畢 偉

(延安大學(xué)學(xué)術(shù)期刊中心，陜西延安716000)

在算子半群理論中，預(yù)解集是各類算子半群研究的重要內(nèi)容。文獻[1-4]研究了n階α次積分C半群和雙參數(shù)n階α次積分C半群的定義并給出其相關(guān)性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，本文給出多參數(shù)n階α次積分C半群的預(yù)解集的定義，并研究其一些性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

在本文中，N表示自然數(shù)集，X為無限維的復(fù)Banach空間，B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數(shù)，C∈B(X)是單射，D(A)為線性算子A的定義域，在全文中規(guī)定所有m,n∈N，α≥0。

JnT(t)表示T∈C([0,+∞),X)的n次積分，即

T=0當(dāng)且僅當(dāng)存在n>0使得

JnT(t)=0,t≥0。

定義1[5]設(shè)n∈N，α≥0，{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0?B(X)強連續(xù)，若存在線性算子A=(A1,A2,…,Am)使得(1)～(3)式成立：

(1)?x∈X，t1,t2,…,tm≥0,

JnT(t1,t2,…,tm)x∈D(A)，

AJnT(t1,t2,…,tm)x；

(2)?x∈D(A)，t1,t2,…,tm≥0，

JnT(t1,t2,…,tm)Ax；

(3)CT(t1,t2,…,tm)=

T(t1,0，…,0)T(0,t2，…,0)…T(0，0，…，tm)。

{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0是多參數(shù)n階α次積分C半群，A=(A1,A2,…，Am)是多參數(shù)n階α次積分C半群{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0的次生成元，也稱A次生成多參數(shù)n階α次積分C半群{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0。

2 主要結(jié)果

定義2 若Rc(λ,(A1,A2，…，Am))=λn-1(λn-(A1,A2,…,Am))-1C有定義在Banach空間X上的有界逆算子，則稱λ為多參數(shù)n階α次積分C半群{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0的次生成元A=(A1,A2,…,Am)的正則點，Rc(λ,(A1,A2,…,Am))為A=(A1,A2,…,Am)的C預(yù)解式，全體正則點稱為A=(A1,A2,…,Am)的C預(yù)解集，記為

定理1 設(shè)n∈N,α≥0,{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0為X上的多參數(shù)n階α次積分C半群，閉線性算子A=(A1,A2,…,Am)為其次生成元，且D(A)?X,如果有

{λn|Reλ>max{ω,0}}?

?(a1,a2，…，am)∈Rm，ω∈R，那么下式成立：

Rc(λ,(A1，A2，…，Am))x=

?x∈X，t≥0。

證明A=(A1,A2，…，Am)是X上的多參數(shù)n階α次積分C半群的次生成元，且Reλ>max{ω,0}，x∈X，則有

并且

那么由?(a1,a2,…am)∈Rm，令

如果x∈D(A)，可得

所以有

λn-1(λn-(A1,A2,…，Am))-1Cx,?x∈X，

即Rc(λ，(A1,A2,…,Am))x=

定理2 令A(yù)=(A1,A2,…,Am):D(A)→X是多參數(shù)n階α次積分C半群的次生成元，

Rc(λ,(A1,A2,…,Am))為A=(A1,A2,…,Am)的C預(yù)解式，則有：

Rc(λ,(A1,A2,…，Am))λ1-nC-

Rc(μ,(A1,A2,…,Am))μ1-nC=

Rc(λ,(A1,A2,…，Am))Rc(μ,(A1,A2,…,Am))·

(μn-λn)λ1-nμ1-n。

證明由Rc(λ,(A1,A2,…,Am))C=

(μn-(A1,A2,…,Am))-1(μn-

(A1,A2,…,Am))Rc(λ,(A1,A2,…,Am))C=

(μn-(A1,A2,…,Am))-1C(μn-λn+λn-

(A1,A2,…,Am))Rc(λ,(A1,A2,…,Am))=

(μn-(A1,A2,…,Am))-1C(λn-

(A1,A2,…,Am))Rc(λ,(A1,A2,…,Am))+

(μn-(A1,A2,…,Am))-1C(μn-

λn)Rc(λ,(A1,A2,…,Am))=

(μn-(A1,A2,…,Am))-1CCλn-1+

μ1-nRc(μ,(A1,A2,…,Am))Rc(λ,(A1,A2,…,Am))(μn-λn)=

μ1-nRc(μ,(A1,A2,…,Am))Cλn-1+

μ1-nRc(μ,(A1,A2,…,Am))Rc(λ,(A1,A2,…,Am))(μn-λn)，

可得Rc(λ,(A1,A2,…,Am))C=

Rc(μ,(A1,A2,…,Am))Cλn-1μ1-n+

Rc(μ,(A1,A2,…,Am))Rc(λ,(A1,A2,…,Am))·

(μn-λn)μ1-n。

上式兩邊同乘以λ1-n，再移項可得

Rc(λ,(A1,A2,…,Am))λ1-nC-

Rc(μ,(A1,A2,…,Am))μ1-nC=

Rc(λ(A1,A2,…,Am))Rc(μ,(A1,A2,…,Am))·

(μn-λn)λ1-nμ1-n。

注：當(dāng)文中C=I(I是恒等算子)時，多參數(shù)n階α次積分C半群稱為多參數(shù)n階α次積分半群，在此條件下就是文獻[6]所研究的內(nèi)容。