耿艷秋 佟 良 鄒大偉

（綏化學(xué)院信息工程學(xué)院 綏化 152061）

1 引言

眾所周知，股市市場(chǎng)的波動(dòng)變化叵測(cè)，能夠掌握國(guó)內(nèi)股市的變化規(guī)律及美國(guó)股市對(duì)中國(guó)股市的影響一直都是投資者夢(mèng)寐以求的事情。目前，關(guān)于中美股票市場(chǎng)波動(dòng)的關(guān)聯(lián)性的技術(shù)分析方法也出現(xiàn)了很多，包含有馬爾科夫分析法、時(shí)間序列分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。小波分析（Wavelets Analysis）是20世紀(jì)80年代中后期逐漸發(fā)展起來(lái)的一種新的數(shù)學(xué)分析方法，它具有豐富的數(shù)學(xué)理論意義，又具有廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值。廣泛應(yīng)用在信號(hào)處理、圖像處理、理論數(shù)學(xué)、模式識(shí)別、語(yǔ)音分析以及其他非線性科學(xué)領(lǐng)域。但把小波分析應(yīng)用在股票市場(chǎng)的數(shù)據(jù)分析研究中的文章還不多。1995 年，Ramsey J B 等在文獻(xiàn)［1］中率先用小波分析預(yù)測(cè)了標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)（S&P 500）的未來(lái)走勢(shì)；2002年，Hahn在文獻(xiàn)［2］中用小波分析理論研究了土耳其和埃及股市受美國(guó)股市波動(dòng)的影響；1999 年，王哲、王春峰等在文獻(xiàn)［3］中給出了小波變換在中國(guó)股票市場(chǎng)的數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用；2001 年，孟衛(wèi)東等在文獻(xiàn)［4］中用小波理論完成了上證指數(shù)奇異信號(hào)統(tǒng)計(jì)監(jiān)測(cè)，得到了很好的結(jié)論；2001 年，候木舟等在文獻(xiàn)［5］中研究了基于Matlab 的小波分析在股市技術(shù)分析中的應(yīng)用?；谇叭说难芯砍晒?，本文將采用小波多分辨分析的方法研究美國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的影響。

2 小波分析

2.1 小波基函數(shù)

小波基函數(shù)決定了小波的效率，常用的小波基函數(shù)有Haar小波，Morlet小波，Mexico小波[6]等，本文將采用Mexico 草帽小波來(lái)分析股市價(jià)格的波動(dòng)趨勢(shì)。

Mexico小波也稱(chēng)為草帽小波，定義為

2.2 小波變換

對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)而言，我們要求在低頻部分具有較好的頻率分辨率特性，而在高頻部分具有很好的時(shí)間分辨率特性，為此，我們引入連續(xù)小波變換（CWT）公式如下：

其中，a∈R，a≠0 是尺度因子；b∈R 是時(shí)間平移因子；且函數(shù)：

是由母小波函數(shù)ψ(t)作伸縮、平移得到的。

令式（3）中a=2-m, b=n ?2-m, t=kT, m,n,k∈Z, T 為周期，則有離散小波變換（DWT）公式為

2.3 多分辨分析

Mallat 早在1988 年就提出了多分辨分析理論（MRA），并由此提出了現(xiàn)今廣泛使用的Mallat快速小波分解和重構(gòu)算法。多分辨分析就是將各種不同頻率組成的混合信號(hào)拆分成為各個(gè)不同頻的子信號(hào)，從而，更有利于信號(hào)的重構(gòu)和特征根的提取等［7］。

設(shè){Vj}j∈Z是L2(R)的一個(gè)閉子空間序列。如果滿足：

1）嵌套性：Vj?Vj+1, j∈Z;

從表13的“假設(shè)方差相等”行讀取數(shù)值，t值是8.9590，Sig.(雙側(cè))是雙尾T檢驗(yàn)的顯著性概率0.0001，遠(yuǎn)小于0.05。可以得出結(jié)論：高低側(cè)裂縫嚴(yán)重程度有顯著差異，表現(xiàn)為較低一側(cè)的裂縫面積大于較高一側(cè)，究其原因，主要是由于向心力，較低一側(cè)的路面所受的荷載作用力更大，路面某點(diǎn)的荷載作用持續(xù)時(shí)間相對(duì)更長(zhǎng)(車(chē)輛通過(guò)彎道的時(shí)間一定，而較低側(cè)的路程更短)，而瀝青混合料是一種黏彈性材料，在持續(xù)荷載作用下易產(chǎn)生塑性變形，久而久之產(chǎn)生裂縫。

4）伸縮性：f(t)∈Vj?f(2t)∈Vj+1, j∈Z;

5）平移不變形：f(t)∈V0?f(t-k)∈V0, k∈Z;

6）正交基存在性：存在φ∈V0，使得{φ(t-k),k∈Z}構(gòu)成V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則{Vj}j∈Z稱(chēng)為L(zhǎng)2(R)的一個(gè)多分辨分析（MAR）。

多分辨分析就是用不同分辨率來(lái)逐級(jí)逼近待分析函數(shù)f(t)。由多分辨分析的性質(zhì)可得

其中，{Vj} 為尺度空間，{Wj} 為小波空間。

假設(shè)f∈L2(R)是要處理的實(shí)際信號(hào)，測(cè)得的信號(hào)fj是f 在尺度空間{Vj} 中的近似，下面可將fj多分辨表示為

其中，

設(shè)函數(shù)f(t)∈L2(R) 向不同尺度的小波空間{Wj} 投影后得到的信號(hào)是dj(t)∈Wj，則

由式（5）～（8）得

可以證明信號(hào)f(t)在分辨率2-l(1≤l≤j)分辨率下的逼近是最好的，其中，式（5）～（8）稱(chēng)為離散正交小波的分解公式，式（9）為離散正交小波的重構(gòu)公式［8］。多分辨分析有效地對(duì)信號(hào)低頻部分作了分解，這一特點(diǎn)正好滿足了對(duì)中美股票市場(chǎng)數(shù)據(jù)間的聯(lián)動(dòng)性分析的需要。

3 股市聯(lián)動(dòng)性分析

3.1 樣本數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)來(lái)自雅虎財(cái)經(jīng)網(wǎng)，選取日期為2012年7月1 日 至2018 年3 月1 日 為 止，選 取 標(biāo) 準(zhǔn) 普 爾（S&P500）指數(shù)、香港恒生指數(shù)和上證綜指為原始數(shù)據(jù)分別代表美國(guó)和中國(guó)內(nèi)地股市的波動(dòng)性，首先我們對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，取各股票的日收盤(pán)價(jià)的對(duì)數(shù)收益，即：yt=ln Pt-ln Pt-1，其中Pt是股指的日收盤(pán)價(jià)；t-1 日為美股交易日；t 日為國(guó)內(nèi)股交易日。 對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行甄選，得到標(biāo)準(zhǔn)普爾對(duì)恒生股指的序列1034 個(gè)樣本數(shù)據(jù)；對(duì)上證綜指股指的序列1104個(gè)樣本數(shù)據(jù)［9］。

3.2 樣本數(shù)據(jù)的小波多分辨分析

選用Mexico 小波函數(shù)分別對(duì)標(biāo)準(zhǔn)普爾（S&P500）指數(shù)、香港恒生指數(shù)和上證綜指的日收盤(pán)價(jià)的對(duì)數(shù)收益率的數(shù)據(jù)進(jìn)行6 層的正交小波多分辨分析。 將原始信號(hào)分解為l=a6+d6+d5+d4+d3+d2+d1。

由式（6）可得到a6的值；由式（7）、（8）可得到d1,d2,…,d6的值。其中φ(t)是Mexico 小波的尺度函數(shù)，ψ(t)是Mexico小波函數(shù)［10］。這樣我們就得到了尺度j(j=1,2,3,4)上的一系列重構(gòu)數(shù)據(jù)，如圖1～2 所示，d1,d2,…,d6分別表示尺度21,22,…,26上變化的數(shù)據(jù)。

圖1 上證-標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)

由圖1、圖2可以看出，美國(guó)股市與國(guó)內(nèi)股市的高頻d1具有很好的相似性［11］。小波多頻率分析方法可以提取原始數(shù)據(jù)中的高頻部分，從而能夠有效分析中美股市間的聯(lián)動(dòng)性關(guān)系。

圖2 恒生-標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)

表1 各頻率占比（%）

表1 表明，高頻成分所占的比例遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于低頻部分，其中d1大約占比50%，因此從表中可看出：1）股市的日收益率受短期因素的影響嚴(yán)重，具有不可預(yù)測(cè)性；2）香港的股市短期波動(dòng)性最大，上海股市次之，而美國(guó)股市短期波動(dòng)與前兩者比較相對(duì)要?。?2～13］。

為了研究美國(guó)股市對(duì)國(guó)內(nèi)股市波動(dòng)性的影響，下面對(duì)這三只股票經(jīng)多分辨分析分解后不同尺度上的聯(lián)動(dòng)性進(jìn)行線性回歸分析[14]。 數(shù)據(jù)樣本量n=1034，置信水平α=0.1 時(shí)與樣本量n=1104，置信水平α=0.01時(shí)分別分析如表2。

表2 相關(guān)系數(shù)表

4 結(jié)語(yǔ)

隨著中國(guó)股市國(guó)際化步伐的日益加快，中國(guó)股票市場(chǎng)與國(guó)際股票市場(chǎng)日益融合；全球股市股指間的聚集效應(yīng)更為顯著，股指間差距縮小，聯(lián)動(dòng)性增強(qiáng)，這就是全球經(jīng)濟(jì)“一體化”發(fā)展的必然結(jié)果［15］。本文通過(guò)小波多分辨分析法這一有效工具對(duì)上證指數(shù)、香港恒生指數(shù)和S&P500 標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率時(shí)間序列進(jìn)行了多尺度的復(fù)雜性分析，證明了美國(guó)股市對(duì)香港股市波動(dòng)性影響很大，而對(duì)上海股市波動(dòng)性影響很小。