耿 新，孫忠廷，尚文武，柏建軍,2

(1.杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018;2.浙江省物聯(lián)感知與信息融合技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310018)

0 引 言

輪式移動(dòng)機(jī)器人具有易于操作、機(jī)動(dòng)靈活等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于生活服務(wù)業(yè)、安全防御及自動(dòng)化生產(chǎn)車間等眾多領(lǐng)域。實(shí)際應(yīng)用中，軌跡跟蹤控制是研究輪式機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的重要部分，軌跡跟蹤是指移動(dòng)機(jī)器人在閉環(huán)反饋控制器的作用下，從初始位置開始以期望的速度和角速度實(shí)時(shí)跟蹤給定的參考軌跡。輪式移動(dòng)機(jī)器人是一種典型的非完整約束系統(tǒng)，其具有非線性、強(qiáng)耦合、多輸入多輸出及參數(shù)不確定等特點(diǎn)，連續(xù)的狀態(tài)反饋控制方法已經(jīng)無(wú)法滿足實(shí)際的軌跡跟蹤控制要求[1]。另一方面，滑?？刂仆ㄟ^(guò)控制律的切換，使系統(tǒng)的狀態(tài)到達(dá)并維持在滑模面上，具有較好的魯棒性和快速響應(yīng)性，已廣泛應(yīng)用于輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制中。文獻(xiàn)[2]在系統(tǒng)不受干擾的情況下，設(shè)計(jì)了一種新穎的滑模軌跡跟蹤控制器，該控制器使得位置和方向跟蹤誤差都在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0，但是控制器輸出變量存在抖振。文獻(xiàn)[3]研究移動(dòng)機(jī)器人車輪打滑情況下的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，采用自抗擾和反步控制技術(shù)對(duì)車輪打滑擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，提高了軌跡跟蹤的精度，但缺乏對(duì)車輪打滑干擾的精確估計(jì)。文獻(xiàn)[4]通過(guò)雙冪次趨近律滑模軌跡跟蹤控制器來(lái)削弱抖振并克服外部干擾對(duì)系統(tǒng)性能的影響，提高了系統(tǒng)收斂速率。文獻(xiàn)[5]將特殊冪次函數(shù)和反雙曲正弦函數(shù)相結(jié)合，給出一種收斂性能和抖振均優(yōu)于雙冪次趨近律的新趨近律。文獻(xiàn)[6]同時(shí)考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了基于反步法設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器，但忽略了動(dòng)力學(xué)模型中的不確定因素。文獻(xiàn)[7]在存在擾動(dòng)的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)中，運(yùn)用模糊控制規(guī)則來(lái)調(diào)節(jié)快速雙冪次趨近律的參數(shù)，達(dá)到較好的跟蹤效果，但是系統(tǒng)存在抖振。上述文獻(xiàn)研究的是移動(dòng)機(jī)器人的質(zhì)心與幾何中心完全重合情況下的軌跡跟蹤控制問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，由于移動(dòng)機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、工藝制作、負(fù)載安裝等導(dǎo)致機(jī)器人幾何形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻，機(jī)器人質(zhì)心與幾何中心是不重合的。文獻(xiàn)[8-9]研究了移動(dòng)機(jī)器人質(zhì)心與幾何中心不重合情況下的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，但軌跡跟蹤誤差的收斂速度較慢。針對(duì)該問(wèn)題，本文基于雙冪次趨近律設(shè)計(jì)了一種新的滑模軌跡跟蹤控制器，提高了軌跡跟蹤系統(tǒng)的收斂速度。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)及軌跡誤差模型

移動(dòng)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。以地面為參考系建立全局坐標(biāo)系XOY，以移動(dòng)機(jī)器人為參考系建立移動(dòng)機(jī)器人坐標(biāo)系xoy，2為y軸方向2個(gè)驅(qū)動(dòng)輪之間的距離，2r為驅(qū)動(dòng)輪直徑，d為移動(dòng)機(jī)器人質(zhì)心o與驅(qū)動(dòng)輪軸在x軸方向的距離，θ為移動(dòng)機(jī)器人行駛方向與水平方向的夾角。設(shè)在XOY坐標(biāo)下給定的參考軌跡位姿坐標(biāo)為參考軌跡的線速度和角速度為νr，ωr。移動(dòng)機(jī)器人的實(shí)際位姿坐標(biāo)為速度和角速度為ν，ω。

圖1 移動(dòng)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)模型

移動(dòng)機(jī)器人的質(zhì)心與幾何中心不重合的情況下，當(dāng)移動(dòng)機(jī)器人不存在橫向滑動(dòng)時(shí)，移動(dòng)機(jī)器人行駛方向沿著輪軸垂直方向，在輪軸方向沒(méi)有速度分量時(shí)，存在如下約束方程[10]：

(1)

在式(1)約束條件下得到移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：

(2)

移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤誤差模型如下：

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合式(2)整理可得移動(dòng)機(jī)器人的軌跡誤差模型：

(4)

2 快速軌跡跟蹤控制器

本文的設(shè)計(jì)基于軌跡跟蹤誤差模型，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)幕Ｃ妫缓蠡陔p冪次趨近律來(lái)設(shè)計(jì)軌跡跟蹤的滑?？刂破鳎沟孟到y(tǒng)軌跡跟蹤誤差快速收斂到0。

2.1 控制器設(shè)計(jì)

選取滑模面s1，s2如下：

s1=θe

(5)

s2=k1xe-k2ωrye

(6)

式中，k1，k2>0，ωr≠0且為常數(shù)。對(duì)式(5)、式(6)求導(dǎo)得：

(7)

(8)

式(5)、式(6)滿足如下雙冪次趨近律：

(9)

(10)

式中，α11，α12，α21，α22>0且為常數(shù)；p11q12，p21q22，均為正奇數(shù)，sign(x)為符號(hào)函數(shù)。

聯(lián)立式(4)、式(7)、式(9)得到軌跡跟蹤角速度控制器：

(11)

當(dāng)滑模面s1=θe在有限時(shí)間內(nèi)趨于0時(shí)，得到ω=ωr。在此情況下聯(lián)立式(4)、式(8)、式(10)得到軌跡跟蹤速度控制器：

(12)

2.2 系統(tǒng)的收斂時(shí)間分析

不失一般性，假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)si(0)>1，i=1，2，將系統(tǒng)從初始狀態(tài)到滑模面的收斂過(guò)程分為2個(gè)階段，第一階段從初始狀態(tài)si(0)到si=1，第二階段從si=1到滑模面[11]。首先證明滑模面s1=θe在有限時(shí)間內(nèi)趨于0。

系統(tǒng)從初始狀態(tài)s1(0)>1到s1=1階段，由于|s1|>1，p12/q12>1，所以系統(tǒng)中第二項(xiàng)對(duì)收斂效果起主要作用，忽略第一項(xiàng)，系統(tǒng)為：

(13)

由式(13)可得：

(14)

兩邊移項(xiàng)求定積分，得：

(15)

由式(15)解得系統(tǒng)從初始狀態(tài)s1(0)>1到s1=1的時(shí)間為：

(16)

由于忽略了系統(tǒng)中趨近律的第一項(xiàng)，故滑模面s1=θe在第一階段的實(shí)際收斂時(shí)間小于t1。

系統(tǒng)從s1=1到滑模面階段，由于|s1|<1，0

(17)

由式(17)可得：

(18)

兩邊移項(xiàng)求定積分，得：

(19)

由式(19)解得系統(tǒng)從s1=1到達(dá)滑模面階段的時(shí)間為：

(20)

由于忽略了系統(tǒng)中趨近律的第二項(xiàng)，故滑模面s1=θe在第二階段的實(shí)際收斂時(shí)間小于t2。

因此s1從初始狀態(tài)到滑模面的收斂時(shí)間不大于

ts1=t2+t1

(21)

當(dāng)初始狀態(tài)s1(0)<-1時(shí)，系統(tǒng)收斂到滑模面的時(shí)間同樣分為2個(gè)階段：從初始狀態(tài)到s1=-1和從s1=-1到滑模面，分析與計(jì)算原理與系統(tǒng)初始狀態(tài)s1(0)>1相同。

同理可證滑模面s2=k1xe-k2ωrye在有限時(shí)間內(nèi)趨于0，并記s2收斂時(shí)間為ts2。

當(dāng)時(shí)間t>ts1+ts2時(shí)，s1，s2收斂到0，此時(shí)

(22)

此時(shí)式(4)可簡(jiǎn)化為：

(23)

取Lyapunov函數(shù)

(24)

求導(dǎo)可得：

(25)

所以，當(dāng)ωr≠0且為常數(shù)時(shí)，xe漸近收斂到0。由式(6)可得：

(26)

由于xe漸近收斂到0，滑模面s2，s1均已證明在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0，因此ye也漸近收斂到0。綜上可知：系統(tǒng)在基于雙冪次趨近律的滑?？刂破髯饔孟?，軌跡跟蹤誤差xe，ye漸近收斂到0，θe在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的控制律的有效性，通過(guò)MATLAB軟件對(duì)軌跡誤差收斂性和參考軌跡跟蹤性能進(jìn)行仿真。選取參考速度νr=2.6 m/s，參考角速度ωr=0.4 rad/s。給定跟蹤機(jī)器人初始位姿為[2.7 1.0 -1.0]T，參考軌跡初始位姿為[2.0 1.0 2.0]T，d=0.25 m。分別選取參數(shù)α11=9，α12=0.3，α21=9，α22=0.2，p11=9，p12=9，p21=9，p22=9，q11=11，q12=5，q21=13，q22=5，k1=0.19，k2=16。仿真結(jié)果如圖2—4所示。

圖2 軌跡跟蹤誤差曲線

由圖2可以看出：軌跡跟蹤誤差能夠在0.5 s內(nèi)收斂到0；圖3為控制速度的變化圖，圖4為實(shí)際軌跡與參考軌跡的對(duì)比圖，可以看出：移動(dòng)機(jī)器人在雙冪次趨近律滑模軌跡跟蹤控制器ν和ω的作用下，機(jī)器人能夠很好地跟蹤參考軌跡。

圖3 趨近律輸出變量變化曲線

圖4 圓形參考軌跡跟蹤曲線

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的控制律的有效性，采用本文設(shè)計(jì)的控制器與文獻(xiàn)[9]方法進(jìn)行對(duì)比，本文控制器的參數(shù)同上。選取與文獻(xiàn)[9]相同的參考速度νr=1 m/s、參考角速度ωr=1 rad/s、機(jī)器人初始位姿[0 0 0]T和參考軌跡初始位姿[1 1 π/4]T。系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差xe，ye，θe仿真對(duì)比結(jié)果如圖5—7所示。

圖5 xe誤差曲線對(duì)比圖

圖6 ye誤差曲線對(duì)比圖

圖7 θe誤差曲線對(duì)比圖

由圖5—7可以看出：本文設(shè)計(jì)的雙冪次趨近律滑?？刂破骺刂频能壽E跟蹤誤差xe，ye，θe收斂速度明顯快于文獻(xiàn)[9]，說(shuō)明本文設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)具有良好的軌跡跟蹤性能。綜上可知，系統(tǒng)對(duì)不同參考速度和角速度進(jìn)行軌跡跟蹤，移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤誤差能較快收斂到0。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問(wèn)題，提出一種基于雙冪次趨近律的快速滑模軌跡跟蹤控制方案。在機(jī)器人質(zhì)心與幾何中心不重合的情況下，采用雙冪次趨近律設(shè)計(jì)滑?？刂破?，保證系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差快速收斂到0，提高了系統(tǒng)的跟蹤性能。但是，本文只考慮輪式移動(dòng)機(jī)器人的角速度不為0的情況，下一步將針對(duì)角速度為0的情況展開進(jìn)一步研究。