羅蘭芳，姜 南,2，畢繼紅,2

(1.天津大學(xué)建筑工程學(xué)院,天津 300072； 2.濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(天津大學(xué)), 天津 300072)

隨著社會(huì)的發(fā)展，建筑結(jié)構(gòu)中設(shè)備等非結(jié)構(gòu)構(gòu)件日趨增多，所形成的設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系逐漸引起研究者們的關(guān)注[1-2]。目前關(guān)于設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系研究大部分是基于剛性地基的假設(shè)，有關(guān)地基土對(duì)設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系地震反應(yīng)的影響研究尚處于起步階段[3]。對(duì)于設(shè)備-結(jié)構(gòu)-地基土體系，如何考慮部件之間復(fù)雜的相互作用、有效地計(jì)算各部分的反應(yīng)，是研究設(shè)備與結(jié)構(gòu)真實(shí)抗震性能的前提。

地震對(duì)結(jié)構(gòu)體系作用的本質(zhì)是能量的輸入、傳遞、轉(zhuǎn)化和耗散。研究表明，地震動(dòng)能量輸入[4]及其在時(shí)間軸上的分布特性[5-6]對(duì)結(jié)構(gòu)體系的地震反應(yīng)有重要影響，從累積輸入能與瞬時(shí)輸入能的角度可以較好地把握結(jié)構(gòu)體系地震響應(yīng)。對(duì)于設(shè)備-結(jié)構(gòu)-地基土體系，在地震作用下，體系內(nèi)部地基土與上部結(jié)構(gòu)[7-10]、結(jié)構(gòu)與設(shè)備之間均存在動(dòng)態(tài)能量交換[11]，因而從能量的角度分析一方面可洞察地震動(dòng)對(duì)體系性能的影響，另一方面可以深入了解相互作用機(jī)理，合理反映地震作用下設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系的真實(shí)性能。然而目前此方面研究較少見于報(bào)道。

本文基于分枝模態(tài)子結(jié)構(gòu)法推導(dǎo)設(shè)備-結(jié)構(gòu)-地基土相互作用體系運(yùn)動(dòng)方程，并導(dǎo)出設(shè)備與結(jié)構(gòu)各自的能量反應(yīng)方程。以兩自由度設(shè)備-鋼框架結(jié)構(gòu)-地基土相互作用模型作為研究對(duì)象，開展了設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)和設(shè)備-結(jié)構(gòu)-地基土相互作用體系實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)，研究地基土對(duì)設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系能量反應(yīng)的影響規(guī)律，并由模型試驗(yàn)結(jié)果反推原型體系反應(yīng)，得到一些有益的規(guī)律。

1 設(shè)備-結(jié)構(gòu)-地基土相互作用體系運(yùn)動(dòng)方程以及能量反應(yīng)方程

基于分枝模態(tài)子結(jié)構(gòu)法原理推導(dǎo)設(shè)備-結(jié)構(gòu)-地基土相互作用體系的運(yùn)動(dòng)方程，經(jīng)變換后可適用于該體系實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)，并導(dǎo)出了設(shè)備與結(jié)構(gòu)單獨(dú)的能量反應(yīng)計(jì)算方程。

1.1 運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)備-結(jié)構(gòu)-地基土相互作用體系包括設(shè)備、結(jié)構(gòu)和地基土三部分，按照分枝模態(tài)子結(jié)構(gòu)方法將如圖1 (a)中設(shè)備-結(jié)構(gòu)-地基土相互作用體系劃分成變形互不重疊的3個(gè)分枝，包括：(a)圖1 (b)中分枝d，即彈性地基上的剛性結(jié)構(gòu)-剛性設(shè)備體系；(b)圖1 (c)中分枝s，即剛性地基上的結(jié)構(gòu)-剛性設(shè)備體系；(c)圖1 (d)中分枝e，即剛性地基上的剛性結(jié)構(gòu)-設(shè)備體系。

圖1 設(shè)備-結(jié)構(gòu)-地基土相互作用體系運(yùn)動(dòng)方程示意圖Fig.1 Schematic diagram of equation of motion for the equipment-structure-soil system

分枝d的特征方程以及由m階模態(tài)組成的分枝d的模態(tài)變換矩陣Φd為

kdφd=λdmdφdΦd=(φd1，φd2，…，φdm)

(1)

式中：kd——分枝d中地基土的剛度矩陣；md——分枝d中地基土的質(zhì)量矩陣；φd——分枝d中地基土的模態(tài)向量；λd——分枝d中地基土的模態(tài)特征值。

分枝d模態(tài)變換后的計(jì)算矩陣為

(2)

式中：ud——分枝d中地基土的位移坐標(biāo)；qd——分枝d中地基土的模態(tài)坐標(biāo)；cd——分枝d中地基土的阻尼矩陣；fd——分枝d中地基土的荷載矩陣。各矩陣頂部加“～”表示經(jīng)模態(tài)變換后的變量，可通過截取合適的地基土振型和頻率階數(shù)來達(dá)到滿足精度要求下縮減地基土計(jì)算規(guī)模的目的[12-13]。

對(duì)設(shè)備和結(jié)構(gòu)，由于其自由度較少且考慮非線性因素，采用完整的計(jì)算特性矩陣。結(jié)構(gòu)的位移us由兩部分組成，一是圖1(b)中地基土位移引起結(jié)構(gòu)的剛體位移，二是圖1(c)中結(jié)構(gòu)本身的位移qs：

us=RsdΦdqd+qs

(3)

式中：Rsd——分枝d中結(jié)構(gòu)的剛體模態(tài)，可由分枝d中地基土變形產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)剛體位移求得。

設(shè)備的位移ue由三部分組成，一是圖1(b)中地基土位移引起的設(shè)備剛體位移，二是圖1(c)中結(jié)構(gòu)位移引起的設(shè)備剛體位移，三是圖1(d)中設(shè)備本身的位移qe：

ue=RedΦdqd+Resqs+qe

(4)

式中：Red——分枝d中設(shè)備的剛體模態(tài)，可由分枝d中地基土變形產(chǎn)生的設(shè)備剛體位移求得；Res——分枝s中設(shè)備的剛體模態(tài)，可由分枝s中結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生的設(shè)備剛體位移求得。

將地基土、結(jié)構(gòu)、設(shè)備位移的關(guān)系寫成矩陣形式：

(5)

根據(jù)分枝模態(tài)子結(jié)構(gòu)方法原理整理得到設(shè)備-結(jié)構(gòu)-地基土相互作用體系的運(yùn)動(dòng)方程，并將方程中地基土與結(jié)構(gòu)的耦合項(xiàng)msRsdΦd、地基土與設(shè)備的耦合項(xiàng)meRedΦd、結(jié)構(gòu)與設(shè)備的耦合項(xiàng)meRes等移動(dòng)到方程的右邊，以荷載的面貌出現(xiàn)，從而得到地基土、結(jié)構(gòu)、設(shè)備考慮相互作用后各自的運(yùn)動(dòng)方程:

(6)

(7)

(8)

式中：ms——分枝s中結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；cs——分枝s中結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣；ks——分枝s中結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；me——分枝e中設(shè)備的質(zhì)量矩陣；ce——分枝e中設(shè)備的阻尼矩陣；ke——分枝e中設(shè)備的剛度矩陣；fs——結(jié)構(gòu)的荷載矩陣；fe——設(shè)備的荷載矩陣；qs——結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面的位移；qe——設(shè)備相對(duì)于所在樓層的位移。

1.2 能量反應(yīng)方程

根據(jù)前述結(jié)構(gòu)與設(shè)備各自的運(yùn)動(dòng)方程計(jì)算相應(yīng)的能量反應(yīng)，將兩者運(yùn)動(dòng)方程左、右兩邊分別對(duì)各自位移dqs、dqe在0～t0時(shí)間內(nèi)積分可得到各自的能量反應(yīng)方程：

(9)

(10)

方程(9)(10)右邊項(xiàng)分別為考慮地基土影響后結(jié)構(gòu)的總輸入能EIS和設(shè)備的總輸入能EIE。剛性地基時(shí)設(shè)備和結(jié)構(gòu)的能量反應(yīng)可通過去掉各方程右側(cè)地基土影響項(xiàng)得到。

引入瞬時(shí)輸入能來表征設(shè)備與結(jié)構(gòu)能量輸入在時(shí)間軸上的分布特性?？紤]結(jié)構(gòu)或設(shè)備經(jīng)歷半次振動(dòng)循環(huán)的時(shí)間(從t到t+Δt)，因而得到結(jié)構(gòu)和設(shè)備各自的瞬時(shí)輸入能ΔEs和ΔEe分別如下：

(11)

(12)

由于瞬時(shí)輸入能峰值可以體現(xiàn)地震動(dòng)加載過程中各時(shí)間步長Δt中能量輸入最大強(qiáng)度，后文中采用結(jié)構(gòu)和設(shè)備的瞬時(shí)輸入能峰值作為分析對(duì)象，分別用符號(hào)ΔEsmax和ΔEemax表示。

2 試 驗(yàn) 概 況

研究數(shù)據(jù)來源于設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)(有、無地基土兩種情況)。其中無地基土?xí)r設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)為常規(guī)振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)，而帶有地基土?xí)r的體系試驗(yàn)采用實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)方法[14-16]進(jìn)行。試驗(yàn)縮尺模型來源于天津地區(qū)三類場(chǎng)地土上一棟附有設(shè)備的4層鋼框架結(jié)構(gòu)，為了保證縮尺模型在物理過程和地震反應(yīng)上與原結(jié)構(gòu)相似，同時(shí)考慮到振動(dòng)臺(tái)載荷、吊裝要求等，選定長度、應(yīng)力、加速度這3個(gè)物理量的相似常數(shù)為可控相似常數(shù)，三者相似比分別取為0.2、1、1，以此可以推導(dǎo)其余物理量的相似比。

試驗(yàn)鋼框架結(jié)構(gòu)采用截面尺寸為100 mm×45 mm×6 mm×8 mm的H型鋼制作，除第一層高度為0.68 m外，其余各層高度均為0.63 m，結(jié)構(gòu)縱、橫向跨度均為1.6 m，結(jié)構(gòu)第1層到第3層的總質(zhì)量均為1 700 kg，第4層的總質(zhì)量為1 540 kg。結(jié)構(gòu)材料的彈性模量與屈服強(qiáng)度分別為202.0 GPa和339.6 MPa。設(shè)備模擬放置于結(jié)構(gòu)頂層的通信設(shè)備并簡化成兩自由度模型，設(shè)備采用圓形鋼管加工制成，鋼管外徑為28 mm，壁厚為5 mm。設(shè)備層高為0.25 m，每層施加配重至90 kg，設(shè)備材料的彈性模量與屈服強(qiáng)度分別為192.0 GPa和421.4 MPa。

土體模型埋深按照長度相似比0.2確定，土體總尺寸為30 m×15 m×15 m，埋置基礎(chǔ)尺寸為2.2 m×2.2 m×0.4 m，模型土體其余設(shè)計(jì)參數(shù)按照文獻(xiàn)[17]所推薦的卓越周期相似比設(shè)計(jì)方法確定〗模型土體卓越周期相似比為0.45，根據(jù)卓越周期比計(jì)算公式得到等效剪切波速相似比約為0.45，進(jìn)一步可調(diào)整模型土體的設(shè)計(jì)參數(shù)使其等效剪切波速符合要求。模型土體和基礎(chǔ)參數(shù)見表1。

表1 基礎(chǔ)與土體參數(shù)

試驗(yàn)時(shí)采用適合三類場(chǎng)地的地震動(dòng)：El Centro、Tianjin和人工波Artificial(圖2)，按照8度設(shè)防要求，小震、中震階段各地震動(dòng)加速度幅值分別調(diào)幅到0.7 m/s2和2.0 m/s2?？紤]到試驗(yàn)框架結(jié)構(gòu)將應(yīng)用于其他研究，試驗(yàn)時(shí)未涉及大震工況。

圖2 地震動(dòng)時(shí)程曲線及傅里葉頻譜Fig.2 Acceleration time history curves and Fourier spectra of three seismic waves

3 試 驗(yàn) 結(jié) 果

將設(shè)備與結(jié)構(gòu)模型分別簡化為兩自由度模型和四自由度剪切模型，根據(jù)試驗(yàn)采集加速度經(jīng)濾波、積分處理得到相應(yīng)速度與位移，按前述公式求得設(shè)備與結(jié)構(gòu)的輸入能反應(yīng)。由于中震階段設(shè)備與結(jié)構(gòu)輸入能反應(yīng)圖形與小震階段趨勢(shì)類似，故中震階段設(shè)備與結(jié)構(gòu)的輸入能反應(yīng)僅用表格值表示(如表2中所示為設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系各工況下的總輸入能和最大瞬時(shí)輸入能值)。

表2 設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系輸入能反應(yīng)參數(shù)

3.1 結(jié)構(gòu)輸入能

對(duì)比有、無地基土?xí)r結(jié)構(gòu)的輸入能可知：(a)考慮地基土影響后結(jié)構(gòu)的總輸入能呈減小趨勢(shì)，不同地震動(dòng)作用下減小幅度不同，由于地基土的影響使結(jié)構(gòu)總輸入能相對(duì)于剛性地基時(shí)減小幅度總體在20%～80%之間。(b)結(jié)構(gòu)瞬時(shí)輸入能峰值總體呈減小趨勢(shì)，但在地震動(dòng)強(qiáng)度0.7 m/s2Artificial波作用下有、無地基土?xí)r結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)輸入能峰值變化不大。此外，通過對(duì)比不同地震動(dòng)強(qiáng)度有、無地基土?xí)r結(jié)構(gòu)的輸入能，可發(fā)現(xiàn)隨著地震動(dòng)強(qiáng)度增加，地基土對(duì)結(jié)構(gòu)的能量反應(yīng)影響作用削弱。

圖3所示為小震階段結(jié)構(gòu)輸入能反應(yīng)?？芍紤]地基土影響后不僅使結(jié)構(gòu)總輸入能減小，而且使結(jié)構(gòu)在整個(gè)地震動(dòng)加載階段的輸入能更易衰減。值得注意的是，在El Centro和Tianjin地震動(dòng)加載的后半時(shí)段，結(jié)構(gòu)的總輸入能曲線變得更為光滑、平穩(wěn)，而在人工波Artificial地震動(dòng)加載的后半時(shí)段結(jié)構(gòu)輸入能值雖減小了，但輸入能時(shí)程體現(xiàn)出該時(shí)段結(jié)構(gòu)能量輸入的變化更為劇烈，產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因可能是由于3條地震動(dòng)的頻譜特性不同所致。

圖3 地震動(dòng)強(qiáng)度0.7 m/s2時(shí)3條地震動(dòng)作用下結(jié)構(gòu)總輸入能反應(yīng)時(shí)程Fig.3 Input energy responses of the structure at an input PGA of 0.7 m/s2 under three seismic waves

由圖2中可以看出：人工波Artificial與El Centro、Tianjin地震動(dòng)頻譜差異明顯，人工波具有相對(duì)較多的高頻成分，頻率成分的差異使土體對(duì)結(jié)構(gòu)在3條地震動(dòng)下的能量反應(yīng)影響出現(xiàn)了差別。以上現(xiàn)象進(jìn)一步表明土體對(duì)結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)的影響依賴于地震動(dòng)特性。

3.2 設(shè)備輸入能

從表2可知：地基土對(duì)設(shè)備的輸入能影響與結(jié)構(gòu)相似，因土體加入引起設(shè)備的累積輸入能終值減小幅度在10%～60%之間，設(shè)備的最大瞬時(shí)輸入能也呈減小趨勢(shì)，幅度稍小時(shí)在10%～30%之間，同時(shí)也可看出地基土對(duì)設(shè)備輸入能反應(yīng)的影響隨地震動(dòng)強(qiáng)度的增加而減小。

圖4為小震階段設(shè)備的輸入能反應(yīng)。對(duì)比3條地震動(dòng)加載時(shí)段內(nèi)有、無土體時(shí)設(shè)備的輸入能反應(yīng)，發(fā)現(xiàn)考慮地基土影響后設(shè)備的總輸入能時(shí)程曲線變得更加平穩(wěn)，相應(yīng)的瞬時(shí)輸入能強(qiáng)度也被削弱。與結(jié)構(gòu)類似，設(shè)備在人工波Artificial加載的后半時(shí)段也出現(xiàn)了能量輸入變化更劇烈的現(xiàn)象，表明地基土對(duì)設(shè)備能量反應(yīng)的影響也依賴于地震動(dòng)特性。

圖4 地震動(dòng)強(qiáng)度0.7 m/s2時(shí)3條地震動(dòng)作用下設(shè)備總輸入能反應(yīng)時(shí)程Fig.4 Input energy responses of the equipment at an input PGA of 0.7 m/s2 under three seismic waves

表3 設(shè)備-結(jié)構(gòu)原型體系頻率信息

4 設(shè)備-結(jié)構(gòu)原型體系反應(yīng)

根據(jù)模型相似比可以反推出原型結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性和反應(yīng)，同時(shí)為了驗(yàn)證推算值的正確性，在ANSYS中建立了原型設(shè)備-結(jié)構(gòu)-土體系模型。表3為試驗(yàn)?zāi)Ｐ皖l率、原型推測(cè)頻率和原型計(jì)算頻率值，可知推測(cè)值與計(jì)算值誤差在3%以內(nèi)，表明試驗(yàn)?zāi)Ｐ涂梢哉鎸?shí)地模擬原型結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。

由于振動(dòng)臺(tái)輸入加速度和輸出加速度之間相差不大，直接由相似比反推原型體系的反應(yīng)[18]，將模型體系能量反應(yīng)時(shí)程曲線的橫坐標(biāo)除以時(shí)間相似比進(jìn)行放大，縱坐標(biāo)按照能量相似比放大可得到原型能量反應(yīng)時(shí)程推測(cè)值。原型體系各工況總輸入能反應(yīng)終值如表4所示。根據(jù)模型反應(yīng)推測(cè)結(jié)果與ANSYS結(jié)果對(duì)比，設(shè)備與結(jié)構(gòu)輸入能反應(yīng)計(jì)算值與推測(cè)值誤差在5%以內(nèi)，由此可知模型試驗(yàn)的能量反應(yīng)結(jié)果可以較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)原型體系的能量反應(yīng)。

表4 設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系原型模型總輸入能反應(yīng)

對(duì)比原型設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系在有、無土體下的總輸入能值，發(fā)現(xiàn)在El Centro和Tianjin地震動(dòng)下體系總輸入能差異最明顯，結(jié)構(gòu)和設(shè)備的總輸入能在考慮地基土影響后減小幅度分別在50%～80%和40%～60%之間，表明剛性地基假設(shè)體系總輸入能在某些工況下與實(shí)際值之間存在較大誤差，因而在設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系設(shè)計(jì)中應(yīng)考慮地基土的影響。

5 結(jié) 論

a. 基于分枝模態(tài)子結(jié)構(gòu)法原理推導(dǎo)的設(shè)備-結(jié)構(gòu)-地基土相互作用體系運(yùn)動(dòng)方程，過程簡潔直觀，并能夠減少地基土的冗余自由度，提高計(jì)算效率且滿足子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)要求。

b. 基于分支模態(tài)子結(jié)構(gòu)方法得到相互作用體系中設(shè)備與結(jié)構(gòu)各自的能量反應(yīng)計(jì)算方程，以耦合項(xiàng)荷載的能量體現(xiàn)相互作用體系內(nèi)部能量的交換，為復(fù)雜相互作用體系的能量研究奠定基礎(chǔ)。

c. 根據(jù)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)結(jié)果，地基土對(duì)模型設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系輸入能反應(yīng)有明顯影響，考慮地基土影響后將改變模型設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系輸入能的大小及時(shí)間上的分布特性，由模型試驗(yàn)結(jié)果反推原型設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系反應(yīng)，表明有、無土體體系能量反應(yīng)差異明顯，因而在設(shè)備-結(jié)構(gòu)體系設(shè)計(jì)中考慮地基土的影響更符合實(shí)際。