李夢(mèng)輝 李佳娛 陳清華

摘? 要：企業(yè)是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的核心，企業(yè)的再投資發(fā)展是經(jīng)濟(jì)可持續(xù)增長(zhǎng)的源泉。假定在完全競(jìng)爭(zhēng)商品市場(chǎng)和勞動(dòng)力市場(chǎng)中，企業(yè)根據(jù)固定資本量決定勞動(dòng)量的最優(yōu)配置以再投資生產(chǎn)。投資目標(biāo)是根據(jù)企業(yè)自身的生產(chǎn)函數(shù)，通過(guò)對(duì)資本投資的最優(yōu)控制，以實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)利潤(rùn)的現(xiàn)值最大化。文章證明了在Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)型企業(yè)的長(zhǎng)期優(yōu)化投資行為中，系統(tǒng)存在長(zhǎng)期穩(wěn)定均衡解，并且是鞍點(diǎn)，這說(shuō)明長(zhǎng)期優(yōu)化穩(wěn)定的控制是一個(gè)精細(xì)的過(guò)程。文章具體分析了在規(guī)模報(bào)酬遞減、規(guī)模報(bào)酬遞增和規(guī)模報(bào)酬不變?nèi)N情況下不同的動(dòng)態(tài)投資策略，為實(shí)際優(yōu)化再投資提供了理論支撐。

關(guān)鍵詞：Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù);最優(yōu)控制;規(guī)模收益;最優(yōu)投資

中圖分類(lèi)號(hào)：F425? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Dynamic Optimal Investment Strategy with a Cobb-Douglas Production Function

Li Menghui1? ?Li Jiayu1? ?Chen Qinghua2

（1.Beijing Institute of Science and Technology Information，Beijing，100044;2.School of Systems Science，Beijing Normal University，Beijing，100875）

Abstract：Enterprise plays a core role in economic systems and reinvestment is the source of sustainable development of the economy. Assume that the company is placed in a perfect competitive commodity and labor market. The optimal labor force is determined by the fixed capital of the company. The aim of the investment for the company is to maximize its profit basing on its own production function with an optimal control method. First，the existence of stable solution is proved in the investment process with a Cobb-Douglas production function. The solution is a saddle solution. This shows that the long-time optimal investment strategy is a subtle process. Then different dynamic optimal investment strategies are obtained when the production function is diminishing return to scale，increasing returns to scale and constant returns to scale. This offers a theoretical support for practical reinvestment.

Key words：Cobb-Douglas production function;Optimal control;Return to scale;Optimal investment

一、引言

2010年，中國(guó)占世界制造業(yè)產(chǎn)出的比例達(dá)到19.8%，超過(guò)美國(guó)的19.4%，打破了美國(guó)連續(xù)110年的壟斷地位，成為新的世界頭號(hào)生產(chǎn)國(guó)，“世界商品中國(guó)制造”的奇跡和中國(guó)企業(yè)的蓬勃發(fā)展是密不可分的[1]。2010—2019年，中國(guó)制造業(yè)迅速拉大了和美國(guó)的差距。如何促進(jìn)企業(yè)的健康發(fā)展，特別是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的大企業(yè)的發(fā)展是管理者非常重視的問(wèn)題。統(tǒng)計(jì)表明世界上147個(gè)最大的企業(yè)控制著社會(huì)40%的財(cái)富，而將會(huì)有737個(gè)最大的企業(yè)控制80%的社會(huì)財(cái)富，它們的衰敗甚至消亡無(wú)疑會(huì)傷害到一些國(guó)家甚至整個(gè)世界的福利和效用[2]。

相關(guān)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)研究表明，企業(yè)的合理投資是企業(yè)健康發(fā)展的最重要手段[3-6]。無(wú)論宏觀經(jīng)濟(jì)還是微觀經(jīng)濟(jì)，廠商都是重要部門(mén)和主要研究對(duì)象。在經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論中，Harrod-Domar模型在凱恩斯理論的基礎(chǔ)上解釋了資本投資在企業(yè)生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)中的關(guān)鍵作用[7]。Solow模型在考慮資本和勞動(dòng)力生產(chǎn)兩種要素前提下構(gòu)建了企業(yè)生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型[8]。從微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)上看，企業(yè)追求的就是利潤(rùn)最大化，在追求利潤(rùn)最大化的過(guò)程中，企業(yè)有自己的最優(yōu)投資策略。一般來(lái)說(shuō)，企業(yè)投資問(wèn)題主要通過(guò)均衡法和加總法進(jìn)行研究[9]。均衡法由Irving Fisher提出，通過(guò)建立消費(fèi)者和企業(yè)的模型分析最優(yōu)投資策略[10];加總法則通過(guò)建立企業(yè)投資與資本變化的模型以分析該類(lèi)問(wèn)題。早期的經(jīng)典模型包括凱恩斯主義方法和新古典主義方法。凱恩斯通過(guò)分析資本的邊際效率與利率的關(guān)系，得出投資率與利率的反比關(guān)系[11]。新古典主義的代表模型是Jorgenson模型，在資本和勞動(dòng)力兩種生產(chǎn)要素的作用下，討論了一般生產(chǎn)函數(shù)形式下的企業(yè)動(dòng)態(tài)投資問(wèn)題[12]。

以上文獻(xiàn)多采用靜態(tài)分析或比較靜態(tài)分析，但是在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)中，各經(jīng)濟(jì)變量間常具有復(fù)雜的非線(xiàn)性關(guān)系，系統(tǒng)的演化過(guò)程中存在諸如路徑依賴(lài)等特性，整體的優(yōu)化和局部的優(yōu)化往往不一致，甚至大相徑庭。這一問(wèn)題涉及經(jīng)濟(jì)存量消耗、積累和跨時(shí)影響的模式，通常使用變分法或最優(yōu)控制論的方法來(lái)分析這類(lèi)問(wèn)題[9，13]。2008年，黃學(xué)祥等人在先凸后凹的由資本量要素決定的生產(chǎn)函數(shù)形式下，分析了企業(yè)的動(dòng)態(tài)投資策略，并與靜態(tài)投資結(jié)果進(jìn)行了比較，為生產(chǎn)投資問(wèn)題提供了一種更可取的研究思路[14]。但由于他們的分析沒(méi)有給出確定的函數(shù)形式，在實(shí)踐上的指導(dǎo)意義有所欠缺。

Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)最初是美國(guó)數(shù)學(xué)家Clifford Cobb和經(jīng)濟(jì)學(xué)家Paul Douglas共同探討投入和產(chǎn)出的關(guān)系時(shí)提出，是經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用最廣泛的一種生產(chǎn)函數(shù)形式，它在數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)與經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)的研究，以及國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展、企業(yè)生產(chǎn)、運(yùn)營(yíng)優(yōu)化中都具有重要的地位[15-19]。

二、模型建立

假設(shè)生產(chǎn)企業(yè)面臨固定資本和勞動(dòng)力兩種要素共同決定產(chǎn)出的投資決策問(wèn)題，經(jīng)營(yíng)者可根據(jù)已有的固定資本量來(lái)配置勞動(dòng)力，以充分發(fā)揮資本的生產(chǎn)效用，追求收益最大化的企業(yè)將在最優(yōu)勞動(dòng)力的配置情況下生產(chǎn)。

假定商品市場(chǎng)和勞動(dòng)力市場(chǎng)均為完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，市場(chǎng)價(jià)格為固定值，勞動(dòng)力成本也為固定值。企業(yè)的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)具體形式可通過(guò)多種方法，由產(chǎn)出和投入數(shù)據(jù)估計(jì)得到，方法可參照王玉杰、張良等學(xué)者的研究[20-22]。在具體形式下，生產(chǎn)函數(shù)體現(xiàn)的信息被充分利用，可直接有助于生產(chǎn)決策。

假定時(shí)刻投入固定資本和勞動(dòng)力的產(chǎn)出為

（1）

資本積累動(dòng)態(tài)方程為

（2）

其中為資本的折舊率。投資為控制變量，投資成本存在邊際遞增的彭羅斯效應(yīng)[23]。

（3）

由于企業(yè)根據(jù)資本量?jī)?yōu)化勞動(dòng)力配置，則企業(yè)長(zhǎng)期投資優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

（4）

其中為企業(yè)的貼現(xiàn)率。時(shí)刻企業(yè)收入為 ，勞動(dòng)力的工資為，利潤(rùn)的貼現(xiàn)值即整個(gè)被積函數(shù)。優(yōu)化實(shí)為在資本積累動(dòng)態(tài)方程的限制條件下，實(shí)現(xiàn)企業(yè)的現(xiàn)值利潤(rùn)最大化的最優(yōu)控制過(guò)程。

該最優(yōu)控制的哈密頓量可表示為

（5）

其中共態(tài)變量表示資本對(duì)利潤(rùn)的邊際貢獻(xiàn)。為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)最大化需滿(mǎn)足現(xiàn)值哈密頓正則方程組[24]。當(dāng)勞動(dòng)力配置最優(yōu)時(shí)

（6）

進(jìn)一步可得出最優(yōu)勞動(dòng)力配置時(shí)的勞動(dòng)力邊際產(chǎn)量為

（7）

由（1）（7）可得出勞動(dòng)力關(guān)于資本量為

（8）

最優(yōu)資本量應(yīng)滿(mǎn)足

（9）

最優(yōu)資本對(duì)目標(biāo)函數(shù)的邊際貢獻(xiàn)可表示為

（10）

由此可得出最優(yōu)資本配置時(shí)的資本邊際產(chǎn)出為

（11）

投資量應(yīng)滿(mǎn)足

（12）

由于，所以投資關(guān)于共態(tài)變量的反函數(shù)為遞增函數(shù)，即。

在最優(yōu)控制過(guò)程中，資本量的變化和共態(tài)變量的變化滿(mǎn)足如下方程

（13）

方程的特征向量矩陣為

（14）

一般來(lái)說(shuō)固定資本產(chǎn)出的彈性系數(shù)，求解特征根方程（15），并由判別式（16）和韋達(dá)定理（17）得出

（15）

（16）

（17）

即一定存在兩異號(hào)特征根，所以均衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)。

由公式（1）（8）（9）（10）可得

（18）

為簡(jiǎn)化表達(dá)式，不妨令

（19）

則當(dāng)時(shí)表示規(guī)模報(bào)酬遞減，時(shí)表示規(guī)模報(bào)酬不變，時(shí)表示規(guī)模報(bào)酬遞增。不妨考慮投資成本為最簡(jiǎn)形式。由此現(xiàn)值哈密頓正則方程可表示為

（20）

三、不同規(guī)模報(bào)酬形式

（一）規(guī)模報(bào)酬遞減

當(dāng)企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報(bào)酬遞減時(shí)，其最優(yōu)控制相圖如圖1。

圖1? 規(guī)模報(bào)酬遞減情況下的相圖

據(jù)圖1可得到如下指導(dǎo)性投資建議：當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)處于狀態(tài)Ⅰ時(shí)，應(yīng)適度減小投資量，以達(dá)到均衡點(diǎn);當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)處于狀態(tài)Ⅲ時(shí)，應(yīng)適度增大投資量，以達(dá)到均衡點(diǎn);當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)處于狀態(tài)Ⅱ和狀態(tài)Ⅳ時(shí)，無(wú)法直接達(dá)到均衡點(diǎn)。由軌線(xiàn)圖可看出，實(shí)現(xiàn)均衡的控制軌線(xiàn)是關(guān)于資本量的單調(diào)遞減函數(shù)。

它表明企業(yè)資本量低于均衡點(diǎn)時(shí)，應(yīng)在大于均衡投資量的策略下使資本量增加，并逐步減少投資量以達(dá)到均衡點(diǎn)。企業(yè)資本量高于均衡點(diǎn)時(shí)，應(yīng)在小于均衡投資量的策略下使資本量減少，并逐步增加投資量以達(dá)到均衡點(diǎn)。

（二）規(guī)模報(bào)酬遞增

當(dāng)企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報(bào)酬遞增時(shí)，其最優(yōu)控制相圖如圖2。

圖2? 規(guī)模報(bào)酬遞增情況下的相圖

據(jù)圖2可得到如下指導(dǎo)性投資建議：當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)處于狀態(tài)Ⅰ時(shí)，應(yīng)適度增大投資量，以達(dá)到均衡點(diǎn);當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)處于狀態(tài)Ⅲ時(shí)，應(yīng)適度減小投資量，以達(dá)到均衡點(diǎn);當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)處于狀態(tài)Ⅱ和狀態(tài)Ⅳ時(shí)，無(wú)法直接達(dá)到均衡點(diǎn)。由軌線(xiàn)圖可看出，實(shí)現(xiàn)均衡的控制軌線(xiàn)是關(guān)于資本量的單調(diào)遞增函數(shù)。

它表明企業(yè)資本量低于均衡點(diǎn)時(shí)，應(yīng)在小于均衡投資量的策略下使資本量增加，并逐步增加投資量以達(dá)到均衡點(diǎn)。企業(yè)資本量高于均衡點(diǎn)時(shí)，應(yīng)在大于均衡投資量的策略下使資本量減少，并逐步減少投資量以達(dá)到均衡點(diǎn)。

（三）規(guī)模報(bào)酬不變

當(dāng)企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報(bào)酬不變時(shí)，哈密頓正則方程為

（21）

在滿(mǎn)足初始條件和橫截條件

（22）

情況下，可求得最優(yōu)控制的解析解為

（23）

據(jù)上可得到如下指導(dǎo)性投資建議：企業(yè)應(yīng)維持固定的投資額 ，使資本量最終維持在的最優(yōu)值。

當(dāng)初始資本量小于最優(yōu)值時(shí)，該投資策略將使得資本量逐漸增加至最優(yōu)值;當(dāng)初始資本量大于最優(yōu)值時(shí)，該投資策略將使得資本量逐漸減小至最優(yōu)值。

四、結(jié)論

筆者在生產(chǎn)函數(shù)為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的形式下，對(duì)企業(yè)的動(dòng)態(tài)生產(chǎn)投資問(wèn)題給出了一定的指導(dǎo)性建議。在生產(chǎn)函數(shù)為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的形式下，最優(yōu)控制投資問(wèn)題總是存在唯一的鞍點(diǎn)解。

在不同的規(guī)模報(bào)酬形式下，企業(yè)存在不同的最優(yōu)投資策略。

（一）規(guī)模報(bào)酬遞減：企業(yè)資本量低于均衡點(diǎn)時(shí)，應(yīng)在大于均衡投資量的策略下使資本量增加，并逐步減少投資量以達(dá)到均衡點(diǎn)。企業(yè)資本量高于均衡點(diǎn)時(shí)，應(yīng)在小于均衡投資量的策略下使資本量減少，并逐步增加投資量以達(dá)到均衡點(diǎn)。

（二）規(guī)模報(bào)酬遞增：企業(yè)資本量低于均衡點(diǎn)時(shí)，應(yīng)在小于均衡投資量的策略下使資本量增加，并逐步增加投資量以達(dá)到均衡點(diǎn)。企業(yè)資本量高于均衡點(diǎn)時(shí)，應(yīng)在大于均衡投資量的策略下使資本量減少，并逐步減少投資量以達(dá)到均衡點(diǎn)。

（三）規(guī)模報(bào)酬不變：可以求得最優(yōu)控制的解析解形式，企業(yè)應(yīng)維持固定投資額，使資本量達(dá)到最優(yōu)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]Morrison W M.Chinas economic rise：history，trends，challenges，and implications for the United?States[C].Library of Congress，Congressional Research Service，2013.

[2]Upbin B.The 147 companies that control everything[EB/OL].（2011-10-22）[2016-03-01].http：//www.?forbes.com/44sites/bruceupbin/2011/10/22/the-147-companies-that-control-everything.

[3]Pindyck R S，Rubinfeld D L.Microeconomics[M].New Jersey：Prentice-Hall，2001.

[4]Romer D.Advanced macroeconomics[M].New York：McGraw Hill，2001.

[5]Mankiw N G.Principles of macroeconomics[M].South-Western：Cengage Learning distributor，2012.

[6]Mankiw N G.Principles of microeconomics[M].South-Western：Cengage Learning distributor，2012.

[7]Harrod R F.An essay in dynamic theory[J].The Economic Journal，1939（193）：14.

[8]Solow R M.A contribution to the theory of economic growth[J].The Quarterly Journal of Economics，1956（1）：65-94.

[9]拉本德拉.現(xiàn)代公共經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].王浦劬，方敏，譯.北京：中國(guó)青年出版社，2004.

[10]Fisher I.The theory of interest[M].London：Macmillan，1930.

[11]Maynard K J.The general theory of employment，interest and money[M].New York：Harcourt Brace，1936.

[12]Jorgenson D W.Capital theory and investment behavior[J].The American Economic Review，1963（2）：??247-259.

[13]斯奈德，尼科爾森.微觀經(jīng)濟(jì)理論：基本原理與擴(kuò)展[M].朱幼為，等，譯.北京：北京大學(xué)出版社，2008.

[14]黃學(xué)祥，張榮.凸-凹生產(chǎn)函數(shù)條件下的動(dòng)態(tài)投資策略[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2008（12）：19-29.

[15]張樨樨，陸世晴.經(jīng)濟(jì)新常態(tài)下高技術(shù)產(chǎn)業(yè)人力資本投資組合優(yōu)化研究[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版），?2015（03）：18-27.

[16]李經(jīng)路，胡振飛.中國(guó)企業(yè)研發(fā)投入的宏觀效應(yīng)研究[J].管理現(xiàn)代化，2015，35（06）：25-27.

[17]張永安，閆瑾.技術(shù)創(chuàng)新政策對(duì)企業(yè)創(chuàng)新績(jī)效影響研究 [J].科技進(jìn)步與對(duì)策，2016（01）：108-113.

[18]郭克良，張子麟，蒙運(yùn)芳.基于柯布-道格拉斯模型的人才貢獻(xiàn)率研究 [J].學(xué)術(shù)論壇，2015（01）：55-59.

[19]杜明堅(jiān)，張文松，吳海兵.中國(guó)與越南的經(jīng)濟(jì)改革比較分析[J].經(jīng)濟(jì)與管理研究，2015（12）：19-25.

[20]王玉杰，張大克.Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)經(jīng)典參數(shù)估計(jì)模型的修正[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004（11）：1575-1577.

[21]張良，竇春軼，時(shí)書(shū)麗.Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的模糊分析[J].運(yùn)籌與管理，2006（01）：58-61.

[22]張良.Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的模糊分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008（08）：73-76.

[23]Phelps E.The golden rule of accumulation：a fable for growthmen[J].American Economic Review，? ?1961（04）：638-643.

[24]蔣中一.動(dòng)態(tài)最優(yōu)化基礎(chǔ)[M].王永宏，譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，1999.