杜爭光，蒲武軍

（隴南師范高等專科學校 數(shù)學系，甘肅 隴南 742500）

分數(shù)階捕食系統(tǒng)的動力學研究是整數(shù)階動力系統(tǒng)研究的拓展和延伸，是生物種群動力學研究的一個重要組成部分.Ahmed[1]討論了一類分數(shù)階捕食者-食餌模型，此后，分數(shù)階種群動力學的研究逐漸成為了一個熱點課題，受到了許多學者的廣泛關(guān)注，取得了一系列好的研究成果[2-5].Komeil[6]討論了一類具有Holling II型功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)，對平衡點的穩(wěn)定性進行了研究，并證明了分數(shù)階種群動力學模型平衡點的穩(wěn)定性、收斂速度與系統(tǒng)的階數(shù)α 密切相關(guān).Khoshsiar[7]對一類食餌具有非線性收獲的分數(shù)階捕食模型進行了研究，并指出，分數(shù)階模型表現(xiàn)了更加豐富的動力學行為，且隨著分數(shù)的階的改變，動力學行為會越來越復(fù)雜.

目前，針對具有Holling II型功能反應(yīng)的分數(shù)階捕食者-食餌模型的研究，已經(jīng)有了部分結(jié)果[5-8].本文考慮一類具有Holling II型功能反應(yīng)且食餌和捕食者都具有線性收獲的分數(shù)階捕食者-食餌模型：

其中，α∈(0,1]； r,k,a,b,c,d1,d2,h 均為正常數(shù).r 表示食餌的增長率，k 表示食餌的環(huán)境容納量，b 表示捕食率，c 表示食餌的轉(zhuǎn)化率，d1,d2表示食餌和捕食者收獲率，a 表示Holling II功能系數(shù)，h 表示捕食者的死亡率.u (t)和 v (t)分別表示食餌和捕食者的種群密度，初始條件 u (0)＞0,v(0)＞0.

1 預(yù)備知識和引理

定義1[9]設(shè)函數(shù) f:R+→R+，且 f (x)和f(n)(x) 均連續(xù)，則其α 階Caputo分數(shù)階導數(shù)定義為：其中，n-1≤α＜n，Γ (·) 是Euler Gamma函數(shù).

性質(zhì)1[10]Caputo分數(shù)階導數(shù)滿足線性運算性：

引理1[11]設(shè)分數(shù)階系統(tǒng)有平衡 點 (xe,ye)，則平 衡點 (xe,ye)局部漸近穩(wěn)定的充要條件是：Jacobian矩陣在平衡點 (xe,ye)的所有特征值 λi滿足條件

引理2[12]設(shè) x(t)∈R+是連續(xù)可微函數(shù)，則對任意時刻t≥t0，有

引理3[13]分數(shù)階系統(tǒng) Dαx (t)=f (t,x)，t＞t0，其中，f :[t0,∞)×Ω →Rn,Ω ?Rn，x(0)=x(t0)，α∈(0,1]，若函數(shù) f (t,x) 關(guān)于x 滿足局部Lipschitz條件，則系統(tǒng)存在[t0,∞)×Ω 上的唯一解.

引理4[14]設(shè) u (t) 是定義在 [0t,∞)上的連續(xù)函數(shù)且滿足其中λ＞0 ，初始時刻 t0≥0.則Eα是Mittag-Leffler函數(shù)，即

2 主要結(jié)果及其證明

2.1 解的存在唯一性、非負性和有界性

定理1對任意初值（x (t0),y (t0)）∈Ω,Ω={(x,y)∈R2:max{|x|,|y|}≤M}，系統(tǒng)（1）存在唯一解X=(x,y)∈Ω，且對任意的初值 (x(t0),y (t0))∈Ω+，系統(tǒng)（1）的所有解均非負且一致有界.

證明首先，令定義映射 H (X)=(P (X),Q (X))，對

以下證明非負性和一致有界性.

因此，系統(tǒng)（1）始于Ω+的所有解均在上，即Γ 是關(guān)于系統(tǒng)（1）的正交不變集，且對任意初值 (x(t0),y (t0))∈Ω+，系統(tǒng)（1）的所有解均有界.

2.2 平衡點的局部穩(wěn)定性

為方便說明問題，首先求出系統(tǒng)（1）在 E (x,y) 點的Jacobian 矩陣：

定理2系統(tǒng)（1）的平凡平衡點E0(0,0)和邊界平衡點均不穩(wěn)定.

證明易知系統(tǒng)（1）在E0(0,0)點的Jacobian 矩陣對應(yīng)的特征值分別為 λ1=r-d1＞0，λ2=-(d2+h)＜0，則由引理1 知E0(0,0)不穩(wěn)定.

結(jié)合條件H2，同理可得，系統(tǒng)（1）的邊界平衡點亦不穩(wěn)定.

定理3若條件 1H 和H2滿足，且下列任一條件成立：

證明系統(tǒng)（1）在正平衡點 E2(x*,y*)處的Jacobian 矩陣為

故其特征根可表示為

若條件i）成立，則 rp+2rx*+d1-r＞0，從而分兩種情形：

1）若 tr2(J2)-4det(J2)≥0，則有 λ1＜0,λ2＜0，于是由引理1 知正平衡點 E2(x*,y*)局部漸 近穩(wěn)定.

2）若 tr2(J2)-4det(J2)≥0，則 λ1和 λ2是一對共軛復(fù)根，且 Re(λ1)=Re(λ2)=tr(J2)＜0，故|arg(λ1)|＞由引 理1 知正平 衡點 E2(x*,y*)局部漸 近穩(wěn)定.

綜上，正平衡點 E2(x*,y*)局部漸 近穩(wěn)定.

若條件ii）成立，則

若條件iii）成立，則

2.3 平衡點的全局漸近穩(wěn)定性

定理4若條件 H1和H2滿足，且 rp （p+x*）＞ y*，則系統(tǒng)（1）的唯一正平衡點 E2(x*,y*)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明定義 E2(x*,y*)處的Lyapunov 函數(shù) V (t)如下：

由引理2 可得：

顯然，平凡平衡點 E0和邊界平衡點 E1均在Γ 的邊界處，正平衡點 E2在Γ 內(nèi)，由定理1 知集合仍然是系統(tǒng)（1）的一個正不變集和全局吸引集.由文獻[15]知，對于任意初值條件即正平衡點2E 是全局吸引的，此即說明系統(tǒng)（1）的正平衡點 2E 是全局漸近穩(wěn)定的.