李彩鳳，賈 鵬,2,3*，蔡冬梅

1太原理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院，山西 太原 030024；

2新型傳感器與智能控制教育部(山西省)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原030024；

3杜倫大學(xué)高等儀器研究中心，英國(guó) 杜倫 DH1 3LE

1 引 言

大氣湍流對(duì)光束傳輸?shù)臄_動(dòng)，嚴(yán)重影響了地基望遠(yuǎn)鏡的觀(guān)測(cè)能力。不同臺(tái)址多年實(shí)測(cè)的湍流數(shù)據(jù)表明：越接近地面，大氣湍流強(qiáng)度越強(qiáng)，其對(duì)來(lái)自天體光波的擾動(dòng)也越大[1]。為此，科學(xué)家提出了地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的概念(GLAO)[2]：通過(guò)多個(gè)激光導(dǎo)引星和波前探測(cè)器對(duì)地面層大氣湍流造成的波前畸變進(jìn)行測(cè)量，之后利用一個(gè)變形鏡校正地面層大氣湍流的影響，進(jìn)而可在較大的視場(chǎng)內(nèi)適度提高地基望遠(yuǎn)鏡的觀(guān)測(cè)能力[3-4]。為保證有效的觀(guān)測(cè)視場(chǎng)，地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)多采用多顆激光導(dǎo)引星作為參考目標(biāo)?？紤]到激光產(chǎn)生與發(fā)射系統(tǒng)復(fù)雜且價(jià)格昂貴，多數(shù)地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)僅使用3～5顆激光導(dǎo)引星[5-7]。

激光導(dǎo)引星的位置排布對(duì)地面層自適應(yīng)光學(xué)的系統(tǒng)性能會(huì)有一定影響。其最優(yōu)排布位置與很多參數(shù)有關(guān)，其中大氣湍流強(qiáng)度隨高度的分布函數(shù)(大氣湍流強(qiáng)度廓線(xiàn))是影響導(dǎo)引星位置的主要因素[8]。大氣湍流是一種在空間和時(shí)間上隨機(jī)變化的介質(zhì)[9]，該特性使同一臺(tái)址下的廓線(xiàn)變化具有一定隨機(jī)性。隨機(jī)變化的湍流廓線(xiàn)必然會(huì)對(duì)地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)性能帶來(lái)影響，因此在導(dǎo)引星數(shù)目有限的情況下，從統(tǒng)計(jì)意義上分析不同大氣湍流強(qiáng)度廓線(xiàn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)引星優(yōu)化位置分布很有必要。當(dāng)前地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中，多采用蒙特卡洛模擬法，在典型大氣湍流模型下通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)的性能，得到多顆激光導(dǎo)引星的排布方式[10-12]。由于大氣湍流廓線(xiàn)具有隨機(jī)分布的特性，分析不同實(shí)測(cè)湍流廓線(xiàn)下的導(dǎo)引星位置需要計(jì)算不同廓線(xiàn)對(duì)應(yīng)的位置。此時(shí)，利用蒙特卡洛法需要計(jì)算大量不同的湍流強(qiáng)度廓線(xiàn)對(duì)應(yīng)的地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)性能，這會(huì)耗費(fèi)極多的計(jì)算資源。

因此，本文針對(duì)大量實(shí)測(cè)的大氣湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)提出了一種導(dǎo)引星優(yōu)化方案，首先引入一個(gè)簡(jiǎn)化的地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)幾何模型[13]，在該模型基礎(chǔ)上使用遺傳算法作為尋找導(dǎo)引星位置的優(yōu)化算法，并且采用多進(jìn)程、Numba庫(kù)和多線(xiàn)程對(duì)上述兩個(gè)過(guò)程進(jìn)行加速處理，通過(guò)上述方法可以方便快速地分析實(shí)測(cè)湍流數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)引星最優(yōu)位置情況。

2 地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)性能評(píng)估的簡(jiǎn)化幾何模型

激光導(dǎo)引星的位置排布主要會(huì)影響地面層大氣湍流的測(cè)量和重建結(jié)果，為快速估計(jì)不同導(dǎo)引星分布下的地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)性能，本文采用一個(gè)僅考慮導(dǎo)引星發(fā)出的光波對(duì)地面層大氣湍流采樣能力的簡(jiǎn)化模型[13]。由于本模型采用了歸一化的大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)系數(shù)，同時(shí)假設(shè)變形鏡具有完美的校正能力，因此僅用于在視場(chǎng)確定、導(dǎo)引星數(shù)目確定的情況下，對(duì)導(dǎo)引星排布進(jìn)行快速優(yōu)化。模型將大氣湍流等效為多層分布于不同高度的薄相位屏，如圖1所示。其中科學(xué)目標(biāo)處于無(wú)窮遠(yuǎn)，激光導(dǎo)引星處于有限高度。來(lái)自科學(xué)目標(biāo)的光波所經(jīng)歷的大氣湍流路徑近似為柱狀，而導(dǎo)引星的光波所經(jīng)歷的大氣湍流路徑為圓錐狀?？茖W(xué)目標(biāo)在每一層大氣湍流截出一個(gè)和望遠(yuǎn)鏡口徑大小相同的圓形，而導(dǎo)引星截出一個(gè)半徑隨高度減小的圓形。

WF(the fraction of the wavefront)為激光導(dǎo)引星光束所采樣的湍流信息占科學(xué)目標(biāo)光束所經(jīng)歷的湍流信息的百分比(為了簡(jiǎn)寫(xiě)方便，用Φ表示)。如圖1所示，多個(gè)激光導(dǎo)引星光波在每層的采樣結(jié)果由三部分組成：位于科學(xué)目標(biāo)光束路徑之外的Φfal、在科學(xué)目標(biāo)光束路徑上由多個(gè)導(dǎo)引星共同采樣的Φoverlap以及在科學(xué)目標(biāo)光束路徑上每個(gè)導(dǎo)引星各自獨(dú)立采樣的Φde。只有當(dāng)激光導(dǎo)引星所采樣的湍流信息與科學(xué)目標(biāo)光束所經(jīng)歷的湍流重疊時(shí)，其測(cè)量結(jié)果才是有效的(根據(jù)這一校正結(jié)果，可以有效地提高科學(xué)目標(biāo)信噪比)。定義激光導(dǎo)引星光束與科學(xué)目標(biāo)光束重疊區(qū)域內(nèi)的Φ為1。由于大氣湍流相位分布是連續(xù)的，因此位于激光導(dǎo)引星光束和科學(xué)目標(biāo)光束重疊區(qū)域之外的Φ對(duì)系統(tǒng)校正也有一定作用，可用下式表示：

其中：r0是大氣相干長(zhǎng)度，d是激光導(dǎo)引星在科學(xué)目標(biāo)光束路徑之外與路徑之內(nèi)最近采樣點(diǎn)之間的距離，b是一個(gè)由相干長(zhǎng)度r0和大氣湍流的外尺度L0決定的常量。當(dāng)d大于或等于大氣湍流的外尺寸L0時(shí)，激光導(dǎo)引星在科學(xué)目標(biāo)光束路徑上的采樣幾乎沒(méi)有任何貢獻(xiàn)，則設(shè)置WF為-1。此時(shí)，可以由給定的r0和L0計(jì)算出b。本文將參數(shù)r0設(shè)為0.1 m，L0設(shè)為10 m(實(shí)際使用中，可以根據(jù)具體測(cè)量參數(shù)進(jìn)行修改)。

在高度為h的大氣湍流層，設(shè)該層的WF為Φ(h)，即：

圖1 地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)簡(jiǎn)化幾何模型圖Fig.1 Geometric model for ground layer adaptive optics systems

其中：Φde、Φfal分別為N個(gè)激光導(dǎo)引星各自在該層目標(biāo)區(qū)域之內(nèi)和區(qū)域之外產(chǎn)生的 WF之和，Φoverlap為所有導(dǎo)引星在目標(biāo)區(qū)域之內(nèi)重疊產(chǎn)生的WF之和。C為多顆激光導(dǎo)引星同時(shí)采樣同一位置波面時(shí)，每顆導(dǎo)引星對(duì)波前測(cè)量的貢獻(xiàn)度。本文假設(shè)多顆導(dǎo)引星同時(shí)采樣同一個(gè)區(qū)域時(shí)，波前測(cè)量結(jié)果對(duì)于系統(tǒng)校正的最低貢獻(xiàn)將減半，則將C設(shè)為50%。Φde、Φfal、Φoverlap分別表示為

其中：N為激光導(dǎo)引星數(shù)目，A(h)為激光導(dǎo)引星光束在該層投影的面積πr2，r可以利用相似三角形公式快速算出。由于本文著重討論不同廓線(xiàn)下的導(dǎo)引星位置優(yōu)化，為去除不同視寧度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，我們將大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)進(jìn)行歸一化處理。最終以為權(quán)重，通過(guò)加權(quán)求和計(jì)算大氣湍流對(duì)系統(tǒng)的整體性能Φsys(h)，計(jì)算式：

最后，考慮不同視場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的觀(guān)測(cè)區(qū)域大小不同，根據(jù)視場(chǎng)不同位置采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的面積作為權(quán)重求和，計(jì)算出地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的整體性能，計(jì)算公式如(7)所示。

其中：rn代表采樣點(diǎn)到視場(chǎng)中心的角距離，M為所有的采樣點(diǎn)數(shù)目。

對(duì)一個(gè)具體的地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，該簡(jiǎn)化模型計(jì)算出的系統(tǒng)相對(duì)性能差異可以直接用來(lái)確定導(dǎo)引星的最優(yōu)位置。

3 導(dǎo)引星位置優(yōu)化算法

大氣是一種連續(xù)隨機(jī)介質(zhì)，其湍流廓線(xiàn)分布與臺(tái)址和氣候環(huán)境息息相關(guān)。對(duì)某一處特定的臺(tái)址，可以對(duì)該臺(tái)址的海量湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，結(jié)合地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)模型，通過(guò)數(shù)值優(yōu)化的方法獲取湍流廓線(xiàn)和導(dǎo)引星最優(yōu)分布之間的映射關(guān)系。

3.1 大氣湍流數(shù)據(jù)來(lái)源與處理

對(duì)傳統(tǒng)地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)或者多層共軛自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的性能進(jìn)行估算，目前多采用一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均的大氣湍流廓線(xiàn)作為典型廓線(xiàn)，但其并不能真正反映出具體臺(tái)址的特征。尤其當(dāng)湍流廓線(xiàn)的統(tǒng)計(jì)分布不滿(mǎn)足高斯分布時(shí)，統(tǒng)計(jì)平均值給出的結(jié)果估計(jì)和實(shí)際系統(tǒng)的性能差距較大。為更好地評(píng)估實(shí)際大氣湍流廓線(xiàn)對(duì)激光導(dǎo)引星位置的布局影響，本文使用兩組實(shí)測(cè)臺(tái)址數(shù)據(jù)作為湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)庫(kù)[14-15]進(jìn)行研究。如表 1所示，一組是杜倫大學(xué)高等儀器研究中心(CFAI)用Stereo-SCIDAR[16]方法在智利帕拉納爾觀(guān)測(cè)臺(tái)址下獲取的2016年～2018年共7563條數(shù)據(jù)，該方法的高度空間分辨率較高，約為150 m左右，可以測(cè)量地面層湍流廓線(xiàn)。另一組是三十米望遠(yuǎn)鏡選址團(tuán)隊(duì)(TMT)用MASS方法[17]在夏威夷莫納克亞山觀(guān)測(cè)臺(tái)址下獲取的2005年～2008年共計(jì)163208條數(shù)據(jù)，該方法的高度空間分辨率比較低，一般只給出指定高度的大氣湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)，本文用到的典型高度為0.5 km、1 km、2 km、4 km、8 km和16 km。

帕拉納爾的湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)格式如表2所示。根據(jù)地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)簡(jiǎn)化幾何模型，只需考慮隨湍流高度變化的對(duì)系統(tǒng)的影響。湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)從近地面開(kāi)始，每間隔250 m采樣獲取，儀器所能測(cè)量的最大高度在25 km左右，由此將湍流廓線(xiàn)定義成一個(gè)包含100層薄相位屏的模型，對(duì)于一些測(cè)量值不足100層的湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)在高空處補(bǔ)零。測(cè)量值的數(shù)量級(jí)在10-14到10-19之間，為計(jì)算方便，將進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：先對(duì)其取對(duì)數(shù) log10(為防止高空處部分值為零造成的對(duì)數(shù)運(yùn)算為負(fù)無(wú)窮大，可將加1之后進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算)，最后將結(jié)果映射到[0, 1]之間為大小100×1的矢量，標(biāo)準(zhǔn)化公式見(jiàn)式(8)和式(9)。由于本文關(guān)注的是地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的相對(duì)性能變化(而非絕對(duì)校正能力)，上述變換可以減少數(shù)據(jù)差異對(duì)計(jì)算造成的不便，并不影響不同導(dǎo)引星排布的相對(duì)結(jié)果差異。

莫納克亞山觀(guān)測(cè)臺(tái)址下的湍流數(shù)據(jù)格式如表3所示：分別是將廓線(xiàn)分解為三層或六層的數(shù)據(jù)。本文采用六層大氣湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)，對(duì)應(yīng)高度分別為0.5 km、1 km、2 km、4 km、8 km、16 km，的數(shù)量級(jí)在10-14到 10-24之間。這組數(shù)據(jù)中沒(méi)有為零的，可直接根據(jù)式(10)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這里為大小6×1的矢量。

3.2 基于遺傳算法的導(dǎo)引星布局優(yōu)化

湍流廓線(xiàn)和導(dǎo)引星的優(yōu)化分布之間的映射是一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，難以利用常規(guī)的凸優(yōu)化方法求解。本文將其視為一般的非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題，利用迭代思想盡可能地逼近最優(yōu)解。提出采用遺傳算法[18-19]獲取導(dǎo)引星分布，主要原因是：1) 遺傳算法直接對(duì)導(dǎo)引星位置坐標(biāo)進(jìn)行相關(guān)操作，其目標(biāo)函數(shù)Φall(h)可以是任意的，無(wú)需要求計(jì)算Φall(h)的過(guò)程是離散的或連續(xù)的。2) 遺傳算法本身按照概率進(jìn)行優(yōu)化，不需要特定的條件就能自動(dòng)獲取和指導(dǎo)優(yōu)化導(dǎo)引星位置坐標(biāo)的搜索空間,可以自適應(yīng)調(diào)整搜索方向。3) 導(dǎo)引星位置坐標(biāo)在優(yōu)化過(guò)程中用概率性傳遞規(guī)則代替確定性規(guī)則的重組變異各態(tài)歷經(jīng)性，能夠使導(dǎo)引星位置坐標(biāo)具有更好的全局優(yōu)化解。

表1 大氣湍流數(shù)據(jù)情況Table 1 Atmospheric turbulence data

表2 帕拉納爾臺(tái)址下的湍流數(shù)據(jù)格式Table 2 Turbulence data format in paranal

表3 莫納克亞山臺(tái)址下的湍流數(shù)據(jù)格式Table 3 Turbulence data format in Mauna Kea

本文針對(duì)一個(gè)口徑為10 m，視場(chǎng)為14′的地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)，首先考慮5顆導(dǎo)引星的情況，表4為地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)。導(dǎo)引星位置采用極坐標(biāo)(ρ，θ)表示，其中坐標(biāo)原點(diǎn)為視場(chǎng)中心，極徑ρ為視場(chǎng)方向上的位置，θ為圓周方向上的位置。ρ的取值范圍為半視場(chǎng)角，即[0″, 420″]；θ的取值范圍為整個(gè)圓周角，即[0o, 360o]，則遺傳算法的搜索區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)半徑420″的圓域，具體計(jì)算流程圖如圖2所示。

表4 地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的參數(shù)Table 4 Parameters of the ground layer adaptive optical system

3.2.1 初始化種群

將導(dǎo)引星坐標(biāo)和坐標(biāo)的邊界范圍初始化一個(gè)2×10的區(qū)域矩陣B，第一行為坐標(biāo)上界，第二行為坐標(biāo)下界，10列依次為坐標(biāo)位置(x,y)，具體格式：

以B為限制條件，按整數(shù)值編碼的方式創(chuàng)建種群矩陣G，其中Nind代表導(dǎo)引星坐標(biāo)組數(shù)，Lind代表導(dǎo)引星對(duì)應(yīng)的變量個(gè)數(shù)。

式(12)中，矩陣的每一行代表一組導(dǎo)引星位置坐標(biāo)，坐標(biāo)由隨機(jī)的十進(jìn)制整數(shù)構(gòu)成，每個(gè)坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)變量的實(shí)際值。

3.2.2 導(dǎo)引星位置數(shù)據(jù)的重組和變異

導(dǎo)引星位置數(shù)據(jù)的重組選擇減少代理的兩點(diǎn)交叉方式，過(guò)程如圖3所示，父代雙親染色體中的基因[a、b、c、d、e、f、g、h、i、j]、[A、B、C、d、e、F、G、H、I、J]分別對(duì)應(yīng)兩組導(dǎo)引星的坐標(biāo)值，按照0.9的重組概率隨機(jī)選中兩個(gè)交叉點(diǎn)，該方式可以控制交叉點(diǎn)只出現(xiàn)在上一輪兩個(gè)坐標(biāo)不同的位置之間，避免子代中產(chǎn)生和父代相同的坐標(biāo)。

導(dǎo)引星位置數(shù)據(jù)的變異方式采用實(shí)值突變，同時(shí)為了避免變異過(guò)程中使解陷入局部最優(yōu)解，變異概率不宜太大，本文選為0.1，其變異示意圖如圖4所示，圖中共有三個(gè)坐標(biāo)值發(fā)生了變異，將變異后的坐標(biāo)重新作為下一輪的父代坐標(biāo)。

圖2 遺傳算法流程圖Fig.2 Flow chart of the genetic algorithm

圖3 遺傳算法中染色體的重組過(guò)程Fig.3 Chromosome recombination process in the genetic algorithm

圖4 遺傳算法中染色體的變異過(guò)程Fig.4 Chromosome variation process in the genetic algorithm

3.2.3 適應(yīng)度計(jì)算

本文采用等級(jí)劃分的分配方式計(jì)算適應(yīng)度，見(jiàn)式(13)。該方式根據(jù)Φall(h)的值從大到小對(duì)導(dǎo)引星坐標(biāo)排序，然后根據(jù)坐標(biāo)在排序中的位置來(lái)確定其適應(yīng)度。

式中：PS為選擇壓力，決定種群的收斂速度，其取值必須在[1, 2]之間，本文選為2，Nind為導(dǎo)引星坐標(biāo)的組數(shù)，i為每組坐標(biāo)在種群中的位置。

3.2.4 導(dǎo)引星位置數(shù)據(jù)的選擇

進(jìn)化中的導(dǎo)引星位置用錦標(biāo)賽式的方法進(jìn)行選擇，該方法模仿淘汰賽制，每次從種群中挑選出適應(yīng)度最好的一組加入被選集合，重復(fù)該操作直到挑出0.5×Nind組新坐標(biāo)作為子代，然后將選出來(lái)的個(gè)體和父代合并進(jìn)行下一次的進(jìn)化，每個(gè)個(gè)體i被選中的概率為P(i)為

3.2.5 子種群數(shù)目

圖5 遺傳算法中不同子種群數(shù)目的收斂效果Fig.5 Convergence effect of different subpopulations

子種群數(shù)目的多少與最優(yōu)解的結(jié)果和計(jì)算時(shí)間息息相關(guān)。圖5表示了不同子種群數(shù)目迭代了100次的收斂情況，圖中不同顏色曲線(xiàn)依次代表子種群數(shù)目為20，30，40，50，100，不同數(shù)目的計(jì)算在 60代附近都達(dá)到收斂狀態(tài)。雖然子種群數(shù)目越多，信息增益越大，但是運(yùn)算時(shí)間也越長(zhǎng)。本文主要考慮多個(gè)廓線(xiàn)下導(dǎo)引星的統(tǒng)計(jì)最優(yōu)位置，信息增益的微小的差異可以忽略不記。所以最終選用的子種群數(shù)目為20。

3.3 計(jì)算時(shí)間加速過(guò)程

與蒙特卡洛法模擬相比，采用地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)簡(jiǎn)化幾何模型的計(jì)算速度得到了提升。但作為遺傳算法中需要不斷迭代優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，其運(yùn)行時(shí)間仍然較長(zhǎng)(子種群數(shù)為1時(shí)，計(jì)算一條廓線(xiàn)下的地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)性能需要近1 h)。

如果遺傳算法迭代50次獲得導(dǎo)引星最優(yōu)值，對(duì)單個(gè)廓線(xiàn)而言，至少需要兩天的時(shí)間，所以迫切需要提高整個(gè)過(guò)程的運(yùn)算速度。

本文采用多進(jìn)程、多線(xiàn)程和具有高性能計(jì)算能力的Numba庫(kù)，分別對(duì)幾何模型中計(jì)算量較大的模塊和遺傳算法子種群中多個(gè)獨(dú)立個(gè)體部分進(jìn)行并行處理。表5列出了研究過(guò)程中在算法不同部位的加速方法以及不同數(shù)目子種群個(gè)體下的運(yùn)行時(shí)間。從表中可以看出，在幾何模型中使用多線(xiàn)程，遺傳算法中使用多進(jìn)程的加速方法效果最有效(子種群個(gè)體為20時(shí)，加速比可達(dá)到3240：1)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

利用遺傳算法，本文分別對(duì)不同實(shí)測(cè)臺(tái)址廓線(xiàn)下的導(dǎo)引星位置，以及同一臺(tái)址湍流廓線(xiàn)下不同數(shù)目的導(dǎo)引星位置做優(yōu)化。

4.1 單條湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)下的導(dǎo)引星位置優(yōu)化分析

首先在帕拉納爾觀(guān)測(cè)臺(tái)址下隨機(jī)選取一條大氣湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)，用表1的地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)，通過(guò)遺傳算法計(jì)算5次該廓線(xiàn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)引星最優(yōu)位置，結(jié)果如圖6所示。圖6(a)～6(e)依次是5次的位置結(jié)果，圖6(f)是5次總體結(jié)果，以下各圖均用極坐標(biāo)表示，其中極徑為導(dǎo)引星半視場(chǎng)角上的位置，極角為圓周角上的位置。從計(jì)算結(jié)果可以看出，遺傳算法算出的導(dǎo)引星位置在徑向視場(chǎng)角的位置均為 320″(5.3′)左右，由于沒(méi)有考慮風(fēng)向的原因使角向圓周角的位置每次有所區(qū)別。

圖6 一條湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)下5次激光導(dǎo)引星位置結(jié)果。(a)～(e) 分別為5次相同條件下的導(dǎo)引星位置結(jié)果；(f) 5次位置的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Fig.6 The position results of the laser guiding star for five measurements with single turbulent profile data.(a)～(e) The results of guiding star positions under the same condition for five measurements respectively; (f) Total positional results of five measurements

表5 不同加速方案的運(yùn)行時(shí)間結(jié)果對(duì)比Table 5 Comparison of running time with different acceleration schemes s

選取另一條大氣湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)計(jì)算其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)引星最優(yōu)位置分布，經(jīng)過(guò)多次計(jì)算，該廓線(xiàn)下導(dǎo)引星的優(yōu)化位置都在視場(chǎng)正中心。圖7(a)～7(c)是選取3次的位置結(jié)果圖，該結(jié)果證明了遺傳算法計(jì)算同一個(gè)廓線(xiàn)最優(yōu)位置時(shí)結(jié)果具有收斂一致性。

進(jìn)一步分析上述兩種位置排布不同的原因，圖8(a)和8(b)分別畫(huà)出了導(dǎo)引星位置呈正多邊形和視場(chǎng)中心分布對(duì)應(yīng)的大氣湍流廓線(xiàn)，圖中橫坐標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)化之后的對(duì)數(shù)坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為湍流高度，從圖中可以看出導(dǎo)引星位置分布為規(guī)則正多邊形，對(duì)應(yīng)的湍流強(qiáng)度集中在中底層，而導(dǎo)引星位置分布于視場(chǎng)中心時(shí)，湍流強(qiáng)度主要在中高層。由圖1可知，與無(wú)限遠(yuǎn)處目標(biāo)接近于平行光的傳輸路徑不同，單個(gè)導(dǎo)引星測(cè)量的只是一定高度上到達(dá)望遠(yuǎn)鏡口徑的錐形路徑上的波前畸變，高度和路徑之外的大氣湍流造成的波前畸變無(wú)法獲得。當(dāng)?shù)孛鎸哟髿馔牧鬏^強(qiáng)時(shí)，分散多顆導(dǎo)引星的排布可以保證校正整個(gè)視場(chǎng)內(nèi)的科學(xué)目標(biāo)圖像質(zhì)量。而當(dāng)?shù)孛鎸油牧鲝?qiáng)度較弱時(shí)，高層大氣對(duì)科學(xué)目標(biāo)影響嚴(yán)重，多顆導(dǎo)引星分散分布會(huì)導(dǎo)致對(duì)不同視場(chǎng)的科學(xué)目標(biāo)測(cè)量差異較大，因此導(dǎo)引星的位置分布更集中是一個(gè)相對(duì)穩(wěn)妥的選擇。另外，由于本論文提出模型更關(guān)注地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的相對(duì)性能，而非絕對(duì)性能。因此，目前尚無(wú)法衡量地面層湍流較弱時(shí)，地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的絕對(duì)性能如何。但是，從導(dǎo)引星排布情況大致能發(fā)現(xiàn)，當(dāng)優(yōu)化結(jié)果出現(xiàn)如圖7所示情況時(shí)，將可能伴隨地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)性能下降的情況。

圖7 另一條湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)下3次激光導(dǎo)引星位置結(jié)果。(a)～(c) 分別為3次相同條件下的導(dǎo)引星位置結(jié)果Fig.7 The position results of the laser guiding star for three measurements with another turbulent profile data.(a)～(c) The results of guiding star positions under the same condition for three measurements respectively

圖8 上述兩種情形中對(duì)應(yīng)的大氣湍流廓線(xiàn)圖。(a) 圖6對(duì)應(yīng)的大氣湍流廓線(xiàn)圖；(b) 圖7對(duì)應(yīng)的大氣湍流廓線(xiàn)圖Fig.8 Atmospheric turbulence profiles corresponding to the above two cases.(a) Atmospheric turbulence profile corresponding to Figure 6;(b) Atmospheric turbulence profile corresponding to Figure 7

4.2 多條湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)下的導(dǎo)引星位置優(yōu)化分析

為了具體分析不同實(shí)測(cè)臺(tái)址下湍流廓線(xiàn)與導(dǎo)引星位置的分布關(guān)系，本文從統(tǒng)計(jì)角度考慮，在獲取的全部湍流中隨機(jī)采樣 2000條帕拉納爾和納克亞山觀(guān)測(cè)臺(tái)址下的廓線(xiàn)數(shù)據(jù)，用遺傳算法計(jì)算實(shí)測(cè)湍流廓線(xiàn)下導(dǎo)引星的最優(yōu)位置。在湍流廓線(xiàn)到導(dǎo)引星位置這個(gè)映射空間內(nèi)，每條湍流廓線(xiàn)之間彼此相互獨(dú)立，而且隨機(jī)采樣過(guò)程中每個(gè)樣本都服從同一個(gè)分布。機(jī)器學(xué)習(xí)理論指出服從獨(dú)立同分布(i.i.d)的每個(gè)隨機(jī)變量有著相同的分布形狀和分布參數(shù)，即采樣獲得的湍流數(shù)據(jù)和該臺(tái)址下對(duì)應(yīng)的所有湍流數(shù)據(jù)有著相同的分布特征。所以，在隨機(jī)采樣的湍流數(shù)據(jù)下計(jì)算出的導(dǎo)引星位置，可以反映出該臺(tái)址下所有湍流廓線(xiàn)與其導(dǎo)引星位置分布的關(guān)系。

圖9(a)和 9(b)分別是兩個(gè)觀(guān)測(cè)臺(tái)址在采樣湍流數(shù)據(jù)下，用遺傳算法多次計(jì)算得到的位置統(tǒng)計(jì)密度圖，圖中每個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)導(dǎo)引星，顏色越深表示落在該位置的導(dǎo)引星數(shù)目越多?？梢钥闯?，兩個(gè)觀(guān)測(cè)臺(tái)址下導(dǎo)引星位置集中分布的具體形狀是不同的，但是均服從邊緣呈正多邊形以及中心一顆的規(guī)律。此計(jì)算結(jié)果表明，相比根據(jù)典型湍流模型計(jì)算出一致的導(dǎo)引星位置排布，本文提出的優(yōu)化方案可以根據(jù)不同實(shí)測(cè)場(chǎng)景計(jì)算不同的導(dǎo)引星排布更有研究意義。

此外，發(fā)現(xiàn)帕拉納爾的導(dǎo)引星位置分布更接近于規(guī)則的正多邊形，其原因可能是由于莫納克亞山測(cè)量的湍流廓線(xiàn)等效層只有6層，而帕拉納爾測(cè)量的湍流廓線(xiàn)等效層具有100層。因此，對(duì)于大型光電望遠(yuǎn)鏡，需要盡可能多地獲取高分辨率大氣湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)，以利于包括地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)在內(nèi)的各類(lèi)光電系統(tǒng)性能的評(píng)估和預(yù)研究。

圖9 不同觀(guān)測(cè)臺(tái)址下激光導(dǎo)引星的位置分布圖。(a) 帕拉納爾下的位置分布；(b) 莫納克亞山下的位置分布Fig.9 Location distribution of laser guiding stars at different observation stations.(a) Paranal; (b) Mauna Kea

4.3 不同導(dǎo)引星數(shù)目下的位置優(yōu)化分析

本文用遺傳算法對(duì)3、4顆的導(dǎo)引星也做了位置優(yōu)化分析，圖10(a)、10(b)和圖11(a)、11(b)分別是用500條帕拉納爾和莫納克亞山的大氣湍流廓線(xiàn)數(shù)據(jù)得到的三顆和四顆導(dǎo)引星的最優(yōu)位置分布圖。從圖 10和11中可以看出，不同數(shù)目的導(dǎo)引星在同一臺(tái)址下的位置分布類(lèi)似，此結(jié)果表明在近地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中，不同數(shù)目的導(dǎo)引星對(duì)系統(tǒng)性能的影響遠(yuǎn)比大氣湍流強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)的影響要小。

圖10 帕拉納爾下3顆和4顆激光導(dǎo)引星的位置分布。(a) 3顆星的位置分布；(b) 4顆星的位置分布Fig.10 The position distribution of three and four laser guiding stars in Paranal.(a) Three stars; (b) Four stars

圖11 莫納克亞山下3顆和4顆激光導(dǎo)引星的位置分布。(a) 3顆星的位置分布；(b) 4顆星的位置分布Fig.11 The position distribution of three and four laser guiding stars in Mauna Kea.(a) Three stars; (b) Four stars

5 結(jié) 論

目前激光導(dǎo)引星常用的正多邊形排布模式一直是通過(guò)蒙特卡洛法多次模擬不同光學(xué)系統(tǒng)得到的，該過(guò)程需要消耗大量的計(jì)算資源，且模擬過(guò)程中用到的大氣湍流模型無(wú)法反映隨時(shí)間和空間變化的大氣湍流特性。針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題，本文提出使用遺傳算法作為導(dǎo)引星位置排布的方法，簡(jiǎn)化了地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)幾何模型作為遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)，并且采用多線(xiàn)程、Numba庫(kù)和多進(jìn)程的方法對(duì)整個(gè)過(guò)程加速。此方案作為激光導(dǎo)引星的位置優(yōu)化方法不僅可以節(jié)省大量的時(shí)間；而且減少了一些不重要參數(shù)引起的計(jì)算資源消耗；最重要的是可以根據(jù)不同臺(tái)址的實(shí)測(cè)大氣湍流分析其對(duì)導(dǎo)引星位置排布的影響，從而使導(dǎo)引星最大化地提升地面層自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的性能。

利用上述方法本文從統(tǒng)計(jì)角度，分析了兩個(gè)實(shí)測(cè)臺(tái)址下大氣湍流強(qiáng)度對(duì)導(dǎo)引星的位置排布影響，以及同一臺(tái)址下3、4、5顆導(dǎo)引星的位置排布結(jié)果。研究結(jié)果表明，不同觀(guān)測(cè)臺(tái)址下導(dǎo)引星的位置排布方式不同，其中獲取的方法空間分辨率越高，導(dǎo)引星的位置就越呈規(guī)則的正多邊形。另外帕拉納爾觀(guān)測(cè)臺(tái)址下的導(dǎo)引星位置結(jié)果表明，在強(qiáng)湍流集中于地面層的廓線(xiàn)下，導(dǎo)引星位置呈規(guī)則的正多邊形；在強(qiáng)湍流集中于中高層的廓線(xiàn)下，導(dǎo)引星位置位于視場(chǎng)中心。最后同一臺(tái)址下3、4、5顆導(dǎo)引星的位置結(jié)果表明，導(dǎo)引星的數(shù)目對(duì)位置排布影響不大，同一臺(tái)址下不同數(shù)目的導(dǎo)引星最優(yōu)位置分布幾乎一致，均呈正多邊形或視場(chǎng)中心分布。