閆圣，鄒志利*

( 1. 大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024)

1 引言

海岸波浪在近岸處由于水深變淺會發(fā)生破碎，在緩坡海岸波浪還可能發(fā)生多次破碎。如在淤泥質(zhì)海岸，海底坡度通常很小，可從1∶100 到1∶1000 或者更緩，所以極易發(fā)生波浪多次破碎。波浪破碎會將波浪運動的動量轉(zhuǎn)化給水流，引起沿岸流和裂流等海岸環(huán)流運動。無論是破碎波浪還是海岸環(huán)流對海岸地形的形成和演化都具有重要意義：波浪破碎會引起泥沙懸浮和輸移；海岸環(huán)流會產(chǎn)生不同于潮流的泥沙輸移。由于這樣的原因，海岸破碎波計算模型的研究一直是海岸水動力研究中的重要課題[1–5]。

目前，對海岸波浪波高的計算經(jīng)常采用的是波能流方程，該方程是通過在波能守恒方程中加入表達波浪破碎影響的波能耗散項來建立的。現(xiàn)有的波能耗散項的表達存在兩種類型：一是將波能耗散等價于潰壩時的水躍能量耗散[1,3]；二是設(shè)波能耗散正比于波能和穩(wěn)定波能之差[2,6]（穩(wěn)定波能對應(yīng)于具有常數(shù)波高的破碎波，一般僅存在于水深為常數(shù)的情況）。這些模型的不足之處是都不能考慮緩坡海岸上的波浪多次破碎及波浪恢復(fù)過程。前者模型顯然無法考慮波浪恢復(fù)情況，因為該模型成立的前提是波浪已經(jīng)破碎；但后者模型中隱含了波浪可以不破碎的情況，即波能和穩(wěn)定波能之差為0 或者值很小的情況，但這一情況實際上并不能發(fā)生，因為穩(wěn)定波能僅在常數(shù)水深存在，而海岸水底總是存在坡度的。所以，為了使現(xiàn)有模型能夠考慮多次波浪破碎和波浪恢復(fù)，需要對現(xiàn)有波能耗散模型進行修正，本文擬基于上述第二類模型（Dally 模型[2]）給出新的波能耗散模型。

本文首先從包含波浪恢復(fù)的需要出發(fā)，給出了Dally 波能耗散模型中穩(wěn)定波能和波能耗散系數(shù)的重新確定方法；然后以此為基礎(chǔ)建立了新的波能耗散表達式和波浪破碎過程中波浪恢復(fù)的判斷條件；最后進行了模型對比驗證，將新模型計算的波高與平面斜坡海岸和沙壩海岸的破碎波波高實驗結(jié)果進行了對比，同時與其他模型的計算結(jié)果進行了對比。

2 波能耗散表達式的建立

對于海岸和波浪在沿岸方向都是均勻的情況下，Dally 模型[2]的波能方程具有如下表達式（對應(yīng)在x軸指向離岸方向的坐標(biāo)系）：

式中，Ew=ρgH2/8為當(dāng)?shù)夭?，H為波高，ρ和g分別是流體密度和重力加速度；Er=ρgHr2/8為穩(wěn)定波能(或者參考波能）；Dw是波能耗散；h是當(dāng)?shù)厮睿?θ和cg分別是波浪相對海岸法線的波向角和群速（前者對平直岸線可采用波浪折射的Snell 定律 sinθ/c=常數(shù)來計算）；Kb是波能耗散系數(shù)；Hr=γr(h+)，γr是穩(wěn)定波能對應(yīng)的波高水深比，是平均水面升高（波浪增減水）。在不同的模型中Kb和γr的確定是不同的，Dally 等[2]對不同水底坡度分別給出兩物理量的值（對于坡度1∶80～1∶30，γr=0.350～0.475、Kb=0.100～0.275）；Tajima 和Madsen[6]通過先給定常數(shù)水深情況 γr，即γr=0.28，然后通過引入飽和破碎波狀態(tài)（波高水深比γ=γs時?γ/?x=0）來確定Kb，這樣做的優(yōu)點是：所得到的Kb具有解析表達式，即可以得到Kb對水底坡度的解析關(guān)系，即

在這一模型中，飽和破碎波狀態(tài)的引入是關(guān)鍵，這一狀態(tài)的特征是波高水深比 γ=H/(h+)為常數(shù)。Tajima 和Madsen[6]通過實驗確定的這一常數(shù)值為γs=γr+4tanα，tanα為水底坡度。在以上模型中，γr和γs都是對應(yīng)于飽和的破碎狀態(tài)：前者對應(yīng)于平底情況，后者對應(yīng)于斜坡情況（本文將保留這兩個參數(shù)，但將給出不同的表達式）。

本文中新模型的建立主要以Tajima 和Madsen[6]的波能耗散公式為基礎(chǔ)，但所采用的推導(dǎo)思路與這一模型是不同的，Tajima 和Madsen[6]是先給定Er，然后確定Kb，而本文是先給定Kb，然后確定Er。Kb的給定是基于事先假設(shè)（以計算波高與實驗波高相符合為標(biāo)準(zhǔn)），而Er的確定是基于使波能耗散Dw在波浪恢復(fù)區(qū)為0 或者具有很小值的假定。這一推導(dǎo)思路的優(yōu)點是它可以克服Tajima 和Madsen 模型只能包含γ>γs的非飽和狀態(tài)和γ=γs的飽和狀態(tài)，而不能包含波浪恢復(fù)狀態(tài)的缺點。在后一狀態(tài)中，波浪不再破碎，對應(yīng)的波能耗散趨近于0：Dw→0。本文從有關(guān)實驗結(jié)果[7–8]（對應(yīng)的海岸坡度為1∶100）和Ruessink 等[9]在美國北卡羅來納州的Duck 海岸（含沙壩）的現(xiàn)場觀測發(fā)現(xiàn)，這一波浪狀態(tài)對應(yīng)的波高接近常數(shù)，基于這一觀察，新模型克服上述缺點的方式是：首先將波浪恢復(fù)區(qū)域Dw=0作為Dw的最小值引入到Dw的表達式確定中，然后放寬這一條件，來克服這一條件僅能在平底情況實現(xiàn)的問題，即令在波浪恢復(fù)區(qū)域Dw不是等于0，而是具有很小的值（Dw→0），這樣可以考慮水底坡度引起的波浪變淺作用。實現(xiàn)這一目標(biāo)需要重新定義穩(wěn)定波能Er或者 γr（仍然定義為此，在Dw的表達式（2）引入條件：在時，Dw→0。從而得到新的穩(wěn)定波能Er的 表達式為即在Er的表達式中將 γr替換為顯然，這一改變會使Dw的表達式中Ew?Er的值在時是趨于0 的，這也表明時波浪恢復(fù)開始發(fā)生，所以本模型選取作為波浪恢復(fù)的判斷條件。這里是一個需要由實驗確定的量，本文的結(jié)果為

以上Er表達式的改變意味著需要重新確定Kb的表達式，因為以上處理使得Er的值增大了，從而使Ew?Er的值減小了，這樣為了保持Dw的值（基本）不變，Kb的值就需要相應(yīng)的增大。這里通過將Kb表達式乘以因子1+20tanα來實現(xiàn)，該因子的適用性可以由波高的計算結(jié)果與實驗結(jié)果符合得到驗證。乘以因子后，再令（對應(yīng)上面確定Er的條件），則可得Kb的新的表達式為

以上推導(dǎo)的目的是想通過令波能耗散為0（Dw→0）來建立波浪恢復(fù)區(qū)（起始點在處），但當(dāng)考慮海岸實際為變水深（坡度為 tanα），則在波浪恢復(fù)區(qū)波能耗散不能為0，而應(yīng)當(dāng)為一小量，因為如上所述，實驗測得的波浪恢復(fù)區(qū)的波高近似為常數(shù)，要實現(xiàn)這一點就需要一定的波能耗散來抵消水深減小引起的波高增大（即波浪變淺作用），這可以從方程（1）的以下形式看出（考慮 θ=0波浪正向入射的情況）：

由于波浪恢復(fù)區(qū)波高近似為常數(shù)，有?Ew/?x=0，所以在該區(qū)域有Dw=(Ew/cg)?cg/?x，即Dw在波浪恢復(fù)區(qū)不為0，而保持為一有限值，這樣就可以實現(xiàn)克服斜坡上波高隨著水深變淺而出現(xiàn)的增大。物理上，該波能耗散的來源可以認(rèn)為是波浪破碎區(qū)產(chǎn)生的湍流擴散到波浪恢復(fù)區(qū)所形成。這樣，為了實現(xiàn)這一非零Dw，需要將上面引入的穩(wěn)定波能進行適當(dāng)減小，以使得在時滿足Dw>0。

為此，可在以上Er的 表達式中將乘以一個小于1 的因子 Γs，即

如上所述，該因子的作用是使Dw能夠抵消波浪變淺作用影響，所以這里將其稱為變淺作用因子。對海底為平面斜坡情況，該因子是存在解析表達式的，這可從將Dw表達式（2）代入到方程（6）后看出。下面分兩種情況給出結(jié)果：

（1）在波浪恢復(fù)區(qū)，由于在波浪恢復(fù)區(qū)波高近似為常數(shù)，有dEw/dx=0。另外，Er可表達為（應(yīng)用為處水深）。將這 些結(jié)果代入方程（6），并利用和?h/?x=tanα），則可得到Γs在波浪恢復(fù)區(qū)的解析表達式為

（2）在波浪破碎區(qū)，對波浪恢復(fù)區(qū)以外的波浪破碎區(qū)也同樣可以引入因子 Γs，即Er的表達式（7）仍然成立，因為在這些區(qū)域同樣存在波浪變淺作用。除這一含義外， Γs的引入還具有另一個物理意義，即其對應(yīng)于飽和波高水深比 γs的新值，即

鑒于 γs代表波高水深比隨水深變小的極限值，并且在以上推導(dǎo) 中已經(jīng)將 γr用代替，所以 γs的值相應(yīng)的要有所改變，即需要用以上式（8）新值取代Tajima 和Madsen[6]的飽和波高水深比 γs。 以上 γs的引入使得波浪破碎區(qū)內(nèi) Γs的 表達式可以確定，即將 γ=γs飽和破碎波處作為方程（6）的邊界條件來得到式（7）所含的常數(shù)的 Γs的表達式。利用這些條件，有再利用上面引入的結(jié)果 (1/cg)?cg/?x≈tanα/2h，將 式（2）代入方程（6）即可得到

合并以上兩個區(qū)域的結(jié)果可得 Γs表達式為

式中，在波浪破碎區(qū)，對一般水底坡度 tanα=1∶10～1∶100， Γs的值接近于1，范圍為0.86～0.92；在波浪恢復(fù)區(qū)， Γs依賴于水深（與水深成反比）。

應(yīng)用以上公式時需要確定波浪恢復(fù)區(qū)所在范圍?；謴?fù)區(qū)的起點可由上面推導(dǎo)的第一步驟所采用的條件時Dw →0來確定，即恢復(fù)區(qū)發(fā)生的條件為（γ 由計 算，H由方程（1）計算）。從這一點開始，波浪破碎停止，波高不再衰減，而是近似保持常數(shù)。但隨著水深的變淺，這一波高將會超過波浪破碎的臨界波高Hb=γbh，將發(fā)生再一次的破碎，這標(biāo)志著波浪恢復(fù)區(qū)的結(jié)束，因而波浪恢復(fù)區(qū)結(jié)束的判斷的條件是： γ=γb。由此可確定恢復(fù)區(qū)的寬度：

式中， γb2是波浪第二次破碎時的波浪破碎指標(biāo)，而波浪破碎指標(biāo) γb可采用下式計算[6]，即

式中，hb是 波浪開始破碎處的水深；kb是水深hb處 的波數(shù)；L0是深水波長。對第一次波浪破碎也可以采用該判據(jù)。由式（10）可見，水底坡度越緩（ tanα越?。ɡ嘶謴?fù)區(qū)越長，如對模型實驗情況，tanα=1∶100 和Hs=0 .02m，則 ?x≈2m。

以上所建立的波浪恢復(fù)區(qū)僅存在于規(guī)則波情況，對不規(guī)則波，在統(tǒng)計意義上說是不存在這樣的區(qū)域的，因為不規(guī)則波波列包含不規(guī)則出現(xiàn)的大波和小波，大波形成的波浪恢復(fù)區(qū)會被小波的波浪破碎區(qū)所覆蓋，因而對一固定空間點不可能總是保持為波浪恢復(fù)狀態(tài)，所以穩(wěn)定的波浪恢復(fù)區(qū)是不存在的。

為了進一步對上述模型建立的物理原理進行直觀的解釋，圖1 給出了平坡海岸對應(yīng)不同水底坡度（1∶40、1∶70、1∶100、1∶250、1∶500）的波高變化和對應(yīng)的波高水深比，圖中波高為通過以下公式將計算所得波高H轉(zhuǎn)化為包括非線性影響的波高式中d1和d2的表達式見文獻[6]。由波高變化結(jié)果可見，對坡度1∶40 和1∶70，波浪僅發(fā)生了一次破碎，而對坡度1∶100 發(fā)生了兩次破碎，對坡度1∶250 和1∶500 發(fā)生了3 次和4 次破碎。其中，波浪發(fā)生兩次和多次破碎可由波高計算結(jié)果出現(xiàn)波高衰減的結(jié)束并且轉(zhuǎn)化為近似常數(shù)的變化來看出。為了說明這些波浪破碎狀態(tài)的正確性，對坡度1∶40 和1∶100 還給出了對應(yīng)的實驗結(jié)果。實驗結(jié)果中的1∶100 坡度波浪發(fā)生了兩次破碎，而坡度1∶40 波浪僅有一次破碎，這與計算完全符合，說明計算結(jié)果是可靠的，也說明本文所建立的波能耗散模型的合理性。為了此目的，圖中還給出了對應(yīng)不同水底坡度的的水平線，由這些直線可以看出本文模型的波浪恢復(fù)區(qū)判斷條件的適用性。因為圖中僅在波浪發(fā)生兩次及多次破碎情況（坡度1∶100、1∶250、1∶500），計 算 的 γ曲 線（由γ=H/(h+)計算得到）才在波浪恢復(fù)區(qū)與這些直線重合，即符合了條件而在波浪僅發(fā)生一次破碎的情況（坡度1∶40、1∶70），計算的 γ曲線始終高于直線不與其重合，所以不符合條件這說明了用作為判斷波浪恢復(fù)發(fā)生的條件是適合的。圖中波浪恢復(fù)狀態(tài)的結(jié)束可由圖中波高重新開始衰減看出。在圖中，坡度1∶500 情況出現(xiàn)了多個恢復(fù)區(qū)，而且恢復(fù)區(qū)離海岸線越近，其寬度越小。這一特征可從式(10)看出：離海岸線越近，Hs越 小，因而 ?x越小。由圖1 也可以看出， γ值隨著離岸線距離的變小而趨近一常數(shù)，這一狀態(tài)即是上面所提到的飽和破碎波，其特征是波高與水深成正比，即 γ等于常數(shù)，對應(yīng)的γ即是式（8）中飽和波高水深比 γs。

圖1 不同海岸坡度情況波高水深比（a）和波高（b）在垂直海岸方向的變化Fig. 1 The cross-shore variations of wave height-depth ratios (a) and wave heights (b) calculated by the presentmodel for different typical slopes

3 模型驗證

以上建立的波浪耗散模型所包含的物理量的表達式都是與以往Dally 型波能耗散[2,6]所采用表達式不同的，它們包括穩(wěn)定波能Er表達式（7），波能耗散系數(shù)Kb表達式（5）和飽和波高水深比表達式（8）。為了驗證這些表達式的適用性和新波能耗散模型的有效性，下面給出由該模型得到的波高計算結(jié)果與實驗結(jié)果的對比。為了說明新模型可以適用于一般海岸的情況，對比采用的波況包括了不同的水底坡度、不同的入射波高和周期，也包括了沙壩海底地形情況。較緩坡度1∶100 和1∶40 實驗取自文獻[7–8]，較陡坡度1∶20 和1∶10 實驗取自文獻[10]。

圖2 實驗布置平面圖（1∶100 平坡海岸，1∶40 坡的與此相似）（a）和沙壩海岸橫剖面（b，c）Fig. 2 The plan view of experimental layout (1∶100 plane beach, similar for the slope 1∶40)(a) and the vertical profiles of barred beaches (b, c)

文獻[7–8]的實驗在大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點實驗室的波浪水池（長55.0m、寬34.0m、深0.8m）進行，布置見圖2，采用的波況見表1。實驗中波浪是以30°角斜向入射到海岸，所以實驗中的海岸模型與造波板有30°的夾角。波浪斜向入射意味著流場中除了波浪還存在著波浪破碎產(chǎn)生的沿岸流。海岸模型包括1∶100 和1∶40 兩個坡度，它們的海岸寬度都為18m，但坡前水深分別為18 cm 和45 cm。每個坡度包括平坡和沙壩兩種地形，沙壩橫剖面為高斯型的，其中心距岸線距離在1∶100 坡海岸為7m、在1∶40 坡海岸為5m，壩頂距靜水面的距離分別為3 cm 和4.5 cm，如圖2 所示。波浪類型包括規(guī)則波和不規(guī)則波。不規(guī)則波采用JONSWAP 譜。波面升高測量斷面有3 個（y=7.0m，12.0m，17.0m），具體布置見圖2，計算結(jié)果對比采用的是中間斷面的數(shù)據(jù)。Visser[10]的實驗與上述平坡海岸實驗類似，但海岸坡度為1∶20 和1∶10，入射角包括30.5°和15.4°。

表1 實驗波況[7?8]Table 1 Test condition[7?8]

圖3 是平坡海岸的波高結(jié)果對比。因為二次波浪破碎和波浪恢復(fù)現(xiàn)象僅在規(guī)則波情況發(fā)生，所以這里僅給出規(guī)則波情況的結(jié)果。對比針對從較陡水底坡度到較緩水底坡度（1∶10～1∶100），波浪包括不同波高和周期。其中，1∶100 坡度海岸發(fā)生了二次波浪破碎和波浪恢復(fù)現(xiàn)象，波浪恢復(fù)區(qū)在圖中由兩豎虛線標(biāo)出，第一條代表第一次波浪破碎的結(jié)束和波浪恢復(fù)區(qū)的開始，第二條代表波浪恢復(fù)區(qū)的結(jié)束和第二次破碎的開始。對于1 s 周期3 個不同的波高，入射波波高越大，波浪的恢復(fù)區(qū)長度越大；對于相近的入射波高，不同周期波浪恢復(fù)區(qū)的長度接近。對其他坡度的情況，僅有一次波浪破碎，沒有發(fā)生二次波浪破碎。對圖中的每個算例，計算結(jié)果和實驗結(jié)果的符合程度都是很好的，表明本研究建立的新的波能耗散模型對不同的水底坡度、不同的入射波高和周期都有很好的適用性。這也驗證了本模型引入的穩(wěn)定波能Er的 表達式（7）、波能耗散系數(shù)Kb的表達式（5）和飽和波高水深比表達式（8）的適用性。尤其值得注意的是，本文模型對波浪恢復(fù)狀態(tài)的計算結(jié)果具有很好的適用性，這包括：（1）波浪恢復(fù)開始點判斷的準(zhǔn)確性。這一判斷是由條件 γ=γ?r得到的，這表明了該條件的有效性；（2）波浪恢復(fù)區(qū)內(nèi)波高結(jié)果的精度。所計算的波高近似為常數(shù)，這與實驗測量結(jié)果的變化趨勢是一致的；（3）波浪恢復(fù)區(qū)寬度的精度?？梢则炞C，其也符合式（10）的結(jié)果。圖中還給出了由Tajima 和Madsen[6]模型計算得到的結(jié)果。該模型事實上不能考慮波浪恢復(fù)，在波浪恢復(fù)區(qū)其給出的波高仍然是衰減的，為此，計算中采用了人為干預(yù)，即對存在波浪恢復(fù)區(qū)的1∶100 坡度情況在波浪恢復(fù)區(qū)人為令Dw=0。由此得到的波浪恢復(fù)區(qū)的波高并不是保持為常數(shù)，而是有增大趨勢，這與實驗不符合。這是因為事實上在波浪恢復(fù)區(qū)Dw并不是0 而是需要保持一很小值以便抵消波浪變淺作用導(dǎo)致的波高增大。對不發(fā)生波浪二次破碎的情況，不需要以上處理，該模型與實驗結(jié)果符合是很好的，與本模型與實驗符合情況類似。

圖4 和圖5 是沙壩海岸波高結(jié)果的對比。海岸平均坡度為對應(yīng)文獻[7–8]的1∶40 和1∶100，沙壩剖面見圖2b 和圖2c。計算中，水底坡度 tanα需做特別考慮：對Kb將其取為海岸的平均坡度，即1∶40 或者1∶100；對Γs將其取為當(dāng)?shù)氐匦纹露?，即t anα=?h/?x。這樣，在沙壩背浪側(cè) tanα將為負(fù)值，其物理意義與取正值情況一樣，仍然反映的是淺化作用的影響，只不過這時對應(yīng)的是波高減小而不是正值情況的波高增大。波浪恢復(fù)起始點仍然由條件 γ=γr?來判斷。

與平坡情況不同，沙壩海岸的波浪恢復(fù)和二次破碎是容易判斷的，因為在沙壩后方的凹槽區(qū)域由于水深快速增大，波浪恢復(fù)一定發(fā)生，同時，伴隨恢復(fù)區(qū)結(jié)束將出現(xiàn)二次破碎。這一恢復(fù)區(qū)的另一特征是其容易在數(shù)值模擬中考慮，因為現(xiàn)有的波能耗散模型是通過將規(guī)則波的波能耗散乘以波浪破碎的概率函數(shù)Qb而形成的，例如Roelvink[3]給出的模型Dw=2αfpEwQb（fp是譜峰頻率，α為常數(shù)）和Church 和Thornton[11]的模型

式中，γ=0.43；B≈0.9。上式中除了因子外的其他部分可看作概率函數(shù)Qb。由于在沙壩凹槽區(qū)水深較大，概率函數(shù)Qb快速減小而具有很小的值，這導(dǎo)致在這一區(qū)域波能耗散Dw也具有很小的值，所以可以實現(xiàn)波浪恢復(fù)現(xiàn)象。為了說明這一點，圖4 給出了坡度1∶40 規(guī)則波和不規(guī)則波情況的本模型和Church和Thornton[11]模型計算的波高和波能耗散?？梢?，在沙壩壩峰之后一直到發(fā)生二次破碎，波能耗散Dw一直可以保持很小的值，對應(yīng)的波浪恢復(fù)區(qū)波高近似保持常數(shù)狀態(tài)，而且Church 和Thornton[11]模型與本模型的Dw值很接近，這說明像Church 和Thornton[11]這樣的波能耗散模型對沙壩地形是可以考慮波浪恢復(fù)狀態(tài)的，盡管其沒有在模型建立中對此給出特殊考慮。但與這類模型相比，本模型還是具有更為精確的優(yōu)點，這體現(xiàn)在本模型可以考慮沙壩凹槽一側(cè)斜坡到第二次破碎發(fā)生處地形變化引起的波浪變淺作用，這是由式（9）中波浪恢復(fù)區(qū)的因子 Γs來實現(xiàn)的，其在沙壩凹槽一側(cè)斜坡上導(dǎo)致Dw為 負(fù)值（因為 tanα=?h/?x<0），而在這之后的平坡上為正值（因為 tanα=?h/?x>0）。前者雖然波能耗散為負(fù)的，但方程（6）左端的波浪變淺作用項 (1/cg)?cg/?x=htanα/2也是負(fù)值，所以二者是相互抵消的，使得方程（6）仍然能給出?Ew/?x=0，即在波浪恢復(fù)區(qū)波高為常數(shù)。在凹槽之后的平坡區(qū)域方程（6）也具有?Ew/?x=0，這使得圖中本模型的波高計算結(jié)果要比Church 和Thornton[11]模型的更接近實驗結(jié)果，后者由于人為設(shè)定Dw=0，從而無法抵消波浪恢復(fù)區(qū)的波浪變淺作用項，因而給出的波高并不是常數(shù)。對坡度1∶100 的地形也有這樣的結(jié)果，見圖5。

圖3 平坡海岸波高的計算結(jié)果和實驗結(jié)果的對比(規(guī)則波情況）Fig. 3 Comparison of computed andmeasured cross-shore wave heights for regular waves

圖4 沙壩海岸規(guī)則波（a，c）和不規(guī)則波（b，d）的波高和波能耗散空間變化形態(tài)（坡度1∶40）Fig. 4 Cross-shore variations of wave height and energy dissipation on barred beach with slope 1∶40 for regular wave (a, c) and irregular wave (b, d)

圖5 沙壩海岸規(guī)則波（a）和不規(guī)則波（b）的波高空間變化（坡度1∶100）Fig. 5 Cross-shore variations of wave height on barred beach with slope 1∶100 for regular wave (a) and irregular wave (b)

由以上分析可見，Church 和Thornton[11]模型（以及類似模型）之所以能識別波浪恢復(fù)區(qū)是因為概率函數(shù)Qb隨水深變大而值變小的特征，而沙壩凹槽區(qū)恰好能實現(xiàn)這一特征，所以沙壩海岸的沙壩凹槽區(qū)的波浪恢復(fù)能夠被這類模式識別的。但平坡海岸波浪恢復(fù)區(qū)水深逐漸變小（如圖3 中情況），這類模型不能給出平坡波浪恢復(fù)區(qū)的波浪演化，只能給出像破碎區(qū)一樣的衰減結(jié)果。

4 結(jié)論

本文提出了適合于波浪多次破碎的新的波能耗散表達式，同時給出了波浪多次破碎情況將出現(xiàn)的波浪恢復(fù)過程的判斷依據(jù)，所得結(jié)果可應(yīng)用于波浪多次破碎情況中波浪恢復(fù)過程的自動判斷和相應(yīng)的波高計算。所得主要結(jié)論如下：

（1）所建立的波能耗散表達式具有和Tajima 和Madsen[6]相同的形式，但重新確定了波能耗散系數(shù)Kb，穩(wěn)定波能Er和飽和波高水深比 γs的表達式。以上模型參數(shù)的確定過程與Tajima 和Madsen[6]的不同：先確定Kb，然后確定Er。

（2）與實驗結(jié)果的比較表明，本模型適用于不同坡度（從1∶10 到1∶100）的平坡和沙壩海岸，特別是可以自動計算二次和多次波浪破碎的發(fā)生及其對應(yīng)的波高變化。

（3）實驗和數(shù)值模擬都表明，當(dāng)水底坡度小于等于1∶100 時，緩坡上波浪恢復(fù)判斷條件可以得到滿足，波浪可發(fā)生多次破碎。