空間中處理的，因此可以避免大量的計(jì)算。此外，利用不受傾角投影影響的階躍圖像的性質(zhì)，能可靠地估計(jì)出投影儀的伽瑪值。

1 方法

1.1 系統(tǒng)成像模型

FPP系統(tǒng)的成像過(guò)程如圖1所示。計(jì)算機(jī)生成的正弦條紋圖案I與投影儀投影的條紋圖 IP之間的關(guān)系可以描述為

式中：（x，y）表示任意點(diǎn)的坐標(biāo)；γ表示投影儀的伽瑪。

考慮到系統(tǒng)的離焦效應(yīng)，可以將捕捉到的條紋圖案IC表示為

式中：α∈[0,1]為被測(cè)對(duì)象的表面反射率；?表示卷積；g(x,y)為系統(tǒng)的點(diǎn)分布函數(shù)（PSF），表示為

式中，σ為系統(tǒng)的離焦系數(shù)，g(x,y)的傅里葉變換可以表示為

式中：F{}為傅里葉變換；F{g (x,y)}為系統(tǒng)的光傳遞函數(shù)（OTF）；fx和 fy分別為沿X軸和Y軸的空間頻率。式（2）和（3）可分別用傅里葉級(jí)數(shù)的形式來(lái)描述：

式中：Bn(x,y)為第n個(gè)諧波分量IC(x,y)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)；φ(x,y)為待解未知相位。根據(jù)文獻(xiàn)[14]的推導(dǎo)，傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)滿(mǎn)足以下關(guān)系：

在實(shí)際中，由于條紋圖是垂直或水平的，對(duì)式（2）進(jìn)行一維離散傅里葉變換，可得

圖1 系統(tǒng)成像流程圖Fig.1 System imaging flow chart

式中：C表示尺度因子；f0表示空間頻率。根據(jù)式（7）和（8）可以知成像光譜與投影儀伽瑪之間的關(guān)系：

1.2 傾角投影對(duì)成像光譜的影響

為了說(shuō)明斜角投影對(duì)成像光譜的影響，以不同的投影角度將正弦條紋圖案投射到平面參考表面上，其中一個(gè)角度是由投影儀的光軸和平面參考表面的法線(xiàn)形成的。所捕獲的條紋圖案如圖2a）-2d）所示。圖2e）-2h）為對(duì)應(yīng)的成像光譜。結(jié)果表明：投影角度越大，條紋圖案在參考面上的不均勻性越強(qiáng)。當(dāng)光軸垂直于參考面時(shí)，不同的諧波分量在光譜分布中表現(xiàn)得很明顯。但是，當(dāng)投影角度增大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)高階諧波分量的混疊問(wèn)題，成像光譜與投影儀的伽瑪之間的關(guān)系將不能?chē)?yán)格滿(mǎn)足式（9）。在式（9）的基礎(chǔ)上，Li等[15]和Ma等[16]分別提出了伽瑪校正方法。斜角投影對(duì)基于空間信息的伽瑪校正方法產(chǎn)生影響，尤其是在Ma提出的方法。

圖2 不同投影角度下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：捕獲的條紋圖Fig.2 Experimental results under different projection angles：the captured fringe patterns

1.3 基于階躍圖像的伽瑪校正方法

根據(jù)成像光譜與投影儀伽瑪值之間的關(guān)系，利用階躍圖像對(duì)投影儀伽瑪值進(jìn)行估計(jì)。階躍圖像可以描述為

式中：E為非零灰度；m為正整數(shù)；M為階躍圖像的寬度。不同灰度E和截面的階躍圖像如圖3所示。

圖3 不同灰度E和截面的階躍圖像Fig.3 Step images with different gray levels E and cross section

對(duì)于周期為M的函數(shù)，如圖1c）或圖1d）所示，也可以用傅里葉級(jí)數(shù)的形式來(lái)描述。傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)可表示為

通過(guò)積分運(yùn)算，容易得到

根據(jù)式（2），所捕獲的階躍圖像可以表示為

對(duì)式（19）進(jìn)行離散傅里葉變換，可以得到

式中，n,i=0,1,...,N-1，N為總采樣點(diǎn)。結(jié)合式（4），式（17）和式（20），可以得到

如果分別使用灰度為E1和E2的2張不同階躍圖像，則得到的投影儀的伽瑪為

式中：A?10和A?20分別為采集到的階躍圖像；灰度分別為E1和E2的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的直流分量。在實(shí)際工程中，每次計(jì)算得到的投影儀的伽瑪值并不完全相同，平均伽瑪值γˉ只是伽瑪估計(jì)值。估計(jì)的伽瑪值被預(yù)先編碼到計(jì)算機(jī)生成的正弦條紋圖中，以糾正由投影儀的伽瑪非線(xiàn)性響應(yīng)引起的畸變。采用傳統(tǒng)的相移算法進(jìn)行相位反演。

上述方法可總結(jié)為以下幾點(diǎn)：

1）將2張灰度不同的階躍圖像（如E1=128，E2=200）投影到參考面上，捕獲階躍圖像；

2）根據(jù)式（21），分別提取直流分量A?10和A?20；

3）使用式（23）得到投影儀的伽瑪，平均伽瑪是伽瑪?shù)墓烙?jì)；

4）在計(jì)算機(jī)生成的正弦條紋圖中預(yù)先編碼伽瑪，并采用傳統(tǒng)的移相算法進(jìn)行相位校正。

2 結(jié)果與討論

為了驗(yàn)證該方法的性能，在FPP系統(tǒng)中分別使用1臺(tái)DLP投影儀（BenQ MP515）、1臺(tái)CCD攝像機(jī)（SVCam-ECO 267）和1臺(tái)計(jì)算機(jī)，如圖4所示。在不同的投影角度下捕獲階躍圖像，以顯示傾斜角度投影對(duì)階躍圖像成像的影響。采集到的階躍圖像如圖5所示。結(jié)果表明，投影角度越大，m值越大。換句話(huà)說(shuō)，在不同投影角度下，采集到的階躍圖像可以看作是在垂直狀態(tài)下不同m值的階躍圖像。根據(jù)式（21）和式（23），得到的伽瑪不受m值的影響，可以得出本文提出的階躍圖像法不受傾角投影的影響。

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.4 Experimental device

圖5 所捕獲的臺(tái)階圖像Fig.5 Captured step images

為了驗(yàn)證所提方法的可靠性，將該方法用于伽瑪?shù)墓烙?jì)，并分別與Li和Ma的方法進(jìn)行了比較。不同方法在不同投影角度下得到的伽瑪射線(xiàn)結(jié)果，如圖6所示。隨著角度的增加，Li的方法和本文提出的方法對(duì)伽瑪?shù)淖兓淮?，而Ma的方法變化很大。只有在垂直投影（0級(jí)）的情況下，這3種方法得到的伽瑪值差異很小。Li和Ma的方法都采用伽瑪原理，但兩種方法的可靠性顯著不同。這是因?yàn)長(zhǎng)i的方法處理大量圖像時(shí)采用的時(shí)域信息，然而Ma的方法處理時(shí)僅采用兩幅圖像的空域信息。然而，提出的方法采用兩幅階躍圖像，不僅利用了空間上的信息，而且對(duì)不同投影角度下的伽瑪參數(shù)進(jìn)行可靠的估計(jì)。

利用平面估計(jì)該方法的精度，同時(shí)將提出的方法對(duì)Li和Ma的方法進(jìn)行比較。圖7a）所示，為沒(méi)有采用校正和采用提出的伽瑪校正的表面相位誤差分布的截面。本文提出的方法與Li和Ma的方法比較，如圖7b）所示。不同方法的相位誤差定量結(jié)果見(jiàn)表1，其中MPE和RMSPE分別表示以弧度表示的最大相位誤差和均方根相位誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，校正前的MPE和RMSPE分別為0.181 1 rad和0.125 3 rad，校正后的MPE和RMSPE分別為0.011 6 rad和0.004 5 rad（Li的方法）、0.018 6 rad和0.005 6 rad（Ma的方法）、0.013 7 rad和0.004 0 rad（提出的方法）。采用這3種方法，可以顯著地減小由投影儀非線(xiàn)性響應(yīng)引起的相位誤差。此外，本文提出的方法比Ma的方法更準(zhǔn)確，與Li的方法具有相似的精度，但本文提出的方法需要圖像數(shù)量更少。

圖6 不同投影角度下的伽瑪射線(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Experimental results of gamma ray at different projection angles

圖7 平面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：相位誤差分布的橫截面Fig.7 The experimental results of plane：the cross section of phase error distribution

通過(guò)球體的測(cè)量進(jìn)一步評(píng)價(jià)了該方法的性能。圖8a）和圖8b）顯示了不使用和使用建議的伽瑪校正的球體的重建，相應(yīng)的截面如圖8c）所示。將測(cè)量的三維數(shù)據(jù)與理想球面進(jìn)行擬合，得到球面的測(cè)量誤差，誤差曲線(xiàn)如圖8d）所示。結(jié)果表明，采用該方法可以獲得光滑的球面，大大減小了測(cè)量誤差。

表1 平面實(shí)驗(yàn)結(jié)果的定量比較Tab.1 Quantitative comparison of plane experiment results

圖8 球體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：重建球體Fig.8 The experimental results of sphere：the reconstructed sphere

3 結(jié)論

本文建立一種系統(tǒng)成像模型，分析了傾角投影對(duì)成像光譜的影響，提出一種不受傾角投影影響的階躍圖像校正方法。這種方法在空間上使用信息，需要較少的圖像，并且能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)投影儀在不同投影角度下的伽瑪值的可靠估計(jì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能有效地減小投影儀非線(xiàn)性響應(yīng)引起的誤差。