林超

[摘要]圖示能突顯題干中關(guān)鍵信息之間的相互關(guān)系，數(shù)學(xué)實驗?zāi)艽龠M(jìn)靜態(tài)數(shù)學(xué)與動態(tài)數(shù)學(xué)的融通，在數(shù)學(xué)實驗中運用圖示，是期望運用動態(tài)的圖示建構(gòu)實驗的思維網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完整與活力。在教學(xué)中，教師可以通過“雙氣泡圖”“流程圖”“樹形圖”這三種圖示來明確實驗教學(xué)環(huán)節(jié)間的互動關(guān)系，在整合認(rèn)知系統(tǒng)、激發(fā)類比思維的同時，實現(xiàn)思維的深度延展。

[關(guān)鍵詞]圖示;數(shù)學(xué)實驗;思維深度

[中圖分類號]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 29-0027-04

美國教育心理學(xué)家諾瓦克教授開發(fā)出作為學(xué)習(xí)腳手架的“概念圖”，即利用圖示的方法把人腦中的概念、思想與理論可視化，從而便于人們的思考、交流與表達(dá)。運用時，只需簡單的方框（圓圈）和連線就能表示復(fù)雜的概念間的關(guān)系（如圖1），同時還可以根據(jù)學(xué)習(xí)的需要，在原有的概念關(guān)系間加入新的概念及關(guān)系。這種圖示法早已被廣泛運用于數(shù)學(xué)學(xué)科，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識提供了有力的支持。

目前數(shù)學(xué)教學(xué)中所運用的圖示，是綜合了多種思維方式的精確表示法，能突顯題干中關(guān)鍵信息之間的相互關(guān)系，激活舊知。美國教育學(xué)家海勒博士開發(fā)出一組思維可視化工具“八大思維圖示法”（如圖2），因其每種圖示都對應(yīng)著一種具體的思維策略，豐富了學(xué)生解題的思路，延展了學(xué)生解題的深度，被數(shù)學(xué)教學(xué)廣泛采用。

郭慶松老師對小學(xué)數(shù)學(xué)實驗的界定：在數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)教學(xué)理論的指導(dǎo)下，小學(xué)生借助實物和工具，通過對實驗素材進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”的操作來驗證數(shù)學(xué)結(jié)論、建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實驗注重實測與創(chuàng)思的特點，當(dāng)課堂與實驗結(jié)合時，讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考應(yīng)是數(shù)學(xué)實驗的旨?xì)w，而將思維教學(xué)滲透于實驗的每一個環(huán)節(jié)，圖示則是最有效的切人點。在數(shù)學(xué)實驗中運用圖示，正是基于其能夠表達(dá)實驗環(huán)節(jié)之間的互動關(guān)系，構(gòu)建學(xué)生走向深度思維的腳手架。下文以三種圖示為例，闡釋在數(shù)學(xué)實驗中運用圖示對學(xué)生思維深度的延展作用。

一、雙氣泡圖——在比較中搭建數(shù)學(xué)模型，激發(fā)思維碰撞

數(shù)學(xué)實驗多是圍繞一個知識點的理解而展開，因為聚焦點小，所以通過內(nèi)嵌于學(xué)習(xí)過程的實驗可以直指對內(nèi)容的理解與問題的求解。但正如弗洛登特爾所指，旁觀者確實可以將它解釋為數(shù)學(xué)，因為他熟悉數(shù)學(xué)，也了解實驗過程中兒童的活動是什么意思，可是兒童并不知道。這就意味著，數(shù)學(xué)實驗在引導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的同時，還應(yīng)當(dāng)使學(xué)生也能明白這些實驗的意義。而雙氣泡圖可將圖形與比較融為一體，搭建與學(xué)生思維相對應(yīng)的圖示，在構(gòu)圖、讀圖的過程中形成對應(yīng)的表象，最終清晰地傳達(dá)實驗的意義。

例如，運用雙氣泡圖可以將長方體表面涂色問題搭建在學(xué)生對正方體表面涂色的認(rèn)知基礎(chǔ)上。

根據(jù)“從簡單想起”的策略，且學(xué)生已掌握正方體中涂色個數(shù)的計算方法，實驗伊始，教師出示實驗記錄單（如表1），并提出問題：“如果不是正方體，而是長方體，不同的涂色面數(shù)的小長方體又會在哪？”學(xué)生會借助經(jīng)驗提出猜想：“三面涂色的還是在頂點，兩面涂色的還是在棱的中間，一面涂色的肯定在面的中間，但計算方法不同。”此時，如果放手讓學(xué)生利用學(xué)具進(jìn)行驗證，學(xué)生往往會只創(chuàng)造他們感興趣的模型進(jìn)行探討，得出的結(jié)論僅僅是問題鏈上的一個點。其實，學(xué)生實驗的意義并不是解決單一問題，而是為了探究這一類現(xiàn)象的本質(zhì)。為了使學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗真正實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，真正激發(fā)思維碰撞，筆者繪制了圖3。

在圖3的引導(dǎo)下，學(xué)生迅速厘清思路，不再糾結(jié)于個人的喜好，而是聚焦于長方體和正方體的共同特征“面、棱、頂點”上。很快，就有小組提出了新發(fā)現(xiàn)，并展示了本組的圖示（如圖4）。這個小組的匯報剛剛結(jié)束，立刻又有小組提出了新發(fā)現(xiàn)：“他們研究的是長、寬、高都超過兩層（a>2，b>2，c>2）的長方體，如果長方體的長、寬、高中出現(xiàn)一層或是兩層，這個結(jié)果就不對了，特別是一層的，里面還可能出現(xiàn)四、五面涂色的小長方體。因此，我們把圖示的右邊作了修改（如圖5）?！?/p>

研究到此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)長方體的長、寬、高中的出現(xiàn)一層時，一面涂色的小長方體就沒有了，兩面涂色的小長方體也不在棱上……筆者認(rèn)為這次關(guān)于“雙氣泡圖”的嘗試，充分體現(xiàn)了其在兩個比較對象間“尋找相似與不同”的思維策略。同時也暴露出由于兩個比較對象間有大量的相似與不同，因此不能簡單地等同視之，還需要在具體的實驗中提煉出明確的焦點問題。雙氣泡圖在進(jìn)入本次數(shù)學(xué)實驗的過程中，以正方體表面涂色為基礎(chǔ)，通過比較、遷移，讓抽象、復(fù)雜的長方體表面涂色的規(guī)律形成模型，清晰、直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前。雙氣泡圖的運用，將兩個原本就緊密相連的對象在思維的層面再次激活，促使學(xué)生從兩個對象的相似與不同中受到啟發(fā)。

二、流程圖——在直觀中確立問題引領(lǐng)，體驗思維脈動

數(shù)學(xué)實驗也可以是由若干連續(xù)實驗構(gòu)成的組塊實驗，體現(xiàn)在后一次的實驗都是對前認(rèn)知的深入，關(guān)注了對相關(guān)內(nèi)容的整體認(rèn)知與應(yīng)用。正因為這類實驗是由幾個實驗串聯(lián)、并聯(lián)構(gòu)成，所以需要焦點問題的溝聯(lián)。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出，問題是數(shù)學(xué)的心臟。問題的設(shè)計對表象的思維訓(xùn)練及潛在的思維發(fā)展具有引領(lǐng)作用，教師要抓住某個最具價值的問題，引領(lǐng)實驗步驟，通過不同表征去層層推進(jìn)，而“流程圖”能夠結(jié)合不同的目標(biāo)情境，對某一程序性過程進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牟襟E分解及有效歸并，引導(dǎo)學(xué)生在親歷探究中感受思維的脈動。

例如，運用流程圖可以預(yù)設(shè)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的學(xué)習(xí)路徑，再根據(jù)任務(wù)序列或者例題序列，賦予實驗一定的邏輯遞進(jìn)關(guān)系，并在實踐中一步步優(yōu)化。

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的關(guān)鍵是對形如“4/5÷3”算理的理解，此時須讓學(xué)生明確三個意義：一是除法的意義，即平均分;二是分?jǐn)?shù)的意義，即把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)用分?jǐn)?shù)表示;三是分?jǐn)?shù)乘法的意義，即求一個數(shù)的幾分之一用乘法。在實踐中，雖有三個意義保駕護(hù)航，但學(xué)生仍經(jīng)常出現(xiàn)用被除數(shù)的倒數(shù)與除數(shù)相乘的錯例。顯然學(xué)生已具備抽象的概念理解，但沒能落實到直觀的表征運用中來。

在充分認(rèn)識課本例題所蘊含價值的基礎(chǔ)上，筆者結(jié)合原例題實驗1又設(shè)計了三個實驗，串聯(lián)起來分別是：1÷5（整數(shù)除以整數(shù)）→4/5÷2（被除數(shù)的分子能被整除的分?jǐn)?shù)除法）→1/5÷2，1/5÷3（單位分?jǐn)?shù)除以整數(shù)）→4/5÷3（被除數(shù)的分子不能被整除的分?jǐn)?shù)除法），將實驗的焦點問題直指實驗4，并繪制了圖6。

沒有出示圖6前，學(xué)生獨立探究4/5÷2的計算，會“理所應(yīng)當(dāng)”地提出多種不同的計算方法，使得實驗的方向轉(zhuǎn)為關(guān)注“算法的多元化”和“必要的優(yōu)化”這兩種關(guān)系的博弈，忘記了實驗的目的是通過探究從而理解“除以一個不是0的整數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”。出示圖6后，學(xué)生可以清楚地發(fā)現(xiàn)，前三個實驗是為解決實驗4而設(shè)計的，這樣簡單的方框和箭頭就能讓學(xué)生的思維從零散走向系統(tǒng)化。

實驗1到實驗4呈現(xiàn)組塊實驗的特征，在此運用流程圖，不僅是對步驟間的先后順序進(jìn)行審查，還能將碎片化的知識轉(zhuǎn)化為連貫性的想法，這種想法除了應(yīng)用還需理解，確保各實驗環(huán)節(jié)的完整性。在這個意識的驅(qū)動下，筆者引導(dǎo)學(xué)生在圖6的基礎(chǔ)上接著繪制。之后在組與組的圖示比照中，學(xué)生能意識到應(yīng)該在哪個實驗環(huán)節(jié)重點表現(xiàn)關(guān)鍵因素（如圖7）。

圖7的出示，是學(xué)生在焦點問題的引領(lǐng)下，運用流程圖細(xì)化了分步目標(biāo)，再依據(jù)展開的問題進(jìn)行遞進(jìn)的實驗探索。本圖示的生成，是學(xué)生在圖6已構(gòu)建出的算式模型的基礎(chǔ)上自主建立的數(shù)量關(guān)系模型，展示了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念思想、結(jié)構(gòu)聯(lián)系之間的理解。數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)最終在于抽象思維的高低，而抽象思維的水平是以表象的質(zhì)量和數(shù)量情況為轉(zhuǎn)移的，這次流程圖的出示也印證了莊惠芬老師指出的：從學(xué)會數(shù)學(xué)地思維走向通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維。

三、樹形圖——在猜想中嘗試推理驗證，呈現(xiàn)思維軌跡

由“形”的特征來勾畫出“數(shù)”與“式”，在聯(lián)通中發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維，從“點”到“網(wǎng)”，既而實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的生成與重組，這種思維的建構(gòu)過程就如同一棵樹，主題是樹干，類別是樹枝，類別中的各個項目是樹葉，再由焦點問題聯(lián)結(jié)成樹，最終形成直觀、有條理且不重復(fù)的樹形圖。樹形圖能夠為一組實驗提供多種合理的分類方式，清晰地展示分類間的相互聯(lián)系，而隨著思維的動態(tài)進(jìn)程，最終形成涵蓋實驗內(nèi)容的整合性圖示，這將成為后續(xù)思辨時的鮮活資源，其建構(gòu)過程亦可見學(xué)生的思維軌跡。

例如，運用樹形圖可以有效厘清“釘子板上的多邊形”中，多邊形面積、邊上的釘子數(shù)和里面的釘子數(shù)三者之間的關(guān)系，從而助力學(xué)生在階梯式的猜想中迅速找到探究規(guī)律的切入點。

依據(jù)教材設(shè)計，本實驗分三步。第一步，探索圍成的多邊形里只有1枚釘子時的規(guī)律、只有2枚釘子時的規(guī)律、只有3枚、4枚釘子或更多釘子時的規(guī)律。由于預(yù)設(shè)到釘子數(shù)與多邊形面積之間的關(guān)系相對復(fù)雜，故設(shè)計如圖8的研究單一，幫助學(xué)生進(jìn)行觀察、操作、比較，從而使學(xué)生明確：當(dāng)內(nèi)部的釘子數(shù)為l時，多邊形的面積等于邊上釘子數(shù)除以2。第二步，引導(dǎo)學(xué)生橫向觀察，得到多邊形的面積與邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系，再啟發(fā)學(xué)生縱向思考：當(dāng)邊上的釘子數(shù)依次增加1枚時，面積如何變化。

這時，教師出示樹形圖（如圖9），并結(jié)合如圖10的研究單二，引導(dǎo)學(xué)生通過研究現(xiàn)有的里面釘子數(shù)為1、2、3-的多個實例，對初步得出的結(jié)論進(jìn)行驗證。

鄭毓信教授指出：我們不應(yīng)將各個數(shù)學(xué)對象看成互不相關(guān)的獨立存在，恰恰相反，它們的性質(zhì)完全取決于它們的相互聯(lián)系。而數(shù)學(xué)本就是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，樹形圖在此的運用，是將看似獨立的點放置在系統(tǒng)中，從而使思維的軌跡可視。這個過程還可以幫助學(xué)生進(jìn)行類比，找尋不同對象之間的聯(lián)系，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類對象的共同點。如圖9的出示，是在“固定其他因素，只讓某個量變化，從而得到問題結(jié)果”這個策略指引下進(jìn)行實驗的，當(dāng)里面的釘子數(shù)為1或2時，學(xué)生通過畫一畫、數(shù)一數(shù)、算一算等思維活動驗證關(guān)系式的正確與否，然后根據(jù)已有的兩個關(guān)系式之間的聯(lián)系，猜想當(dāng)里面釘子數(shù)是2、3、4……甚至是0時，又具有什么類似的關(guān)系式。當(dāng)然，這些猜想并未經(jīng)過驗證，同時預(yù)設(shè)的驗證過程也并非一帆風(fēng)順，筆者認(rèn)為在后一階段的分工合作驗證中，讓學(xué)生體驗到小小的坎坷也是思維發(fā)展中應(yīng)該經(jīng)歷的。

從抽象猜想到推理驗證，整個思維軌跡在樹形圖的驅(qū)動下逐步可視，當(dāng)學(xué)生看到圖9中由自己概括提煉出的相似結(jié)構(gòu)關(guān)系式時，自會生成此類對象的“共通”關(guān)系式，最后筆者補充形成如圖11的樹形圖。這個思維結(jié)構(gòu)的建立過程也印證了鄭毓信教授的另一段話：我們由此獲得了一個既十分豐富又井然有序（或者說，具有明確數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）的“數(shù)學(xué)世界”。

圖示的運用，為思維的延展提供了新的方式，筆者也在試著借此探尋學(xué)習(xí)的深處?；趯Α皵?shù)學(xué)實驗的內(nèi)核就是學(xué)生思維培養(yǎng)”的理解，筆者將通過對此的研學(xué)，努力找尋數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)體驗的思維結(jié)點。

[參考文獻(xiàn)]

[1]鄭毓信，小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論與實踐：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)180例[M].華東師范大學(xué)出版社，2017.

[2]潘小福，陳美華，小學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的理論與實踐[Ml.江蘇鳳凰教育出版社，2018.

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（責(zé)編 李琪琦）