何燕琴，韓曉玲

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，蘭州 730070)

1 引 言

近年來，人們對非線性微分方程可解性的研究非?；钴S.這類問題因在流體力學等實際應用中的重要性而備受關注，尤其是二階和四階微分方程的研究獲得了許多好的結(jié)果，但對帶積分邊界條件的三階常微分方程邊值問題的研究甚少.三階常微分方程起源于應用數(shù)學和物理學的各個不同領域.對其解的存在性已有很多方法，如Guo-Krasnoselskii不動點定理、上下解法，單調(diào)迭代法，等[1-11].

2014年，趙亞紅等[1]運用Guo-Krasnoselskii不動點定理研究了帶積分邊界條件的三階邊值問題

的單調(diào)正解的存在性，但未討論正解的唯一性.

2017年，郝彩云等[3]運用混合單調(diào)算子不動點定理研究了帶積分邊界條件的三階邊值問題

受上述文獻啟發(fā)，本文運用混合單調(diào)算子的方法研究了帶積分邊界條件的三階邊值問題

(1)

單調(diào)正解的存在性,其中f:[0,1]×[0,+∞)2→[0,+∞)連續(xù),g:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù).

本文假設下面條件成立：

(H1)f:[0,1]×[0,+∞)2→[0,+∞)連續(xù)；

(H2)g:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)；

本文的工作空間是E=C[0,1].定義范數(shù)

‖u‖=max{|u(t)|:t∈[0,1]}.

則Ε為實的Banach空間.令Ρ={u∈C[0,1]:u(t)≥0,t∈[0,1]}.則Ρ為Ε中的正規(guī)錐.

2 預備知識

設(E,‖·‖)是一個實Banach空間，θ為Ε中的零元素，Ρ?E為非空凸閉集.如果P滿足：(i)x∈E,λ≥0?λx∈Ρ，(ii)x∈Ρ,-x∈Ρ?x=θ，則稱Ρ為Ε中的一個錐.

設Ρ是Banach空間Ε中的錐，若存在常數(shù)N>0,使得對于任意的x,y∈E,當θ≤x≤y時恒有‖x‖≤N‖y‖，則稱Ρ是正規(guī)的，其中Ν稱為Ρ的正規(guī)常數(shù).由錐Ρ可誘導Ε中的偏序關系如下：x,y∈Ε,x≤y?y-x∈Ρ.對任意的x,y∈Ε,引入等價關系x～y：存在常數(shù)μ>0及ν>0，使得μx≤y≤νx.對于給定的h>θ,記集合Ρh為h所在的等價類,即Ρh={x∈Ε|:x～h},Ρh?Ε.

定義2.1[2]設D?Ε,Α:D×D→Ε是一個算子.如果Α(x,y)關于x是增算子,關于y是減算子,即對任給的y∈D,若x1,x2∈D,x1≤x2,則Α(x1,y)≤Α(x2,y)；對任給x∈D,若y1,y2∈D,y1≥y2，則有Α(x,y1)≤Α(x,y2),則稱Α是混合單調(diào)算子.

定義2.2[7]若對于任意的t>0,x∈Ε,算子Α:Ε→Ε滿足Α(tx)=tΑx,則稱A為齊次算子.若對任意的t>0,x∈Ρ,算子Α:Ρ→Ρ滿足Α(tx)≥tΑx,則稱Α為次齊次算子.若存在一個實數(shù)γ，滿足0≤γ<1，使得對于任意的t∈[0,1],x∈Ρ，算子Α:Ρ→Ρ滿足Α(tx)≥tγΑx，則稱Α為凹算子.

定理 2.3[2]設α∈(0,1),h∈Ε,且θ0,使得Α(x,y)≥δ0Βx,?x,y∈Ρ，則

(i)Α:Ρh×Ρh→Ρh,Β:Ρh→Ρh；

(ii) 存在u0,υ0∈Ρh和r∈(0,1),使得當rυ0≤u0≤υ0時,有u0≤Α(u0,υ0)+Βu0≤Α(υ0,u0)+Βυ0≤υ0；

(iii) 存在唯一的x*∈Ρh,使得x*=Α(x*,x*)+Βx*；

(iv) 以任意的x0,y0∈Ρh為初始元素,定義序列xn=Α(xn-1,yn-1)+Βxn-1,n=1,2,3,…，yn=Α(yn-1,xn-1)+Βyn-1,n=1,2,3,…,滿足

引理2.4[5]對任意給定的h∈C[0,1],邊值問題

(2)

有唯一解u(t),且u(t)可以表示成下列形式：

其中

引理2.5對于任意給定的(t,s)∈[0,1]×[0,1],G(t,s)有如下性質(zhì)：

(ii) 當0≤s≤t≤1時,

當0≤s≤t≤1時,

3 主要結(jié)果

定理3.1設(H1)～(H3)成立,且

(i) 對固定的t∈[0,1],f(t,x,y)關于x單調(diào)遞增,關于y單調(diào)遞減,g(t,x)關于x單調(diào)遞增；

(ii) 對任意的λ∈(0,1),t∈[0,1],和x∈[0,+∞)有g(t,λx)≥λg(t,x),且存在t0∈[0,1]使得g(t0,0)>0；

(iii) 對任意的λ∈(0,1),t∈[0,1]和x,y∈[0,∞),存在一個常數(shù)γ∈(0,1)使得

f(t,λx,λ-1y)≥λγf(t,x,y)；

(iv) 對任意t∈[0,1]和x,y∈[0,+∞),存在一個常數(shù)δ0>0,使得f(t,x,y)≥δ0g(t,x)，

則有

(i) 存在u0,υ0∈Ρh,α∈(0,1),使得αυ0≤u0≤υ0,且

其中h(t)=t,t∈[0,1];

(ii) 問題(1)有唯一正解x*∈Ρh(x*(t)>0,t∈(0,1));

(iii) 對任意的x0,y0∈Ρh,以x0,y0為初始元素定義迭代序列

則

證明 由引理2.4,問題(1)的解等價于如下積分方程的解：

定義算子Α:Ρ×Ρ→Ρ為

定義算子

Β:Ρ→Ρ為

其中t∈[0,1],u,υ∈Ρ.當且僅當x=Α(x,x)+Βx時，x為積分方程(1)的解.

接下來我們驗證定理2.3的所有條件是否滿足.由(i)可知,Α是一個混合單調(diào)算子,Β是增函數(shù).由條件(iii),對任意的λ∈(0,1),x,y∈Ρ,有

Α(λx,λ-1y)(t)=

λγΑ(x,y)(t),γ∈(0,1).

這說明算子Α滿足定理2.3中的條件.

接下來我們證明Β是一個可齊次算子.對任意的λ∈(0,1),x∈Ρ,考慮(ii)則有

從而Β是一個可齊次算子.

然后我們后來證Α(h,h)∈Ρh,Βh∈Ρh.當h∈Ρ時,定義函數(shù)h(t)=t,t∈[0,1].由引理2.5和條件(i)有

另一方面

令

則α1h≤Α(h,h)≤α2h.

接下來我們證明αi>0，i=1,2.實際上,因為g(t0,0)>0,t0∈[0,1]，由f和g的連續(xù)性,我們可以找到一個子集Ε?[0,1]使得t0∈Ε,μ(Ε)>0,其中μ表示勒貝格度量,g(t,0)>0,t∈Ε.由條件(iv)可得到f(s,0,1)≥δ0g(s,0)≥0.所以

故Α(h,h)∈Ρh.

再由引理2.5和條件(i)有

另一方面,因0≤h(t)≤1，對任意的t∈[0,1]，有

令

則β1h≤Βh≤β2h.為了證明Βh∈Ρh,即βi>0,i=1,2，需證β1>0.又

則Βh∈Ρh.

最后證明定理2.3中的假設條件(i)滿足.由u,υ∈Ρ,t∈[0,1]及條件(iv)有

即Α(u,υ)≥δ0Βu.因此,由定理2.3,對任意的t∈[0,1],0

考慮非線性邊值問題

從而定理3.1中的條件(iv)是滿足的.