楊雅軍 范林偉

數(shù)學(xué)畫(huà)作為一種形象、直觀的思維表達(dá)形式，是兒童理解數(shù)學(xué)的一種重要表達(dá)方式。學(xué)生借助圖文的形式能夠?qū)⒆陨韺?duì)數(shù)學(xué)概念、公式、運(yùn)算法則、解題過(guò)程等的認(rèn)識(shí)個(gè)性化地表達(dá)出來(lái)，真實(shí)地反映出他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法的理解水平。實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)畫(huà)在強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，啟發(fā)他們發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路，幫助他們實(shí)現(xiàn)自我評(píng)價(jià)等方面有著獨(dú)特的促進(jìn)作用。

一、數(shù)學(xué)畫(huà)的構(gòu)成要素與特征

數(shù)學(xué)畫(huà)是學(xué)生基于某一學(xué)習(xí)內(nèi)容或?qū)W習(xí)主題而繪制的，能夠表現(xiàn)其自身對(duì)該知識(shí)（方法）的數(shù)學(xué)理解水平的一種圖畫(huà)形式。數(shù)學(xué)畫(huà)主要由圖畫(huà)、文字、數(shù)據(jù)三大要素構(gòu)成，有時(shí)也會(huì)摻入符號(hào)、標(biāo)記等輔助要素。其中，圖畫(huà)重在有序描述和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)情境以及思維發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程;文字重在表達(dá)條件、問(wèn)題與輔助性說(shuō)明等信息;數(shù)據(jù)特指問(wèn)題中的原始數(shù)據(jù)或者學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)分析、運(yùn)用的數(shù)據(jù)。此外，符號(hào)如箭頭、括號(hào)、連接線、夸張性標(biāo)點(diǎn)等，這些標(biāo)記通常表示事情發(fā)展、思維過(guò)程的先后順序或個(gè)性化提示等。

數(shù)學(xué)畫(huà)最大的特征是兒童化，這是由兒童所處的生活背景、擁有的生活經(jīng)驗(yàn)與對(duì)數(shù)學(xué)的個(gè)性理解所決定的。因此，學(xué)生在畫(huà)數(shù)學(xué)畫(huà)的過(guò)程中，常會(huì)根據(jù)自己的興趣愛(ài)好、所見(jiàn)所聞、所想所感來(lái)描繪自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解。數(shù)學(xué)畫(huà)尤為重視將數(shù)學(xué)本質(zhì)作為圖畫(huà)的核心內(nèi)容。換而言之，學(xué)生所畫(huà)的內(nèi)容必須突出數(shù)學(xué)思考的過(guò)程與結(jié)果，畫(huà)面既要表征問(wèn)題中的各類(lèi)關(guān)鍵信息與問(wèn)題，又要展現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)化理解。數(shù)學(xué)畫(huà)強(qiáng)調(diào)畫(huà)面主題鮮明、重點(diǎn)突出，常含有具體形象的背景、事件來(lái)襯托自己的數(shù)學(xué)思考與運(yùn)用過(guò)程。一般地，數(shù)學(xué)畫(huà)的形式較為多樣，包含以上三個(gè)構(gòu)成要素，能清晰地表達(dá)自身的想法即可。當(dāng)然，相比之下，低年級(jí)的數(shù)學(xué)畫(huà)趣味性更強(qiáng)，學(xué)生更喜歡以故事的情節(jié)來(lái)表達(dá)自己的想法。

除了含有圖畫(huà)、文字、數(shù)據(jù)三個(gè)基本要素之外，畫(huà)面布局美觀、圖文一致、語(yǔ)句通俗易懂則是一幅合格的數(shù)學(xué)畫(huà)的基本標(biāo)準(zhǔn)。畫(huà)面的主體內(nèi)容（數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)問(wèn)題等）是否呈現(xiàn)探究性、數(shù)學(xué)思考是否具有深刻性與靈活性、畫(huà)面場(chǎng)景是否生動(dòng)有趣則是評(píng)判一幅數(shù)學(xué)畫(huà)作品優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)。

二、數(shù)學(xué)畫(huà)的教學(xué)過(guò)程

剛接觸數(shù)學(xué)畫(huà)的時(shí)候，我們常常思考數(shù)學(xué)畫(huà)應(yīng)該是什么樣的，數(shù)學(xué)畫(huà)可以畫(huà)什么，又該怎么畫(huà)，有沒(méi)有評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)或畫(huà)圖的要求，等等。隨著實(shí)踐的深入，我們漸漸地對(duì)數(shù)學(xué)畫(huà)有了清晰的認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)畫(huà)可以理解為兒童用自己的方式形象、具體地認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)數(shù)學(xué)的一種形式。它不僅能展現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解程度，還能暴露他們數(shù)學(xué)思考過(guò)程的不足，使之為教師提供教學(xué)診斷的依據(jù)。教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)畫(huà)來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)思考過(guò)程的習(xí)慣，使他們逐步形成數(shù)學(xué)畫(huà)的創(chuàng)作能力。

（一）由此及彼，熟悉數(shù)學(xué)畫(huà)的構(gòu)成

數(shù)學(xué)畫(huà)的表達(dá)往往圖文并茂，主體鮮明而突出，知識(shí)點(diǎn)清晰而透徹，思考過(guò)程有序而完整。因此，學(xué)生在使用數(shù)學(xué)畫(huà)表示自己的數(shù)學(xué)理解時(shí)，需要準(zhǔn)確地將數(shù)學(xué)思考的過(guò)程盡可能清晰地畫(huà)出來(lái)，確保在圖畫(huà)中能同時(shí)呈現(xiàn)過(guò)程與結(jié)果，并且能夠?qū)D、文、數(shù)實(shí)現(xiàn)一一對(duì)應(yīng)的表達(dá)，而不是簡(jiǎn)單地進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的梳理或總結(jié)。

如三年級(jí)學(xué)生在理解有余數(shù)除法的意義時(shí)就繪制了這樣的數(shù)學(xué)畫(huà)：有13個(gè)橘子;每6個(gè)為一組;兩袋加起來(lái)有12個(gè);還剩下一個(gè)。（如圖1）它不僅展示了“有13個(gè)橘子，每6個(gè)一袋，能分2袋，還剩下1個(gè)”的結(jié)果，而且還結(jié)合畫(huà)圈、裝袋的圖示展現(xiàn)了一步一步分橘子的過(guò)程。此外，學(xué)生還對(duì)豎式中每個(gè)數(shù)字的含義用文字作出了具體的說(shuō)明。這幅數(shù)學(xué)畫(huà)充分地展示了圖、文、數(shù)、式的完美融合，將數(shù)學(xué)理解的動(dòng)作表征、圖像表征、符號(hào)表征表現(xiàn)地淋漓盡致。

因此，在數(shù)學(xué)畫(huà)教學(xué)的初期，我們往往以數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算的意義或法則的理解等作為教學(xué)的支點(diǎn)，組織學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)畫(huà)將自己的理解畫(huà)出來(lái)。期間，我們特別重視引導(dǎo)學(xué)生完整地將概念、運(yùn)算或法則中描述的人物或事物形象（圖畫(huà)主體）、數(shù)量（關(guān)鍵數(shù)據(jù)）和文字（概念要點(diǎn)、條件或問(wèn)題信息）表達(dá)出來(lái)，從而使學(xué)生學(xué)會(huì)由此及彼，慢慢地在不同的創(chuàng)作過(guò)程中理解數(shù)學(xué)畫(huà)的構(gòu)成和具體含義。

（二）主題推進(jìn)，感受數(shù)學(xué)畫(huà)的價(jià)值

數(shù)學(xué)畫(huà)是兒童認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)世界的一種具體表現(xiàn)，它既不是用圖畫(huà)效果來(lái)描繪知識(shí)點(diǎn)的多少，也不是簡(jiǎn)單地羅列或呈現(xiàn)所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而應(yīng)當(dāng)繪制出該知識(shí)是怎樣發(fā)生、發(fā)展與運(yùn)用的，或者自己是如何解決某一數(shù)學(xué)問(wèn)題的，其過(guò)程與結(jié)果是怎樣發(fā)展的。而且，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)畫(huà)需要一定的背景作為支撐，過(guò)早地脫離現(xiàn)實(shí)、實(shí)物或圖形的數(shù)學(xué)畫(huà)不能全面的呈現(xiàn)學(xué)生的理解水平或精準(zhǔn)地展示他們對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)的理解程度。因此，我們經(jīng)常借助主題式創(chuàng)作來(lái)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)畫(huà)的功能及價(jià)值的感悟，使他們從不同的作品中感受自己的數(shù)學(xué)理解水平及可能存在的不足。

四年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)了“公頃和平方千米”之后，以“我心中的大面積來(lái)啦”為主題進(jìn)行數(shù)學(xué)畫(huà)創(chuàng)作，以此強(qiáng)化他們關(guān)于公頃和平方千米的數(shù)感與量感。學(xué)生用邊長(zhǎng)為100米的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積來(lái)描述1公頃的大小，然后借助100個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)來(lái)描述1平方千米的大小。（如圖2）如此生動(dòng)，如此貼合學(xué)生的生活，真實(shí)地表達(dá)了他們對(duì)大面積單位的理解。

（三）融入故事，體會(huì)數(shù)學(xué)畫(huà)的創(chuàng)作樂(lè)趣

學(xué)生在初學(xué)數(shù)學(xué)畫(huà)的時(shí)候常伴有模仿教材或教師的實(shí)例的痕跡，但隨著認(rèn)識(shí)的深入，他們的數(shù)學(xué)畫(huà)的水平會(huì)逐步地從模仿階段過(guò)渡到創(chuàng)作階段。學(xué)生能夠較為自由地、熟練地選取現(xiàn)實(shí)生活中的或童話世界中的對(duì)象來(lái)展示自己對(duì)知識(shí)的理解，天真爛漫地來(lái)表達(dá)出獨(dú)到的見(jiàn)解。如在三年級(jí)教學(xué)完面積之后，我們安排了一次以“你心中的面積長(zhǎng)什么樣”為主題的數(shù)學(xué)畫(huà)創(chuàng)作活動(dòng)，組織學(xué)生畫(huà)出自己對(duì)面積的理解。

圖3學(xué)生的數(shù)學(xué)畫(huà)說(shuō)明：這是我最喜歡的早餐——烤面包片。首先，我在面包片的表面涂滿草莓醬。這就是面包片的面積。然后，我又在面包片的四周涂上一圈藍(lán)莓醬。這就是面包片的周長(zhǎng)。這么好看又好香的面包片，爸爸也想吃。于是，我把面包片分成了兩塊。我吃了左邊那塊，把大的那塊給爸爸。

兩塊周長(zhǎng)一樣，但面積不一樣。學(xué)生結(jié)合日常生活，巧妙地借助具體實(shí)物和直觀圖形的支撐，以“面包的面積與周長(zhǎng)”的故事的形式展現(xiàn)了自己對(duì)面積的深刻理解。這幅數(shù)學(xué)畫(huà)不僅形象地借助涂草莓醬和藍(lán)莓醬說(shuō)明了面積與周長(zhǎng)的現(xiàn)實(shí)含義，還通過(guò)切面包片直觀地將不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)與面積展示在大家面前，還借此說(shuō)明了面積與周長(zhǎng)之間的區(qū)別與聯(lián)系。

我們發(fā)現(xiàn)，這幅數(shù)學(xué)畫(huà)的表達(dá)圖文并茂，主體內(nèi)容鮮明而突出，知識(shí)表達(dá)具體、清晰而透徹，故事化的表達(dá)方式有層次、有邏輯，這使其更具兒童色彩、飽含趣味性。而且，它又不失數(shù)學(xué)本真，生動(dòng)地揭示了面積的生活意義及其與周長(zhǎng)之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系。在交流中，全班學(xué)生都被這位學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造所折服，感嘆于她的創(chuàng)造性思考與趣味化表達(dá)，也使她充分體會(huì)了數(shù)學(xué)畫(huà)創(chuàng)作所帶來(lái)的樂(lè)趣與自信。

三、數(shù)學(xué)畫(huà)的教學(xué)建議

數(shù)學(xué)畫(huà)的創(chuàng)作與教學(xué)對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算意義及其法則、區(qū)分不同概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，獲取解決問(wèn)題的思路，發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力等有著積極的促進(jìn)作用。但是，在日常實(shí)施中還需要注意一些問(wèn)題，比如，數(shù)學(xué)畫(huà)主題不夠聚焦，未能清晰地展現(xiàn)知識(shí)的形成與運(yùn)用過(guò)程;數(shù)學(xué)畫(huà)知識(shí)點(diǎn)過(guò)多，以致于無(wú)法全面展示思維的細(xì)節(jié)部分與關(guān)鍵之處;何時(shí)能夠利用數(shù)學(xué)畫(huà)來(lái)鞏固學(xué)習(xí)成果等。

（一）明確創(chuàng)作主題，聚焦核心知識(shí)

在創(chuàng)作數(shù)學(xué)畫(huà)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)組織學(xué)生充分討論本期的創(chuàng)作主題、內(nèi)容、基本形式和畫(huà)面布局等，進(jìn)而保證所選擇的背景、事物主體能與核心知識(shí)相統(tǒng)一，從而保障作品顯得富有整體感與完整性，促使學(xué)生利用更加豐富的方式來(lái)突出核心知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程。

（二）突出思考路徑，呈現(xiàn)思維過(guò)程

尤其是在數(shù)學(xué)畫(huà)教學(xué)初期，教師要特別注意引導(dǎo)學(xué)生將自己是如何從頭到尾思考并解決某個(gè)問(wèn)題的過(guò)程有序地利用“一件例子”或“一個(gè)故事”來(lái)清楚地放大自己的理解。

（三）選擇創(chuàng)作時(shí)機(jī)，發(fā)揮數(shù)學(xué)畫(huà)的教學(xué)功能

我們常常將數(shù)學(xué)畫(huà)安排在課后鞏固、單元復(fù)習(xí)或拓展提升環(huán)節(jié)。如在單元復(fù)習(xí)時(shí)可以組織學(xué)生將已學(xué)的某一學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)心得或?qū)W習(xí)困惑繪制成一張數(shù)學(xué)畫(huà)，以幫助自己實(shí)現(xiàn)自我診斷、知識(shí)鞏固和思維提升，并借此強(qiáng)化自身的數(shù)學(xué)認(rèn)知。

（四）鼓勵(lì)多種樣式，展現(xiàn)個(gè)性化理解

我們除了大力倡導(dǎo)學(xué)生要緊扣生活，盡量以實(shí)物、人物、生活事例來(lái)進(jìn)行創(chuàng)作之外，還十分重視讓學(xué)生結(jié)合故事、漫畫(huà)、連環(huán)畫(huà)的樣式來(lái)連續(xù)地展示自己對(duì)知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)結(jié)構(gòu)的個(gè)性化理解。畢竟，童話也是學(xué)生理解數(shù)學(xué)的一種重要方式。

在具體教學(xué)中，教師需要為學(xué)生提供喜聞樂(lè)見(jiàn)的圖畫(huà)樣式以供參考，并且與他們共同解讀其他學(xué)生的創(chuàng)作經(jīng)歷與繪圖步驟。如此，不僅能為學(xué)生提供具體的案例點(diǎn)評(píng)與指導(dǎo)，還能進(jìn)一步加深他們對(duì)數(shù)學(xué)畫(huà)的感性認(rèn)識(shí)與理性認(rèn)知，讓學(xué)生在欣賞與被欣賞中感受數(shù)學(xué)畫(huà)創(chuàng)作帶來(lái)的自信與快樂(lè)。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）