邢 杰 張自力 趙長春 郝會穎
[中國地質(zhì)大學(xué)(北京)數(shù)理學(xué)院 北京 100083]
唐軍杰等人之前研究過變轉(zhuǎn)動慣量剛體定軸轉(zhuǎn)動的實驗研究和數(shù)值模擬,在他們的實驗中,轉(zhuǎn)動慣量的變化都是因為附加機(jī)構(gòu)質(zhì)量或質(zhì)量的分布發(fā)生改變引起的[1,2].其實,在最簡單的兩剛體系統(tǒng)中,轉(zhuǎn)動慣量就已經(jīng)在變化了,如例1所示.
【例1】一定滑輪固定于O點,定滑輪可以看成是一個質(zhì)量均勻分布的圓盤,圓盤半徑為R,質(zhì)量為m1.繩子一端固定并繞在輪軸上,另一端掛一質(zhì)量為m2的物體,自然下垂.繩子的長度不變,質(zhì)量不計,繩與滑輪之間無相對滑動,求滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度.
在這個問題中,一般參考書的解法有兩種,第一種:隔離法,第二種:整體法.我們先給出這兩種方法.
隔離法:將滑輪m1和物體m2分別做受力分析,然后列動力學(xué)方程.對m1來說,滑輪做定軸轉(zhuǎn)動,利用轉(zhuǎn)動定律M=Jm1α,得到
TR=Jm1α
(1)
對于m2,可以看成質(zhì)點,在本身重力和向上的拉力作用下做豎直向下的直線運動.利用牛頓定律,有
m2g-T′=m2a(T=T′)
(2)
再根據(jù)運動學(xué)關(guān)系
a=Rα
(3)
式(1)~(3)聯(lián)立,可以求出角加速度
整體法:將m1和m2看成一個整體,這個系統(tǒng)所受的合外力矩是m2gR,它們在外力矩的作用下做定軸轉(zhuǎn)動,根據(jù)M=J總α,這里轉(zhuǎn)動慣量
(4)
代入后,可得
這個結(jié)果和隔離法的結(jié)果一致.
整體法的處理方法在一些剛體的輪軸問題中經(jīng)常能看到[1~4],但是仔細(xì)考察后發(fā)現(xiàn)式(4)中m2的轉(zhuǎn)動慣量并不好理解.在整個運動過程中,m2相對于轉(zhuǎn)軸的位置總在變化,為什么可以等效成m2R2這一常量表達(dá)呢?為了解釋清楚這個問題,我們畫了圖2.
圖2 轉(zhuǎn)動慣量分析
這個復(fù)合體系中有兩個剛體,其中一個剛體m2相對于轉(zhuǎn)軸的位置不斷隨時間變化,因此我們把總角動量L寫成兩部分,即
L=Jm1ω1+Jm2ω2
(5)
其中圓盤m1的轉(zhuǎn)動慣量Jm1是一個常數(shù),其余參量(ω1,Jm2,ω2)都是時間的函數(shù),于是有
(6)
根據(jù)圖2和運動學(xué)關(guān)系,可以得到m2的轉(zhuǎn)動慣量Jm2和角速度ω2
(7)
(8)
這里v表示m2的運動速度,將式(7)和式(8)代入式(6)中,有
(9)
(10)
以上是從物理學(xué)角度導(dǎo)出了例1這一典型運動模型的運動特點和規(guī)律,式(10)與定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動定律M=Jα比較可得以下結(jié)論:
圖1 滑輪定軸轉(zhuǎn)動
在普通物理學(xué)課程中,一般不定義也不講解“等效轉(zhuǎn)動慣量”的概念,而在機(jī)械原理和機(jī)電一體化專業(yè)課程中,嚴(yán)格定義講解了“等效轉(zhuǎn)動慣量”的概念并用于機(jī)電工程設(shè)計中[5].其中“等效轉(zhuǎn)動慣量”定義的實質(zhì)和規(guī)則是:一個由若干個移動(平動)部件和轉(zhuǎn)動部件構(gòu)成的系統(tǒng),其各部件動能之和等于一個等效的定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動動能,這個剛體的轉(zhuǎn)動慣量即為等效轉(zhuǎn)動慣量.
按照以上定義和規(guī)則,可求出圖1所示重物滑輪系統(tǒng)的等效轉(zhuǎn)動慣量,過程為
即有
這就從不同學(xué)科的角度證明了“等效轉(zhuǎn)動慣量”概念的正確性和合理性.
有些教材和文獻(xiàn)直接用公式M=(Jm1+m2R2)α來進(jìn)行動力學(xué)計算,而且未對式中m2R2做任何注釋[1,2,4],這樣很容易讓學(xué)生誤讀,學(xué)生以為Jm1+m2R2就是剛體系定軸轉(zhuǎn)動的實際總轉(zhuǎn)動慣量,而且總轉(zhuǎn)動慣量是不變的.甚至一些教師也這樣認(rèn)為.筆者翻看了近幾年的大學(xué)物理教材,一些教材在處理這類輪軸問題時,仍然采用隔離法求解,很少用等效的方法[6~8],可能也是怕引起誤解.