李道倫，齊 銀，達(dá)引朋，夏德斌，查文舒，檀結(jié)慶，盧德唐.

(1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230009；2.長(zhǎng)慶油田分公司油氣工藝研究院，陜西西安 710018； 3.低滲透油氣田開(kāi)發(fā)國(guó)家工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安 710018；4.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049； 5.中國(guó)科學(xué)院滲流流體力學(xué)研究所，河北廊坊 065007；6.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230026)

在低滲透油藏開(kāi)發(fā)中，關(guān)井壓力雙對(duì)數(shù)曲線上翹的特征受到學(xué)術(shù)界、業(yè)界的普遍關(guān)注。眾多學(xué)者從實(shí)驗(yàn)、機(jī)理、應(yīng)用等方面對(duì)此進(jìn)行了研究[1-12]。

有研究認(rèn)為：?jiǎn)?dòng)壓力梯度是低滲油藏的流動(dòng)特征，是壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹的物理機(jī)制，而且啟動(dòng)壓力梯度越大，曲線上升越高，上升得也越早。相關(guān)結(jié)論是基于疊加原理，對(duì)含啟動(dòng)壓力梯度的滲流方程進(jìn)行求解所得到的。這樣，通過(guò)滲流理論的驗(yàn)證，就證明了實(shí)驗(yàn)所發(fā)現(xiàn)的啟動(dòng)壓力梯度是低滲油藏流動(dòng)的特征。啟動(dòng)壓力梯度是指當(dāng)壓力梯度大于該閾值時(shí)，流體開(kāi)始流動(dòng)。

有研究認(rèn)為：低速非線性是低滲油藏的流動(dòng)機(jī)制。低速非達(dá)西滲流是由邊界層、細(xì)微的喉道、非牛頓流體等因素共同形成的。一種觀點(diǎn)認(rèn)為，邊界層導(dǎo)致非線性。另一觀點(diǎn)認(rèn)為，低滲油藏的喉道是一個(gè)分布，對(duì)應(yīng)不同的啟動(dòng)壓力梯度，從而整體上表現(xiàn)為非線性。隨著設(shè)備精度的提高，更多的低滲樣品實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)出非線性特征[1-6]。

數(shù)值試井研究發(fā)現(xiàn)[7-8]：低滲儲(chǔ)層不存在啟動(dòng)壓力梯度。對(duì)含啟動(dòng)壓力梯度的滲流方程進(jìn)行數(shù)值求解，發(fā)現(xiàn)啟動(dòng)壓力梯度使壓力導(dǎo)數(shù)下掉，而低速非線性使壓力導(dǎo)數(shù)上翹。該發(fā)現(xiàn)說(shuō)明低滲儲(chǔ)層不存在啟動(dòng)壓力梯度。但這還不能否定啟動(dòng)壓力梯度的存在性。低滲油氣藏的孔喉半徑是個(gè)分布，若每一孔喉對(duì)應(yīng)一個(gè)啟動(dòng)壓力梯度，其在宏觀上仍可能表現(xiàn)出非線性。將低速非線性流動(dòng)模型轉(zhuǎn)換為動(dòng)態(tài)滲透率，可以進(jìn)行試井與值模擬研究[9-10]。亦有相關(guān)應(yīng)用的研究成果[1-2,11]。低速非線性流動(dòng)規(guī)律的反演方法及其在井網(wǎng)優(yōu)化、注水優(yōu)化中的應(yīng)用研究有待加強(qiáng)。

1 啟動(dòng)壓力梯度不是壓力導(dǎo)數(shù)上翹的物理機(jī)制

1.1 流動(dòng)方程

含啟動(dòng)壓力梯度的Darcy方程有多種方式，最常用的形式如下：

(1)

式中u——速度，m/s；

K——絕對(duì)滲透率，m2；

μ——黏度，Pa·s；

p——壓力，Pa；

λ——壓力梯度，Pa/m。

單相油含絕對(duì)啟動(dòng)壓力梯度的滲流方程可寫(xiě)為：

(2)

式中B——體積系數(shù)，無(wú)量綱；

t——時(shí)間，s；

Ф——孔隙度，%；

q——單位時(shí)間單位體積下的流量，1/s。

(3)

式中Jw——井指數(shù)，m3/(s·Pa)；

pwf——井底壓力，Pa；

h——儲(chǔ)層厚度，m；

re——井網(wǎng)格等效半徑，m；

rw——井半徑，m；

S——表皮系數(shù)，無(wú)量綱。

對(duì)試井，都是定井口產(chǎn)量Q(m3/s)，則耦合井儲(chǔ)C(m3/Pa)的井控制方程為：

(4)

1.2 基于疊加原理的方程求解

疊加原理常用來(lái)求解關(guān)井段的井底流壓隨時(shí)間的變化情況，如圖1所示。

圖1 疊加原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of superposition principle

實(shí)際生產(chǎn)史為(圖1a)：生產(chǎn)井以產(chǎn)量q生產(chǎn)tp時(shí)間后關(guān)井，關(guān)井時(shí)間為Δt。疊加原理的處理方式為(圖1b)：生產(chǎn)井以產(chǎn)量q生產(chǎn)tp+Δt時(shí)間；在tp時(shí)間以后，虛擬井開(kāi)始以-q的產(chǎn)量生產(chǎn)(即注入)，注入時(shí)間為Δt。生產(chǎn)井與虛擬注入井的井底壓力在時(shí)間[tp,tp+Δt]上進(jìn)行疊加，即得關(guān)井期間的井底壓力。

疊加原理要求方程是齊次的，而含啟動(dòng)壓力梯度的滲流方程不是齊次的，因而，疊加原理的適用性條件不滿足，使用疊加原理存在誤差[7-8]。

如圖1b所示，用數(shù)值方法分別計(jì)算生產(chǎn)與注入的井底壓力，然后進(jìn)行疊加，得到井底壓力。圖 2給出了據(jù)此計(jì)算得到井底壓力的例子。

圖 2a所示為關(guān)井340 d的井底壓力曲線，其中的tp和Δt分別為30 d、340 d，流量q為10 m3/d。首先，當(dāng)絕對(duì)啟動(dòng)壓力梯度為0.05 MPa/m時(shí)，用數(shù)值方法計(jì)算注入340 d的井底壓力，再用數(shù)值方法計(jì)算生產(chǎn)370 d的井底壓力；然后再用疊加原理將兩個(gè)井底壓力進(jìn)行疊加，就可以獲得井底壓力曲線。圖 2b所示為關(guān)井達(dá)12年之久的壓力恢復(fù)曲線?？梢?jiàn)，生產(chǎn)30 d，關(guān)井340 d的井底壓力都不穩(wěn)定，甚至關(guān)井12年之久的壓力還不穩(wěn)定。從物理上這不能解釋。為什么30 d的生產(chǎn)(或理解為一種擾動(dòng))，過(guò)12年之久壓力都不能穩(wěn)定？這是由疊加原理應(yīng)用于非線性方程的誤差所導(dǎo)致的。

1.3 基于PEBI的數(shù)值求解

按圖1a的方式進(jìn)行數(shù)值求解，即按真實(shí)方式進(jìn)行求解。具體的數(shù)值求解方法詳見(jiàn)文獻(xiàn)[7-8]， 這里僅給出結(jié)果。當(dāng)開(kāi)井時(shí)間tp和關(guān)井時(shí)間Δt皆為30 d、流量q為10 m3/d時(shí)，井底流壓、生產(chǎn)段與關(guān)井段的壓力及其導(dǎo)數(shù)曲線如圖 3所示。

圖2 疊加原理所計(jì)算的井底壓力Fig.2 Bottom hole pressure calculated by superposition principle

圖3 井底流壓及生產(chǎn)段、關(guān)井段的壓力與其導(dǎo)數(shù)曲線Fig.3 Bottom hole flowing pressure and log-log curves during production and shut in section

圖3表明，生產(chǎn)段的雙對(duì)數(shù)曲線上翹，與解析解一致，但關(guān)井段的壓力導(dǎo)數(shù)下掉。這說(shuō)明啟動(dòng)壓力梯度不會(huì)導(dǎo)致低滲油藏壓力導(dǎo)數(shù)上翹。

圖3的結(jié)果很容易解釋。關(guān)井后，遠(yuǎn)離井的區(qū)域，其壓力梯度很快小于啟動(dòng)壓力梯度，停止流動(dòng)，可流動(dòng)區(qū)域變小，從而地層壓力逐漸平衡。

啟動(dòng)壓力梯度是低滲油藏的流動(dòng)機(jī)制的誤解，主要來(lái)自兩方面的原因：①早期實(shí)驗(yàn)設(shè)備精度有限，非線性部分測(cè)量不出來(lái)。②使用疊加原理后得到的試井曲線與實(shí)測(cè)曲線一致。這誤導(dǎo)了我們：即使疊加原理不適應(yīng)，但誤差可能會(huì)很小，以至于可以忽略。

2 低速非線性滲流是低滲油藏壓力導(dǎo)數(shù)上翹的物理機(jī)制

2.1 低速非線性滲流

眾多學(xué)者研究了低速非線性滲流。如圖 4所示，其中λmax為最大啟動(dòng)壓力梯度，λmin為最小啟動(dòng)壓力梯度，λpseudo為擬啟動(dòng)壓力梯度。

低速非線性滲流模型非常多，作者給出的模型如式(5)[7-8]：

(5)

其中，

圖4 低速非現(xiàn)象滲流模型Fig.4 Low velocity nonlinear seepage model

(6)

式中β——非線性因子；

n——非線性指數(shù)，為大于1的數(shù)。

更詳細(xì)的滲流模型推導(dǎo)、數(shù)值求解格式，請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[7-8]，這里僅給出算例。

2.2 海拉爾油田直井：有非線性滲流特征

海拉爾油田是典型的低滲透油田。在壓力測(cè)試期間，井的含水率低于1%，可以認(rèn)為是單相流。測(cè)試前120 d內(nèi)的平均油產(chǎn)量為 0.98 m3/d，關(guān)井測(cè)試時(shí)間為15 d。主要的擬合參數(shù)見(jiàn)表 1。圖5a給出了擬合的壓力史，圖5b給出了擬合的壓力dp及其導(dǎo)數(shù)dp′曲線。在數(shù)據(jù)解釋階段我們主要調(diào)整滲透率、最大啟動(dòng)壓力梯度λmax和擬啟動(dòng)壓力梯度λpseudo來(lái)擬合中后期的壓力導(dǎo)數(shù)。在這里，我們?nèi)ˇ薽in=0。

我們嘗試確定最小啟動(dòng)壓力梯度的唯一性。遺憾的是，由于關(guān)井時(shí)間不夠長(zhǎng)，λmin的唯一性不能確定。

表1 所擬合的參數(shù)Table 1 Fitted parameters

圖5 壓力及其導(dǎo)數(shù)擬合情況Fig.5 Fitted pressure and log-log curves

2.3 大慶油田致密油多段壓裂水平井：無(wú)非線性滲流特征

大慶油田致密油區(qū)塊采用多段壓裂水平井方式進(jìn)行開(kāi)發(fā)。作者幾乎解釋了所有的早期的關(guān)井壓力數(shù)據(jù)，在解釋的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，使用常規(guī)的不考慮非線性的滲流模型就能解釋關(guān)井壓力數(shù)據(jù)，且與生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)吻合。

利用地下永久壓力計(jì)，某多段壓裂水平井的180～245 d的生產(chǎn)流壓數(shù)據(jù)及其擬合情況如圖6所示，其中有約15 d的關(guān)井時(shí)間?？梢?jiàn)，使用普通的滲流模型就能很好擬合，不僅能擬合期間的關(guān)井壓力雙對(duì)數(shù)曲線(圖6b)，而且能擬合生產(chǎn)動(dòng)態(tài)(圖6c)。這充分說(shuō)明了模型的合理性。

若使用非線性滲流模型來(lái)解釋，所得到的初始?jí)毫μ?，不甚合理。其中的原因有兩點(diǎn)：①大規(guī)模體積壓裂造成很多縫網(wǎng)，縫網(wǎng)的流動(dòng)應(yīng)是達(dá)西流。達(dá)西流遮掩了未改造區(qū)域中的非線性滲流。②由于沒(méi)壓裂改造的區(qū)域流動(dòng)能力太低，因此未壓裂改造區(qū)域成了泄油面積的邊界。

2.4 長(zhǎng)慶油田壓裂直井：有非線性滲流特征

圖7給出某直井的生產(chǎn)史、參數(shù)解釋及驗(yàn)證情況。在壓裂前后都進(jìn)行了關(guān)井測(cè)壓(圖7中的1、3)，先對(duì)關(guān)井測(cè)壓數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋，反演地層和裂縫相關(guān)參數(shù)；然后進(jìn)行生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)驗(yàn)證(圖7中的2、4)。這既能檢驗(yàn)兩次試井解釋結(jié)果的一致性，還能檢驗(yàn)解釋結(jié)果是否滿足生產(chǎn)動(dòng)態(tài)。

首先，使用常規(guī)模型進(jìn)行兩次關(guān)井測(cè)壓曲線解釋，雖然兩次都能擬合得很好，但解釋參數(shù)壓裂前后不一致，是矛盾的?？梢?jiàn)，常規(guī)流動(dòng)模型不能描述長(zhǎng)慶油田的流動(dòng)規(guī)律。

為此，采用低速非線性模型對(duì)壓裂前后的關(guān)井壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋，解釋得到非線性、裂縫半長(zhǎng)、井儲(chǔ)、表皮系數(shù)等參數(shù)，符合壓裂改造后的參數(shù)變化規(guī)律。

更為重要的是，利用壓裂前的試井解釋結(jié)果(圖7中的1)，對(duì)生產(chǎn)歷史進(jìn)行了追溯(圖7中的2)；利用壓裂后的試井解釋結(jié)果(圖7中的3)，對(duì)產(chǎn)量進(jìn)行了預(yù)測(cè)(圖7中的4)。二者吻合得很好，進(jìn)一步驗(yàn)證了非線性模型的正確性。

圖6 生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig.6 Fitted production data

圖7 設(shè)計(jì)方案及其驗(yàn)證結(jié)果Fig.7 Test scheme and verification results

該算例的進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，低滲儲(chǔ)層由于非線性與壓力改造原因，僅用滲透率已不能很好表征流動(dòng)規(guī)律，需將非線性與滲透率來(lái)共同表征。相關(guān)成果已形成論文，正在評(píng)審中。

3 分子動(dòng)力學(xué)模擬的結(jié)果

在高嶺石長(zhǎng)方體孔隙的原子模型中，引入高嶺石、水和甲烷分子的分子動(dòng)力學(xué)力場(chǎng)。如圖8a所示，孔隙在Y方向?yàn)?.9 nm，在Z方向?yàn)?.3 nm。

長(zhǎng)方形孔表面不盡相同，如具有硅氧烷氧基的上表面、具有鋁羥基的下表面、具有B鏈邊面的兩垂直表面，從而高嶺石和水分子在四個(gè)面所受到的力不盡相同。由于高嶺石表面的硅氧原子比水對(duì)甲烷分子更有親和力。納米受限環(huán)境下的水膜在長(zhǎng)方體孔型中形成了近似圓形的水通道[12]。

圖8 納米孔隙的水速流動(dòng)Fig.8 Water velocity flow in nanopore

圖8表明，在固液界面，有些水分子速度幾乎為0，有些水分子速度大些。但整體上，速度是大于0的?？梢?jiàn)，即使在親水的4 nm左右的高嶺石孔隙內(nèi)，水分子也會(huì)流動(dòng)。不過(guò)，在實(shí)驗(yàn)室的測(cè)試中，當(dāng)流速很小時(shí)，可能難以測(cè)量。

4 討論

壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹是低滲透油藏普遍存在的現(xiàn)象。雖然很多情形都可能導(dǎo)致壓力導(dǎo)數(shù)上翹，例如徑向復(fù)合，但每口井都是徑向復(fù)合很難解釋。另外，試井解釋的正確性判斷依據(jù)之一是，基于所得到的參數(shù)能否預(yù)測(cè)油藏開(kāi)發(fā)動(dòng)態(tài)。對(duì)開(kāi)發(fā)初期含水率幾乎為0時(shí)，多相流的因素幾乎可以忽略。剩下的因素只能是某種流動(dòng)機(jī)理在起作用了。

啟動(dòng)壓力梯度的概念有其歷史的原因。首先，早期設(shè)備精度有限，微量的水很難測(cè)出，表現(xiàn)為啟動(dòng)壓力梯度。其次，基于疊加原理的解析解的巧合，強(qiáng)化了啟動(dòng)壓力梯度的概念。

已有學(xué)者認(rèn)識(shí)到，含啟動(dòng)壓力梯度的滲流方程不滿足疊加原理，并開(kāi)始研究新的疊加原理，使其能求解含啟動(dòng)壓力梯度的滲流方程[13-14]。

啟動(dòng)壓力梯度受到現(xiàn)場(chǎng)懷疑，其原因有：其與開(kāi)發(fā)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)不吻合。若啟動(dòng)壓力梯度存在，開(kāi)井再關(guān)井，地層壓力就不能平衡，這就成了某種意義上的永動(dòng)機(jī)了，這與事實(shí)不甚相同。例如，在試油試采階段的關(guān)井實(shí)測(cè)壓力數(shù)據(jù)中，關(guān)井末點(diǎn)壓力值往往很高，啟動(dòng)壓力梯度難以解釋。

若啟動(dòng)壓力梯度為0.12 MPa/m，那么當(dāng)100 m范圍內(nèi)的流體都流動(dòng)時(shí)，壓力損失可達(dá)12 MPa。假如地層初始?jí)毫?0 MPa，那么此時(shí)的井底流壓應(yīng)不高于8 MPa。若此時(shí)關(guān)井，無(wú)論關(guān)井多長(zhǎng)時(shí)間，井底流壓都不會(huì)高于8 MPa(假定無(wú)注入井)。這與很多實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)所反映的規(guī)律是不相同的。

即使單一孔隙存在啟動(dòng)壓力梯度，對(duì)實(shí)際油藏都表現(xiàn)出非線性流動(dòng)特征。

遺憾的是，由于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)關(guān)井時(shí)間不夠長(zhǎng)，已見(jiàn)到的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)不能決定最小啟動(dòng)壓力梯度是否大于0。這有待于驗(yàn)證。

沒(méi)外來(lái)能量時(shí)，對(duì)低速非線性滲流模型，壓力導(dǎo)數(shù)上翹也只是關(guān)井后某一段時(shí)間內(nèi)的特征。若關(guān)井時(shí)間足夠長(zhǎng)，最終壓力一定會(huì)平衡，壓力導(dǎo)數(shù)一定會(huì)下掉。若油田能拿出一口井開(kāi)展長(zhǎng)期試驗(yàn)，就會(huì)證明這一點(diǎn)。否則，低速非線性滲流模型就不能描述低滲油藏的流動(dòng)規(guī)律。

5 結(jié)論

(1)實(shí)際低滲透油藏不存在啟動(dòng)壓力梯度。啟動(dòng)壓力梯度使關(guān)井段的井底壓力導(dǎo)數(shù)曲線下掉。

(2)低速非線性流動(dòng)規(guī)律是低滲油藏壓力導(dǎo)數(shù)上翹的物理機(jī)制。這為基于關(guān)井壓力數(shù)據(jù)反演非線性流動(dòng)規(guī)律提供了理論依據(jù)。

(3)在長(zhǎng)慶等油田的應(yīng)用表明，以非線性流動(dòng)模型為內(nèi)核的數(shù)值試井軟件，能基于關(guān)井壓力數(shù)據(jù)解釋出非線性規(guī)律的參數(shù)，并與油藏開(kāi)發(fā)動(dòng)態(tài)很好地吻合。這說(shuō)明非線性流動(dòng)規(guī)律的正確性，且可為井網(wǎng)設(shè)計(jì)、注產(chǎn)優(yōu)化提供科學(xué)指導(dǎo)。