張魁

[摘? 要] 分類討論是常見而重要的一種解題策略，它較好地體現(xiàn)了對(duì)“能力”的考查，備受命題者的關(guān)注，是當(dāng)下高考熱點(diǎn)問題.當(dāng)然，分類討論需做到不重復(fù)、不遺漏，這就對(duì)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性提出了較高的要求，學(xué)生時(shí)常會(huì)因?yàn)榭紤]不全面而導(dǎo)致解題失誤. 從優(yōu)化解題過程，提高解題效率的角度來思考，有些問題可簡(jiǎn)化或避免分類討論.文章對(duì)此進(jìn)行一些歸納探究.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);分類討論;回避;策略

正確靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，不僅可以達(dá)到化難為易的解題效果，還可以有效提升解題的大局思路與總體思考能力. 分類討論是一種行之有效的思想方法，也是一種重要的解題策略，其重要性在近幾年的高考試題中也有明顯體現(xiàn).通過合理分類可以分化問題，化零為整，一一擊破難點(diǎn)問題，在討論時(shí)需做到不重不漏，而這在一定程度上也對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提出了較高的要求. 事實(shí)上，分類討論并不是所有問題都可適用，有些題型淺顯觀察似含有分類因素，但當(dāng)對(duì)問題本質(zhì)深入觀察和細(xì)致分析之后，又可避免繁雜的討論過程.因此，我們?cè)陉P(guān)注分類討論思想應(yīng)用的基礎(chǔ)上，也需克服動(dòng)輒討論的思維定式，不可盲目而呆板地進(jìn)行分類討論，而應(yīng)充分挖掘潛在的特殊因素，靈活機(jī)動(dòng)地運(yùn)用適當(dāng)?shù)牟呗?，從而?jiǎn)化或回避分類討論.

引參換元，規(guī)避討論

換元法是將某個(gè)式子視為一個(gè)整體，引入新的變量，從而將問題轉(zhuǎn)移到對(duì)一個(gè)新對(duì)象的研究中去，使問題得到簡(jiǎn)化. 當(dāng)我們以一個(gè)新字母替換題目中的整體時(shí)，則可以規(guī)避分類討論的繁雜過程，給人以柳暗花明的感覺，從而使問題迎刃而解.

例1：當(dāng)a>0時(shí)，解關(guān)于x的不等式■>a-2x.

分析：本題若先平方，則需進(jìn)行分類討論從而獲解，過程煩瑣.而通過換元法令■=t，可避免討論，簡(jiǎn)化解題過程.

解：令■=t，則t≥0，且有x=a-■. ？搖代入原不等式，據(jù)條件a>0，可化簡(jiǎn)得2t2-at-a2<0，所以-■

■參數(shù)分離，避繁就簡(jiǎn)

例2：設(shè)函數(shù)f（x）=x2-1，對(duì)于任意x∈■，+∞，f■-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，試求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：此例題若直接進(jìn)行求解，需經(jīng)歷多種情況的討論來解決，過程煩瑣不說，難度也較大，學(xué)生極易思維卡殼，造成錯(cuò)誤.事實(shí)上，可以分離參數(shù)，解題的關(guān)鍵是將原問題完美轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)的求最值問題，從而提高解題的速度和正確率.

解：據(jù)題意，可得■-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1），即■-4m2≤-■-■+1在x∈■，+∞上恒成立.

令f（x）=-■-■+1，x∈■，+∞，則當(dāng)x=■時(shí)，f（x）可取到最小值，最小值為-■.

所以■-4m2≤-■，可解得m∈-∞，-■∪■，+∞.

整體思想，免于討論

所謂整體思想，望文生義就是將若干式子組合為一個(gè)整體，直接或是變形后可代入另一個(gè)式子，從而減少或回避求解單個(gè)變量而導(dǎo)致的煩瑣運(yùn)算，使解題過程簡(jiǎn)捷明快，而且富有創(chuàng)造性. 事實(shí)上，在解決一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，若能從全局著眼深入觀察特征和本質(zhì)，則可以免于討論，收到事半功倍的效果.

例3：試求出同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)z，①z+■∈R，且1

分析：按常規(guī)解題思路，先設(shè)z=a+bi（a，b∈R），然后再討論求解，會(huì)導(dǎo)致題目變得復(fù)雜，學(xué)生在計(jì)算過程中也較易出錯(cuò).這時(shí)若從整體思想入手，將z+■視為一個(gè)整體，然后化歸為一元二次方程求根，則可以有效回避討論，使復(fù)雜的題目變得簡(jiǎn)單，從而快速、準(zhǔn)確地得出結(jié)論.

解：設(shè)z+■=a，則有z2-az+10=0，又有1

數(shù)形結(jié)合，避免討論

數(shù)形結(jié)合是極具數(shù)學(xué)特色的信息轉(zhuǎn)化，在解題中，它呈現(xiàn)各種獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，如思路上的靈活，過程上的便捷，方法上的多樣等，不僅有效避免了討論，還為學(xué)生的解題提供多向通道.

例4：若直線y=x+b和曲線y=3-■有公共點(diǎn)，試求出b的取值范圍.

分析：對(duì)于本題，若運(yùn)用一般解法將函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為判斷方程解的個(gè)數(shù)，則需分類討論x的取值范圍，比較冗長(zhǎng)，造成解題過程的混亂，此時(shí)結(jié)合圖形考慮，便可以避免這一點(diǎn).

解：據(jù)y=3-■，可得（x-2）2+（y-3）2=4（y≤3），那么函數(shù)所對(duì)圖像則為一個(gè)下半圓，該半圓以（2，3）為圓心，2為半徑，且與y軸切點(diǎn)為A（0，3）. 當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)A（0，3）時(shí)，b=3;當(dāng)直線與該半圓相切時(shí)，■=2，解得b=1-2■或b=1+2■（舍去），再根據(jù)圖1進(jìn)行分析，可得1-2■≤b≤3.

正難則反，另辟蹊徑

在數(shù)學(xué)解題中，一般思維是正面的、順向的，但有些數(shù)學(xué)問題從正面著手難以完成，則不妨進(jìn)行逆向思考，另辟蹊徑，這就是“正難則反”策略. 在解題過程中，有一些數(shù)學(xué)問題在分類討論過程中相當(dāng)麻煩，但若用補(bǔ)集的方法從結(jié)論的反面進(jìn)行分析和探究，從而得出反面結(jié)論，再與集合性質(zhì)相結(jié)合，則可以突破思維定式，使問題化難為易，讓思維進(jìn)入高一階的境界.

例5：已知三條拋物線y=x2+4ax-4a+3，y=x2+（a-1）x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一條與x軸有交點(diǎn)，求a的取值范圍.

分析：本題如果從正面直接求解，則需分類討論的情形有七種之多，繁雜程度可以想象，若運(yùn)用“正難則反”策略，去掉不合題意的解集，從問題的反面“3條拋物線都不與x軸相交”這一種情況著手解決，相對(duì)于命題本身更簡(jiǎn)單、更明確，從而使問題簡(jiǎn)化.

解：當(dāng)3條拋物線都不與x軸相交時(shí)，有16a2+4（4a-3）<0，（a-1）2-4a2<0，4a2+8a<0.解得-■

再排除掉以上3條拋物線都不與x軸相交的情況，取其補(bǔ)集，可得a≤-■或a≥-1.

反客為主，去除討論

所謂“反客為主”，就是當(dāng)從處于“主位”的對(duì)象入手難以解決時(shí)，巧妙地更換對(duì)象，將處于“客位”的對(duì)象置于“主位”，從而形成解決問題的策略，從而避免了討論的過程，使問題得到簡(jiǎn)化解決.

例6：對(duì)于任意m∈[-2，2]，函數(shù)f（x）=mx2-mx+m-6的值總小于0，試求出x的取值范圍.

分析：本題關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）的值總小于0，即f（x）的最大值小于0，而f（x）的最大值是由x的取值范圍來確定的. 如果單純從二次函數(shù)角度去思考，問題難度系數(shù)很大，分類情形也難以定奪. 若是能考慮到函數(shù)f（x）中的x為自變量，它占據(jù)“主位”，而m為待定常數(shù)，即置于“客位”，逆轉(zhuǎn)這兩個(gè)對(duì)象的角色，反客為主，將f（x）視為g（m）=（x2-x+1）m-6，也就是看作關(guān)于m的一次函數(shù)，則可以回避討論，解題過程由此得到優(yōu)化.

解：設(shè)g（m）=（x2-x+1）m-6，則函數(shù)g（m）<0在m∈[-2，2]時(shí)恒成立.

因?yàn)間（m）為m的一次函數(shù)，所以只需g（-2）<0，g（2）<0.

即-2（x2-x+1）-6<0，2（x2-x+1）-6<0，所以x∈（-1，2）.

總之，當(dāng)今的數(shù)學(xué)命題，無論是能力立意，還是知識(shí)立意，都彰顯出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用能力的一種考查. 在上述多個(gè)例題中可以看出，一些分類討論問題可以消除或避開引起分類討論的因素，使題目產(chǎn)生易解的變因素，從而簡(jiǎn)化解題過程. 由于高考題型千變?nèi)f化，上述例題并不一定全面，還需學(xué)生在平時(shí)的訓(xùn)練中多多積累，本文旨在拋磚引玉，以期引起大家的思考，在解題中挖掘數(shù)學(xué)的魅力.