陳良康，過榴曉，楊永清

江南大學 理學院，江蘇 無錫214122

1 引言

進入21 世紀以來，隨著人工智能技術的快速發(fā)展和在社會實際中的廣泛應用，對多智能體系統(tǒng)的研究吸引了國內(nèi)外眾多學者的關注。一致性問題作為多智能體系統(tǒng)控制的最基本問題之一，它指的是所有的智能體通過信息交流使得各自的狀態(tài)趨于一致或者相同。文獻[1]從統(tǒng)計力學的角度分析了粒子群的一致性問題，為后期一致性問題的研究工作提供了基礎。文獻[2]提出了一階多智能系統(tǒng)一致性的基本理論框架。而關于二階多智能系統(tǒng)一致性的研究熱潮始于2007 年，至今已經(jīng)取得了豐富的成果[3-6]。

上述研究的目標都是使系統(tǒng)內(nèi)所有智能體的位置、速度等狀態(tài)分別收斂到同一個值，即網(wǎng)絡系統(tǒng)中的一致性平衡點。但隨著人們對應用系統(tǒng)的要求不斷增大，使得系統(tǒng)規(guī)模的增加以及復雜度的提高，導致單一平衡點無法滿足系統(tǒng)的控制需求，因而越來越多的人開始關注分群（分組）一致性。網(wǎng)絡中的所有智能體被分為若干群，相同群中的所有智能體都收斂至一個狀態(tài)，不同群中的收斂狀態(tài)不同。文獻[7-8]等研究了在無向強聯(lián)通網(wǎng)絡拓撲圖下一階多智能體系統(tǒng)分群收斂的若干判據(jù)，并將該結(jié)論在切換拓撲以及時滯情形下進行了推廣；文獻[9]通過有限時間分析研究了分群一致。文獻[10-12]進一步研究了二階系統(tǒng)實現(xiàn)分群一致的充分條件。文獻[13]利用一種新的圖解方法，建立了有向拓撲下具有時變參考信號的二階系統(tǒng)分群一致準則。近年來，針對群一致的研究，人們又提出了一種特殊的分群一致性——二分一致，例如文獻[14]研究了系統(tǒng)當符號圖在結(jié)構(gòu)上達到平衡時的二分一致性，文獻[15-16]分別討論了在有領導者和無領導者的情況下線性多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)合作與對抗的網(wǎng)絡節(jié)點二分一致的條件。然而在以上對分群一致的研究中，不同群內(nèi)收斂狀態(tài)的關系是固定不變的，只能呈現(xiàn)相同或者相反的關系，這給控制系統(tǒng)一定程度的限制性。另外，在現(xiàn)實中，某些執(zhí)行器可能發(fā)生故障，導致系統(tǒng)無法實現(xiàn)預期目標。但是絕大多數(shù)文獻針對解決執(zhí)行器故障問題僅局限于未分群情況，如文獻[17]基于事件觸發(fā)機制下設計了一個控制算法，確保在執(zhí)行器發(fā)生故障時系統(tǒng)的有界性。

針對以上問題，受文獻[14-15，17]的啟發(fā)，本文研究領導-跟隨多智能體系統(tǒng)分群投影一致性，同時考慮執(zhí)行器發(fā)生故障時系統(tǒng)的有界性問題。本文工作有如下創(chuàng)新：首先和已有大部分文獻相比本文研究的分群投影一致是一種更為普遍的一致性，包含完全一致，分組與反分組一致作為其特殊情況，并且不需要符號圖在結(jié)構(gòu)上達到平衡；其次針對分群結(jié)構(gòu)下執(zhí)行器故障問題，引入了一個智能領導者，在新的控制算法能夠保證跟蹤誤差有界，與傳統(tǒng)模型相比大大提高了系統(tǒng)的容錯性；最后通過改變控制參數(shù)可以任意改變不同群內(nèi)收斂狀態(tài)的關系，給控制系統(tǒng)以更大的自由度。

2 預備知識及問題描述

2.1 代數(shù)圖論

2.2 模型描述

T 、Tˉ表示時間間隔的聯(lián)合，當t ∈T 時，智能領導者采用控制輸入式（4a），這意味著智能領導者只受外部輸入的影響，當t ∈Tˉ時，智能領導者采用控制輸入式（4b），即智能領導者受來自其鄰居跟隨者的反饋影響。顯然

假設1網(wǎng)絡拓撲圖G 是聯(lián)通的，跟隨者之間的連接是無向的，領導者和跟隨者之間的連接是有向的。

假設2領導者至少是一個跟隨者的鄰居，此即意味著跟隨者能直接或間接的受領導者影響。

引理1[18]由Lyapunov 穩(wěn)定性定理，如果對于每一個子系統(tǒng)，能構(gòu)造一個公共的Lyapunov函數(shù)，那么切換系統(tǒng)可以任意切換，并且切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性能夠?qū)崿F(xiàn)。

3 主要結(jié)果

3.1 系統(tǒng)未發(fā)生執(zhí)行器故障

3.2 系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障

4 數(shù)值仿真

考慮由8 個節(jié)點組成的多智能體系統(tǒng)，其中包括1個領導者和7 個跟隨者。編號為1～4 的智能體分為1群，編號為5～7 的智能體分為2 群。系統(tǒng)的固定拓撲圖G如圖1所示。

圖1 固定拓撲圖G

經(jīng)計算可得：λmin(L+H)=0.4，若α取2，β取1，則滿足定理1 中條件，當投影參數(shù)c取1 和-1 時，系統(tǒng)軌跡圖分別如圖2和3所示，此時多智能體系統(tǒng)（1）在控制協(xié)議（2）～（3）作用下能夠?qū)崿F(xiàn)在分群投影一致性。通過選取不同的投影參數(shù)進行比較發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的收斂性不受投影參數(shù)的影響，如圖2和圖3所示，系統(tǒng)的位置狀態(tài)和速度狀態(tài)均分別在20 s和15 s以后達到一致。

假設編號為4 和5 的智能體在第25 s 時發(fā)生執(zhí)行器故障，投影參數(shù)c取-1。當系統(tǒng)無智能領導者控制時，即系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障前后，領導的控制算法并未發(fā)生改變，由圖4知系統(tǒng)的跟蹤誤差

會逐漸變大，此時無法實現(xiàn)分群投影一致性。由定理2 知：當系統(tǒng)有智能領導者控制時，隨著誤差變大，滿足事件觸發(fā)函數(shù)（7），此時智能領導者算法會由式（4a）切換到式（4b），在控制協(xié)議（2）和（3）作用下系統(tǒng)的誤差演化圖如圖5所示。由圖5知系統(tǒng)跟蹤誤差在系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行錯誤時有界，且大約在30 s 時，系統(tǒng)能夠遞歸自修復達到分群投影一致。

圖2 投影參數(shù)c=1 時系統(tǒng)軌跡圖

5 結(jié)束語

圖5 誤差系統(tǒng)演化圖（有智能領導者控制）

針對多智能體系統(tǒng)在分群結(jié)構(gòu)下投影一致性問題，本文引入了一個智能領導者，設計了一個新穎的分布式控制協(xié)議，利用矩陣理論和Lyapunov 穩(wěn)定性理論給出了系統(tǒng)實現(xiàn)分群投影一致的充分條件。當系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生執(zhí)行器故障時，基于拉普拉斯變換性質(zhì)，分析了系統(tǒng)跟蹤誤差的有界性。數(shù)值仿真驗證了結(jié)果的正確性。然而自然界中的個體和工程系統(tǒng)無論在結(jié)構(gòu)還是功能上都存在差異，智能體的動力學行為也可能不同，因此在今后的工作中，將研究由一階和二階智能體組成的混合階（異構(gòu)）多智能體系統(tǒng)在分群結(jié)構(gòu)下投影一致性問題。