趙艷，呂星星

（1.西安文理學(xué)院信息工程學(xué)院，陜西西安710068； 2.西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安710127）

0 引 言

同余理論不僅極大豐富了初等數(shù)論的內(nèi)容，而且推動了數(shù)論的發(fā)展。正因如此，不少學(xué)者對一些特殊整數(shù)的同余性質(zhì)進(jìn)行了研究，獲得了一系列漂亮的結(jié)果！例如，1640 年，F(xiàn)ermat 得到了著名的Fermat 小定理[1]:當(dāng)p為素?cái)?shù)時，對于任意的整數(shù)a，有同余式：

1760 年，Euler 進(jìn)一步推廣 了Fermat 的結(jié)果，得到了著名的Euler 定理：設(shè)m≥2, (b,m) =1，則有同余式：

其中，φ(m)為Euler 函數(shù)，表示不超過m且與m互素的正整數(shù)的個數(shù)。

1770 年，Wilson 利用多項(xiàng)式的同余性質(zhì)給出了一個包含階乘的同余式，也就是著名的Wilson 定理：若p為素?cái)?shù)，則有同余式：

以上同余式在初等數(shù)論教材中都可以找見，也可參閱文獻(xiàn)[1]。

此外，1997 年，數(shù)學(xué)家VANHAMME[2]利用計(jì)算機(jī)得到與超幾何級數(shù)恒等式p-adic 相關(guān)的13 個同余式，涉及p-adic 伽馬函數(shù)，并給出了其中3 個同余式的證明，其中最典型的為

其中，p為奇素?cái)?shù)。

值得一提的是，南京大學(xué)孫智偉教授及其團(tuán)隊(duì)基于其所做的大量研究工作，提出了不少涉及同余式以及恒等式的猜想。例如，PAN 等[3]通過研究得到同余式：

ZHAO等[4]對Catalan數(shù)進(jìn)行了研究，并證明了同余式：

DUAN 等[5]給出了Bernoulli 多項(xiàng)式的同余式：設(shè)m是非負(fù)整數(shù)，對任意整數(shù)h,均有

HOU 等[6]在研究Euler 函數(shù)和DirichletL-函數(shù)時得到了同余式：

相關(guān)研究很多，不再一一列舉，有興趣的讀者可以參閱文獻(xiàn)[7-13]。

2019 年9 月，浙江大學(xué)蔡天新教授在西北大學(xué)訪問期間所做的報告中提到一個新的同余式：

同時，他提出一個有意義的猜想：設(shè)p是一個奇素?cái)?shù)，除p=3,5,7 及13 外，至少存在1 組整數(shù)1＜i,j＜，使 得 他 們 滿 足 同 余 式i?j≡1 modp,即μ(p)≥1。

筆者認(rèn)為這一猜想屬于整數(shù)及其逆在素?cái)?shù)p下的分布問題。確切地說，屬于短區(qū)間中整數(shù)及其逆在素?cái)?shù)p下的分布問題?；诖藛栴}，本文利用初等方法、三角和性質(zhì)以及Kloosterman 和估計(jì)開展了研究，并用2 種不同的方法證明了上述猜想是正確的，即證明了以下2 個定理。

定理 1設(shè)p是一個奇素?cái)?shù)，那么當(dāng)p≠3,5,7,13 時，至少存在1＜j＜1＜使得j?-j≡1 modp。

定理2設(shè)p是一個奇素?cái)?shù)，M是正整數(shù)且滿足1＜M＜p，則有漸近式：

顯然，定理1 和定理2 各有千秋，分別從不同角度刻畫了蔡天新的猜想。定理1 證明了蔡天新的猜想，但只給出猜想中正整數(shù)的存在性，并沒有說明正整數(shù)的數(shù)量。當(dāng)p充分大時，定理2 給出了更短區(qū)間上μ(p)的漸近式，也就是說，此時猜想中的正整數(shù)不僅存在，而且有很多！因?yàn)閷θ我饨o定的正數(shù)ε，2 是一個非平凡的漸近式。受經(jīng)典Kloosterman 和估計(jì)的限制，在定理2 中須規(guī)定M＞，此外，M的下界可否進(jìn)一步改進(jìn)也是一個值得探討的問題！

1 定理的證明

本節(jié)證明中用到的初等數(shù)論相關(guān)知識可參閱文獻(xiàn)[1]，此處不再贅述。首先利用初等方法證明定理1。

對于任意奇素?cái)?shù)p，顯然有p=4n+3 或p=4n+1。下面分別討論此2 種情況：

（II）當(dāng)p=4n+1 時，可將n用5 的完全剩余類分為以下5 種情況：

（i）當(dāng)p=20n+1 時，設(shè)n=l?2h，h≥0,l為 奇數(shù)，此時有

注意到5l(2k-1) +1 為偶數(shù)，所以有

（ii）當(dāng)p=20n+5 時，p為素?cái)?shù)，此時只有n=0,p=5，經(jīng)檢驗(yàn)不存在1≤j,-j≤2 使得

于是假設(shè)n≥1，注意到

綜合以上5 種情況，定理1 得證。

下面利用三角和性質(zhì)以及Kloosterman 和估計(jì)證明定理2。

對任意整數(shù)n，有三角恒等式:

及Kloosterman 和 估計(jì)[14-15]：

其 中，e(y) =e2πiy,(m,n,p)表 示 整數(shù)m,n,p的 最 大公約數(shù)。

設(shè)N(M,p)為區(qū)間[1,M]內(nèi)滿足1＜M及≡1 modp的j的個數(shù)，則由式（1），可得

定理2 得證。