鄭興榮，楊 偉，張馨丹，杜晨敏，李小龍，唐 歡

(隴東學(xué)院電氣工程學(xué)院物理系，慶陽 745000)

1 引 言

量子力學(xué)是描述微觀世界，研究微觀粒子運(yùn)動規(guī)律以及相關(guān)特性的一門理論和學(xué)科[1-4]，與相對論一起被認(rèn)為是現(xiàn)代物理學(xué)的兩大支柱，且這兩門學(xué)科是許多理論和學(xué)科的基礎(chǔ)，尤其是近幾十年出現(xiàn)的新學(xué)科，如物理學(xué)中的群論、核結(jié)構(gòu)、電子結(jié)構(gòu)理論、強(qiáng)子物理和粒子物理學(xué)、計算物理學(xué)、固體物理學(xué)、原子物理學(xué)、量子化學(xué)、分子生物學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等[5-12]. 在許多現(xiàn)代技術(shù)裝備中，量子力學(xué)及其相關(guān)特性的效應(yīng)起了重要的作用. 從激光、電子顯微鏡、原子鐘到核磁共振的醫(yī)學(xué)圖像顯示裝置，都關(guān)鍵地依靠了量子力學(xué)的原理和效應(yīng). 根據(jù)量子理論，粒子的行為常常像波，用于描述粒子行為的“波函數(shù)”預(yù)測一個粒子可能的特性.近年來，隨著計算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，計算機(jī)三維重構(gòu)技術(shù)日趨成熟，結(jié)合計算物理方法和MATLAB軟件的強(qiáng)大功能使得抽象量子理論的可視化分析更加形象、逼真[13-16]. 基于MATLAB軟件的可視化研究不僅運(yùn)用在理論和實驗教學(xué)方面[17-19]，而且在科學(xué)研究上的發(fā)展更為迅速[20-24]. 因此，微觀、抽象粒子的可視化被眾多研究者進(jìn)行了大量的研究，尤其是近十幾年已趨于白熱化[20，25-26]. 本文根據(jù)量子力學(xué)中角動量算符和連帶勒讓德方程[27-30]，在設(shè)定廣義函數(shù)的條件下利用微積分下的分離變量法推出球諧函數(shù)的一般方程式[31]，把不同的角量子數(shù)和磁量子數(shù)代入通項中，進(jìn)而得出不同的角量子數(shù)和磁量子下的球諧函數(shù)[32-34]. 而不同的角量子數(shù)對應(yīng)不同的s，p，d，f…狀態(tài)，因此利用MATLAB軟件強(qiáng)大的作圖功能，對不同的n、l所對應(yīng)的球諧函數(shù)以及不同的n、l所對應(yīng)的原子軌道進(jìn)行仿真模擬，其可視化的結(jié)果對研究球諧函數(shù)及其原子軌道提供了一條便利的途徑.

本文利用MATLAB仿真模擬功能得到可視化的結(jié)果，這種可視化結(jié)果可以直觀地、詳細(xì)地、具體地觀測到球諧函數(shù)及其原子軌道的運(yùn)動特性，將一個抽象的、難懂的問題具體化和簡易化. 本課題的前期工作已經(jīng)將n維線性諧振子、氫原子進(jìn)行了可視化研究，結(jié)合本課題的研究結(jié)果，已經(jīng)證明了對抽象的量子理論進(jìn)行可視化研究是一種新的研究思路，它既可以當(dāng)做實驗來驗證理論，也可以作為理論指導(dǎo)實驗. 因此，本文的這種創(chuàng)新具有很大的科學(xué)研究潛力、市場價值和應(yīng)用價值.

2 球諧函數(shù)的理論模型與推導(dǎo)

2.1 角動量算符

(1)

因此，有

(2)

為了討論角動量算符的本征值方程，接下來本文把這些算符用球坐標(biāo)來表示.令

x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ

(3)

其中φ∈[0，2π]，θ∈[0，π].利用幾何知識，對r2=x2+y2+z2兩邊的x，y，z求偏導(dǎo)數(shù)，得

(4)

同理，對cosθ=z/r兩邊的x，y，z求偏導(dǎo)數(shù)，有

(5)

對tanφ=y/x兩邊的x，y，z求偏導(dǎo)數(shù)，有

(6)

利用“鏈?zhǔn)椒▌t”求偏微分，則有

(7)

(8)

所以

(9)

2.2 球諧函數(shù)

由上式可知，這些角動量算符與徑向坐標(biāo)r無關(guān)，只與角度θ和φ有關(guān)，所以角動量算符平方的本征值方程為

(10)

即

(11)

在保證函數(shù)Yl,m(θ,φ)為有限的條件下，利用分離變量法Y(θ,φ)=Θ(θ)Φ(φ)可求得該二階偏微分方程. 即

(12)

則角動量平方算符的本征值為

(13)

其中l(wèi)=0,1,2,3,…稱為角量子數(shù).

利用締合勒讓德方程，歸一化性質(zhì)等，得到角動量平方算符的本征函數(shù)為

(14)

(15)

球諧函數(shù)是角動量和z分量的共同本征函數(shù)，全部的球諧函數(shù)構(gòu)成一個正交歸一的完備集合，即

(16)

3 仿真結(jié)果與討論

3.1 利用MATLAB對球諧函數(shù)進(jìn)行仿真

根據(jù)前面球諧函數(shù)的理論推導(dǎo)，針對不同的軌道量子數(shù)l和磁量子數(shù)m，利用MATLAB進(jìn)行編程，得到了21組不同的球諧函數(shù)圖像，如圖1所示.通過對球諧函數(shù)可視化的研究，將抽象化轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w化，加深了對球諧函數(shù)的理解.

由圖1可以看出，當(dāng)l=m=0時，球諧函數(shù)的可視化圖形是一個均勻的球體；當(dāng)l=m≠0時，圖形是由2l或者2m個橢球水平疊加而成；當(dāng)m=1時，對于不同的l值，圖形是由2n(n=1,2,3…)個橢球上下疊加而成；當(dāng)n=3且l>n時，圖形由6(n-2)個橢球上下疊加而成.例如，當(dāng)l=m=0時，是一個均勻的球體；當(dāng)l=1，m=1時，是兩個均勻球在水平方向上疊加在一起構(gòu)成的；當(dāng)l=2，m=0時，是兩個球和一個圓餅狀在豎直方向上疊加在一起構(gòu)成的；而當(dāng)l=2，m=1時，是四個橢球在豎直方向上疊加在一起構(gòu)成的；當(dāng)l=2，m=2時，是四個橢球在水平方向上疊加在一起構(gòu)成的；當(dāng)l=3，m=0時，是由兩個球和兩個圓餅狀疊加在一起構(gòu)成；當(dāng)l=3，m=1時，由四個橢球和兩個圓餅狀疊加在一起構(gòu)成；當(dāng)l=3，m=2時，由八個橢球上下疊加在一起構(gòu)成；當(dāng)l=3，m=3時，由六個橢球疊加在一起構(gòu)成；當(dāng)l=4，m=4時，由八個橢球疊加在一起構(gòu)成；當(dāng)l=4，m=3時，由上下各為六個橢球疊加在一起構(gòu)成的；當(dāng)l=5，m=1時，由上部兩個橢球中間六個橢球下部兩個橢球疊加在一起構(gòu)成的.

這種可視化的結(jié)果為研究球諧函數(shù)的其他特性提供了一種更為簡明扼要、直觀清晰的途徑.

3.2 球諧函數(shù)的原子軌道的仿真模擬

原子軌道在微觀粒子、結(jié)構(gòu)化學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，是微觀結(jié)構(gòu)和量子化學(xué)研究中的重要內(nèi)容.球諧函數(shù)原子軌道圖形種類繁多、形態(tài)復(fù)雜，不易理解.基于此，本文利用前面的理論推導(dǎo)，結(jié)合MATLAB的作圖功能，對球諧函數(shù)的原子軌道進(jìn)行了三維和彩色平面等值線圖仿真模擬，如圖2所示.球諧函數(shù)原子軌道中不同的角量子數(shù)對應(yīng)不同的狀態(tài)，l為0，1，2，3…，分別對應(yīng)的狀態(tài)為s，p，d，f….

圖1 球諧函數(shù)的仿真模擬圖Fig.1 Simulation diagrams of the spherical harmonic functions

由圖2可以看出,仿真模擬出的可視化圖形可以直觀地觀測到原子軌道的運(yùn)動情況，不同的顏色代表原子軌道的運(yùn)動出現(xiàn)在空間的不同位置,在原子運(yùn)動過程中存在極值，通過仿真圖的顏色深淺可以直觀地得出極值所在區(qū)域.

這種對三維立體和彩色平面等值線進(jìn)行的可視化圖形，可以加深對原子軌道運(yùn)動情況的理解，為微觀結(jié)構(gòu)的研究提供了更為簡單、可操作性強(qiáng)的方法.

利用MATLAB的仿真功能，對原子軌道所對應(yīng)的徑向波函數(shù)繪制二維平面曲線圖，見圖3.

由圖3可以看出，當(dāng)r發(fā)生變化時，徑向分布幾率密度也隨之發(fā)生改變.當(dāng)主量子數(shù)n越大時，原子軌道的最可幾徑向距離越大，則原子軌道的擴(kuò)散程度越大；對單原子而言，當(dāng)主量子數(shù)n相同時，角量子數(shù)l對原子軌道的徑向分布影響不大，僅隨角量子數(shù)l的增大，最可幾徑向距離稍有減小.

圖2 球諧函數(shù)原子軌道的仿真模擬圖Fig.2 Simulation diagrams of the atomic orbitals of spherical harmonic function

4 結(jié) 論

球諧函數(shù)作為現(xiàn)代物理學(xué)中的一類特殊函數(shù)，是拉普拉斯方程的球坐標(biāo)系形式解的角度部分，在經(jīng)典場論、量子力學(xué)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，解決了物理學(xué)中的許多問題.本文基于量子力學(xué)中的角動量算符和連帶勒讓德方程，設(shè)定廣義函數(shù)的條件下，利用分離變量法推導(dǎo)出球諧函數(shù)的一般方程式，進(jìn)而解出n、l分別為0，1，2，3，4，5時的球諧函數(shù).另外，根據(jù)球坐標(biāo)的自變量定義域，設(shè)定自變量θ、φ的條件下，得到了不同狀態(tài)的球諧函數(shù)及其原子軌道，并對其進(jìn)行了可視化研究.最后，利用 MATLAB軟件對不同的n、l所對應(yīng)的球諧函數(shù)和原子軌道進(jìn)行仿真模擬，得到了簡明扼要、直觀清晰的可視化結(jié)果.這種可視化的研究思路為研究球諧函數(shù)及其原子軌道的其他特性提供了一條便利的途徑.通過以上研究表明，MATLAB是解決微觀結(jié)構(gòu)數(shù)值計算和可視化問題的一種更為形象、直觀的工具，有廣泛的適用性.利用MATLAB軟件對球諧函數(shù)及其原子軌道進(jìn)行了可視化分析，可以形象地認(rèn)識微觀粒子的運(yùn)動形態(tài)和量子理論抽象的波函數(shù)概念.