薛有才，劉煒，彭佳

（1.浙江科技學(xué)院理學(xué)院，浙江杭州310023； 2.浙江特殊教育職業(yè)學(xué)院，浙江杭州310023）

0 引 言

浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)派是民國(guó)時(shí)期形成的以陳建功、蘇步青等為代表的我國(guó)著名數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)團(tuán)體之一。該團(tuán)體在函數(shù)、微分幾何、代數(shù)、數(shù)學(xué)史等領(lǐng)域做出了巨大貢獻(xiàn)。本文主要以其在傅里葉級(jí)數(shù)方面的工作來(lái)討論浙江大學(xué)函數(shù)論學(xué)派在1928—1950年的貢獻(xiàn)，以使讀者了解他們所做的工作。

傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier series）是一種特殊的三角級(jí)數(shù)，由法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉（J.B.J. Fourier）提出并發(fā)展為著名的傅里葉級(jí)數(shù)理論。我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū)陳建功、王福春、周鴻經(jīng)、盧慶駿、徐瑞云、程民德、項(xiàng)黼宸等為傅里葉級(jí)數(shù)在我國(guó)的傳播與研究做出了巨大貢獻(xiàn)。其中，貢獻(xiàn)最大的是陳建功，他在1928年發(fā)表著名論文：On the class of functions with absolutely convergent Fourier series[1]，其中關(guān)于三角級(jí)數(shù)在區(qū)間上絕對(duì)收斂的充分必要條件被譽(yù)為“陳-哈代-李特爾伍德定理”，這是我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)取得的第一個(gè)具有世界水平的成果，標(biāo)志著我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)開始向世界水平?jīng)_擊。數(shù)學(xué)家李仲珩于1947 年在總結(jié)我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展時(shí)指出：“走分析這條路，是陳建功和熊慶來(lái)兩位領(lǐng)導(dǎo)起來(lái)的。其中成就最大的要算傅里葉級(jí)數(shù)的研究者，尤以王福春為難能可貴。”[2]

1 傅里葉級(jí)數(shù)在我國(guó)的研究概況

1.1 研究論文

據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，1928—1950 年，我國(guó)學(xué)者在國(guó)外學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表的傅里葉級(jí)數(shù)相關(guān)學(xué)術(shù)論文共93 篇，在國(guó)內(nèi)學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表的相關(guān)學(xué)術(shù)論文有34篇[3-5]。其中，在國(guó)外學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文的作者有10 人，分別為陳建功21 篇，王福春34 篇，程民德15篇，盧慶駿9 篇，周鴻經(jīng)8 篇，徐瑞云2 篇，項(xiàng)黼宸、馮乃謙、朱良璧、周懷衡各1 篇；在國(guó)內(nèi)學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文的作者有12 人，分別為陳建功7 篇，程民德6篇，項(xiàng)黼宸5 篇，周鴻經(jīng)3 篇，王壽仁3 篇，王福春2篇，盧慶駿2 篇，魏德馨2 篇，吳有訓(xùn)、王季同、曾炯、范會(huì)國(guó)各1 篇。涉及傅里葉級(jí)數(shù)研究的作者共16人，國(guó)內(nèi)外發(fā)表論文127 篇。其中，屬于浙江大學(xué)函數(shù)論學(xué)派的研究者有10 人，共發(fā)表論文109 篇。

此間，我國(guó)學(xué)者在國(guó)外發(fā)表數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)論文共910 篇，參與工作的作者147 人。如此，傅里葉級(jí)數(shù)研究論文占比為11.41%，學(xué)者占比為8.61%；而浙江大學(xué)函數(shù)論學(xué)派在國(guó)外發(fā)表傅里葉級(jí)數(shù)相關(guān)學(xué)術(shù)論文共84 篇，占國(guó)外傅里葉級(jí)數(shù)相關(guān)論文發(fā)文總數(shù)的90.32%，占數(shù)學(xué)學(xué)科國(guó)外發(fā)文總數(shù)的9.23%；國(guó)內(nèi)發(fā)表傅里葉級(jí)數(shù)相關(guān)論文25 篇，占國(guó)內(nèi)傅里葉級(jí)數(shù)相關(guān)論文發(fā)文總數(shù)的73.53%。

1.2 研究專著

1929年，陳建功以傅里葉級(jí)數(shù)系列研究成果成為在日本取得理學(xué)博士學(xué)位的第一位中國(guó)學(xué)者。他懷著振興我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理想，婉言謝絕導(dǎo)師的留校建議，決定回國(guó)。同時(shí)他遵循導(dǎo)師另一項(xiàng)建議——寫一部關(guān)于三角級(jí)數(shù)的專著。當(dāng)時(shí)，他對(duì)國(guó)際上有關(guān)三角級(jí)數(shù)研究概況已爛熟于心，綜合自己的研究成果和當(dāng)時(shí)國(guó)際上傅里葉級(jí)數(shù)的最新研究進(jìn)展，用日文撰寫了專著《三角級(jí)數(shù)論》，交由日本著名的巖波書店出版。該書分2編，第1 編為積分概論，主要介紹三角級(jí)數(shù)的預(yù)備知識(shí)，包括點(diǎn)集與積分；第2 編為傅里葉級(jí)數(shù)，共7 章，其中，第1 章介紹一般三角級(jí)數(shù)理論，其余6 章介紹傅里葉級(jí)數(shù)理論。該著作的出版時(shí)間比J.D.塔·瑪拉因的《傅里葉級(jí)數(shù)》早3 年，比波蘭著名數(shù)學(xué)家A.Zygmund 的名著《三角級(jí)數(shù)》及S.Kaczmarz 和H.Steinhaus 合著的《正交級(jí)數(shù)論》第1 版早5 年，僅比L.Tonelli 的《三角級(jí)數(shù)》晚2 年?？梢哉f(shuō)，陳建功的《三角級(jí)數(shù)論》是世界上最早的也是最著名的有關(guān)傅里葉級(jí)數(shù)的專著之一，數(shù)十年后該書仍被列為日本最重要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)參考書之一。l984 年出版的《日本數(shù)學(xué)100 年史》將《三角級(jí)數(shù)論》作為日本昭和前期實(shí)變函數(shù)論領(lǐng)域的一項(xiàng)重要成果。

1.3 學(xué)術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)

1940 年5 月，民國(guó)教育部頒布了《著作發(fā)明及美術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則》。獎(jiǎng)勵(lì)范圍分三類：一是著作類，二是研究發(fā)明類，三是藝術(shù)類。獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)段為在最近三年內(nèi)完成的成果[6]。獎(jiǎng)勵(lì)等級(jí)設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)[7]。

經(jīng)民國(guó)教育部學(xué)術(shù)審議委員會(huì)評(píng)定，從1941—1947 年，民國(guó)政府共頒發(fā)六屆學(xué)術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)。數(shù)學(xué)學(xué)科共有14 位（15 人次）獲得15 項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)[8]。其中，一等獎(jiǎng)4 項(xiàng)，二等獎(jiǎng)3 項(xiàng)，三等獎(jiǎng)8 項(xiàng)（包括胡世華獲得的哲學(xué)類三等獎(jiǎng)1 項(xiàng)）。除此之外，機(jī)電專家吳大榕、建筑專家柴方蔭和王仁權(quán)分別獲得3 項(xiàng)應(yīng)用數(shù)學(xué)成果獲；陸德慧因其在珠算方面的研究獲得1 項(xiàng)鼓勵(lì)性質(zhì)的“獎(jiǎng)助”。獲獎(jiǎng)?lì)I(lǐng)域包括傅里葉級(jí)數(shù)（5 項(xiàng)）、微分幾何（4 項(xiàng)）、代數(shù)與數(shù)論（4 項(xiàng)）、應(yīng)用數(shù)學(xué)（3 項(xiàng)）、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（2 項(xiàng)）、珠算（1 項(xiàng)，獲獎(jiǎng)助）[7]。其中，有關(guān)傅里葉級(jí)數(shù)的獲獎(jiǎng)項(xiàng)目包括

第二屆（1942 年度）：周鴻經(jīng)以《傅氏級(jí)數(shù)》（論文）獲二等獎(jiǎng)。

第三屆（1943 年度）：陳建功以《傅氏級(jí)數(shù)之蔡查羅絕對(duì)可和性論》（論文）獲一等獎(jiǎng)，王福春以《傅氏級(jí)數(shù)之平均收斂》（論文）、盧慶駿以《傅氏級(jí)數(shù)之求和論》（論文）獲三等獎(jiǎng)。

第六屆（1946 年度）：王福春以《三角級(jí)數(shù)之收斂理論》（論文）獲一等獎(jiǎng)。

在18 項(xiàng)數(shù)學(xué)類學(xué)術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)中，傅里葉級(jí)數(shù)領(lǐng)域獲得5 項(xiàng)，占比27.8%。其中，浙江大學(xué)函數(shù)論學(xué)派獲獎(jiǎng)4 項(xiàng)，占所有獎(jiǎng)項(xiàng)的22.2%；在數(shù)學(xué)學(xué)科的4 項(xiàng)一等獎(jiǎng)中，3 項(xiàng)由浙江大學(xué)獲得（另一項(xiàng)由蘇步青于1942 年獲得），其中傅里葉級(jí)數(shù)領(lǐng)域獲得2 項(xiàng)，占比50%。以上數(shù)據(jù)以及1.1 節(jié)中的2 組數(shù)據(jù)充分說(shuō)明了浙江大學(xué)函數(shù)論學(xué)派在我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中的帶頭作用。

1.4 傅里葉級(jí)數(shù)領(lǐng)域獲得的博士學(xué)位

博士學(xué)位論文是學(xué)者學(xué)術(shù)研究水平的體現(xiàn)。民國(guó)時(shí)期，開展傅里葉級(jí)數(shù)相關(guān)研究并獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位的學(xué)者共有4 位，全部為浙江大學(xué)函數(shù)論學(xué)派成員。

（1）陳建功，1929 年獲日本東北帝國(guó)大學(xué)博士學(xué)位，導(dǎo)師為藤原松三郎，博士論文題目為《三角級(jí)數(shù)論》，取得系列研究成果。

（2）徐瑞云，1940 年獲德國(guó)慕尼黑明興大學(xué)博士學(xué)位，導(dǎo)師為世界著名數(shù)學(xué)家C.Carthéodory，博士論文題目為über die Fourievsche entwicklung der singul?ren funktion bei einer Lebesguesehen ehen zerlegung。

（3）盧慶駿，1948 年獲美國(guó)芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)研究院博士學(xué)位，導(dǎo)師為世界著名三角級(jí)數(shù)大師A. Zygmund，博士論文題目為Note on the properties of Fourier cefficients。

（4）程民德，1949 年獲美國(guó)普林斯頓大學(xué)博士學(xué)位，導(dǎo)師為世界著名數(shù)學(xué)家S.Bochner，博士論文題目為On the uniqueness theorem of multiple trigonometrical series。

2 傅里葉級(jí)數(shù)在我國(guó)的教育概況

我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育起步較晚，但發(fā)展較快。傅里葉級(jí)數(shù)在我國(guó)的教育主要有3 種形式：大學(xué)本科教育、研究生教育、研究討論班教育。

2.1 大學(xué)本科教育

從傅里葉級(jí)數(shù)的本科教學(xué)中可以看到，20 世紀(jì)30 年代，部分大學(xué)已開設(shè)級(jí)數(shù)理論課程，其中包含傅里葉級(jí)數(shù)理論。例如，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系在1931—1935 年各年度課程表[9]中，已有奧斯古德(W. Fogg Osgood，1864—1943)開設(shè)的函數(shù)各論（乙）課程，并明確標(biāo)注包含勢(shì)函數(shù)、三角級(jí)數(shù)、帶球函數(shù)、Bessel函數(shù)等。該課程將歐美數(shù)學(xué)家的3 種原著列為參考書，如美國(guó)數(shù)學(xué)家W. E. Byerly（1849—1935)的《傅里葉級(jí)數(shù)與球諧函數(shù)》(Fouries Series and Spherical Harmonics)[10]，這說(shuō)明三角級(jí)數(shù)已經(jīng)成為當(dāng)時(shí)北京大學(xué)數(shù)學(xué)系本科生課程（屬于選修課程）。

在浙江大學(xué)1929、1930 兩年度數(shù)學(xué)系課程表[11]中，已有級(jí)數(shù)概論、實(shí)函數(shù)論等課程，其中，實(shí)函數(shù)論課程曾以英國(guó)數(shù)學(xué)家E. W. Hobson（1856—l933) 的《實(shí)變函數(shù)論與傅里葉級(jí)數(shù)論》(The Theory of Function of a Real Variable and the Theory of Fourier Series)等為主要參考書。由此可見，浙江大學(xué)的本科教學(xué)內(nèi)容也包含了豐富的傅里葉級(jí)數(shù)理論。

2.2 研究生教育

我國(guó)傅里葉級(jí)數(shù)的研究生教育主要集中在浙江大學(xué)。1940 年2 月，西遷遵義的浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系終于在湄潭等地暫時(shí)安定下來(lái)，有了一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的環(huán)境。陳建功與蘇步青協(xié)商，創(chuàng)辦浙江大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，招收數(shù)學(xué)研究生。從此，浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系跨上了新的臺(tái)階。

1940—1946 年，浙江大學(xué)在函數(shù)論方向共培養(yǎng)了3 位碩士，分別是：

程民德，他是陳建功招收的第一名研究生，研究方向?yàn)楦道锶~分析，1943 年畢業(yè)，碩士論文題目為《三角級(jí)數(shù)之研究》；

魏德馨，1945 年畢業(yè)，碩士論文題目為《線性運(yùn)算與級(jí)數(shù)求和法》；

項(xiàng)黼宸，1946 年畢業(yè)；碩士論文題目為《傅里葉級(jí)數(shù)(C.-⊥＜a＜⊥)之求和》。

2.3 研究討論班教育

我國(guó)大學(xué)授課的研究討論班形式始于浙江大學(xué)。自1931 年起，在陳建功與蘇步青的領(lǐng)導(dǎo)下，浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系開始舉辦數(shù)學(xué)討論班[12]，“吸收高年級(jí)學(xué)生和青年助教參加，并將討論班定名為‘?dāng)?shù)學(xué)研究’”[13]。

陳建功、蘇步青創(chuàng)立的討論班研究性教學(xué)方法取得了巨大成功。在函數(shù)論討論班中，傅里葉分析是主要討論內(nèi)容之一。陳建功指導(dǎo)當(dāng)時(shí)的四年級(jí)在讀本科生葉彥謙就Paley 與Wiener 關(guān)于傅里葉變換的文獻(xiàn)在討論班上做報(bào)告[14]，之后，又指導(dǎo)他研讀傅里葉級(jí)數(shù)方面的論文，希望他開展相關(guān)研究工作。從現(xiàn)有資料看，王福春、盧慶駿、徐瑞云、程民德、葉彥謙、馮乃謙、朱良璧、項(xiàng)黼宸、魏德馨等都曾是討論班的學(xué)員，而且，都取得了較好的科研成果。

3 我國(guó)傅里葉級(jí)數(shù)學(xué)者的學(xué)術(shù)譜系

關(guān)于我國(guó)傅里葉分析領(lǐng)域?qū)W者的師承關(guān)系，按照10 年為一代進(jìn)行學(xué)術(shù)譜系劃分。

第一代傅里葉分析學(xué)者主要是陳建功，他的導(dǎo)師為日本著名數(shù)學(xué)家藤原松三郎。陳建功培養(yǎng)了我國(guó)第二代傅里葉分析專家王福春。

第二代傅里葉分析學(xué)者主要有王福春、周鴻經(jīng)、周懷衡等。王福春曾是陳建功的學(xué)生，后來(lái)在日本留學(xué)，導(dǎo)師也是藤原松三郎；項(xiàng)黼宸、程民德、魏德馨、葉彥謙等也是陳建功的學(xué)生。周鴻經(jīng)畢業(yè)于原東南大學(xué)，熊慶來(lái)、何魯、段子燮、周家樹等曾是他的老師，后在英國(guó)倫敦大學(xué)留學(xué)，導(dǎo)師為L(zhǎng).S.Bosanquet。周懷衡曾在原東南大學(xué)、中央大學(xué)學(xué)習(xí)，熊慶來(lái)、何魯、段子燮、周家樹等曾是他的老師，后在英國(guó)劍橋大學(xué)留學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

第三代傅里葉分析學(xué)者主要有馮乃謙、盧慶駿、徐瑞云、項(xiàng)黼宸、程民德、魏德馨、朱良璧等。這代學(xué)者或在本科或在研究生期間均曾受教于陳建功先生，而項(xiàng)黼宸、程民德、魏德馨等曾受教于王福春先生。盧慶駿的博士生導(dǎo)師為世界著名三角級(jí)數(shù)大師A. Zygmund；徐瑞云的博士生導(dǎo)師為世界著名數(shù)學(xué)家C.Carthéodory；程民德的博士生導(dǎo)師為世界著名數(shù)學(xué)家S.Bochner。S·Bochner 是美國(guó)科學(xué)院院士，曾任美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)副主席，其著作《傅里葉積分講義》引入了被廣泛運(yùn)用的博赫納積分等研究多重傅里葉級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題及逼近論問(wèn)題的重要工具。

我國(guó)傅里葉分析學(xué)者學(xué)術(shù)譜系如圖1 所示。其中，虛線框內(nèi)的為浙江大學(xué)函數(shù)論學(xué)派學(xué)者的學(xué)術(shù)譜系。

圖1 我國(guó)傅里葉級(jí)數(shù)學(xué)者學(xué)術(shù)譜系Fig.1 The academic pedigree of scholar on Fourier series in China

4 浙江大學(xué)函數(shù)論學(xué)派的主要學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)

4.1 陳建功的主要貢獻(xiàn)［15-16］

陳建功（1893—1971），浙江紹興人。1913 年畢業(yè)于浙江兩級(jí)師范學(xué)堂，同年考取官費(fèi)留學(xué)日本資格，赴日本東京高等工業(yè)學(xué)校學(xué)習(xí)染色工藝；1919年回國(guó)，受聘于浙江省立甲種工業(yè)學(xué)校，教授染織工業(yè)課程。1920 年，陳建功二次東渡日本，入東北帝國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，次年在日本《東北數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表論文《關(guān)于無(wú)窮乘積的幾個(gè)定理》。據(jù)現(xiàn)有資料[3-5]，在此之前，我國(guó)學(xué)者在國(guó)外發(fā)表的現(xiàn)代數(shù)學(xué)論文僅有王季同（1911）、胡明復(fù)（1918，博士學(xué)位論文）、趙元任（1919，1920）4 篇論文[5]。蘇步青在《陳建功文集》（科學(xué)出版社，1981）序言中提到：“（這篇論文）無(wú)論是在時(shí)間上或是在內(nèi)容上，都標(biāo)志了中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的興起，是具有重要意義的一篇?jiǎng)?chuàng)造性著作。從此以后，特別是從1927 年以后，我國(guó)數(shù)學(xué)家在國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)?？习l(fā)表的論文不斷增加?！?/p>

1923 年，陳建功畢業(yè)，受聘于浙江工業(yè)專門學(xué)校，教授數(shù)學(xué)，翌年被聘為國(guó)立武昌大學(xué)數(shù)學(xué)系教授。1926 年，他三渡日本，再次進(jìn)入東北帝國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)系攻讀博士學(xué)位，師從藤原松三郎，研究三角級(jí)數(shù)論。這是我國(guó)學(xué)者系統(tǒng)學(xué)習(xí)與研究傅里葉級(jí)數(shù)的始點(diǎn)。

收斂性是傅里葉級(jí)數(shù)中最為重要的問(wèn)題。該理論的創(chuàng)始人Fourier 在19 世紀(jì)初期就認(rèn)為，一切周期函數(shù)f(x)在滿足一定條件下都是三角級(jí)數(shù)在點(diǎn)態(tài)收斂意義下的和。至1876 年，數(shù)學(xué)家Du Boise-Reymond 構(gòu)造了一個(gè)周期為2π 的連續(xù)函數(shù)，在周期區(qū)間內(nèi)除一點(diǎn)外為某三角級(jí)數(shù)之和，在此例外點(diǎn)上該三角級(jí)數(shù)不收斂，從而引起了對(duì)三角級(jí)數(shù)收斂性的討論，包括三角級(jí)數(shù)在一點(diǎn)的收斂性與整體的絕對(duì)收斂性，并使得“函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)是否必收斂于函數(shù)本身”成為三角級(jí)數(shù)研究的中心課題。

關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)整體絕對(duì)收斂的判別定理有Bernstain 判 別 法、Zygmund 判 別 法 等。1928 年，陳建功在《日本帝國(guó)科學(xué)院院刊》第4 卷上發(fā)表《論帶有絕對(duì)收斂的傅氏級(jí)數(shù)的函數(shù)類》[1]，提出三角級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的刻畫定理：

一個(gè)周期為2π 的三角級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的充分必要條件是該三角級(jí)數(shù)為Young 的連續(xù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。其中，Young 的連續(xù)函數(shù)是指周期為2π 的函數(shù)f(x)，且為2 個(gè)平方可積函數(shù)的卷積。

同年，英國(guó)數(shù)學(xué)家Hardy 和Littlewood 獲得相同結(jié)果，他們的文章發(fā)表在《德國(guó)數(shù)學(xué)雜志》第28 卷上。由于《日本帝國(guó)科學(xué)院院刊》的國(guó)際知名度相對(duì)較小，因而人們稱這一漂亮結(jié)果為“Hardy-Littlewood 定理”，事實(shí)上準(zhǔn)確的命名應(yīng)為“Chen-Hardy-Littlewood 定理”。如上所言，這是我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)追趕世界先進(jìn)水平的第一個(gè)標(biāo)志性成果。

關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)在一點(diǎn)的收斂性的判別方法有多種，如由Dini、Jordan、Dirichlet、Gergen 等數(shù)學(xué)家建立的方法，但這些判別方法都僅給出了傅里葉級(jí)數(shù)在一點(diǎn)收斂的充分條件。1930 年，陳建功首先指出傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0處收斂的充分必要條件[11]：

對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)共軛級(jí)數(shù)收斂性的判定方法有Misra 判別法。1942 年，陳建功給出了一個(gè)新結(jié)果[18]，此結(jié)果相當(dāng)于傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的Gergen 判別法，是對(duì)Misra 判別法的改進(jìn)。

1945 年，他進(jìn)一步討論了傅里葉級(jí)數(shù)與其共軛級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0處的絕對(duì)收斂性：

20 世紀(jì)初，自Lebesgue 測(cè)度與積分理論問(wèn)世后，一方面，將Riemann 積分推廣至Lebesgue 積分、Denjoy 積分、Stieltjes 積分，將Cauchy 的連續(xù)定義推廣至半連續(xù)、平均連續(xù)、全連續(xù)等；另一方面，F(xiàn)ejer將研究者對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的討論引導(dǎo)至求和、強(qiáng)性收斂等方面，極大地豐富了傅里葉級(jí)數(shù)研究的內(nèi)容和方法。

Cesàro 絕對(duì)可和性，即|C,α|可和性，是絕對(duì)收斂性的推廣，其中|C,0|可和等價(jià)于絕對(duì)可收斂。設(shè)

那么，當(dāng)α＞α0時(shí)，f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0|C,α|可 和；當(dāng)β＞-k時(shí)，f(x) 的 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 在 點(diǎn)x0|C,β|可和[21]。這一結(jié)果推廣了Zygmund 關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂定理。

1906 年，P. J. L. Fatou（法圖）首先給出了一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)幾乎處處收斂的條件，設(shè)

幾乎處處收斂。1909 年，H.Weyl 將條件w(n)=n降為w(n)=；1913 年，E. W. Hobson 又將條件降為w(n)=nε,其中,ε＞0 為 任 意 正 數(shù)；同 年M.Plancherel 和G. H. Hard 又分別將條件改進(jìn)為w(n)=log3n與w(n)=log2n。不久，N. Lsuin 進(jìn)一步提出猜想（盧津猜想）：w(n)=1，即當(dāng)式(1)為平方可積函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，其幾乎處處收斂。盧津猜想引起了世界上許多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，如A. N.Kolmogoroff 等。圍繞盧津猜想，在長(zhǎng)達(dá)53 a 的研究中，出現(xiàn)了許多重要成果，如Kolmogoroff 與A.Plessner 進(jìn)一步將條件w(n)=n降為w(n)=lgn?？紤]到傅里葉級(jí)數(shù)式（1）是由殊特的就范直交函數(shù)系{1,sinnx,cosnx},n=1,2,…所組成，人們自然會(huì)問(wèn)，盧津猜想對(duì)于一般就范直交函數(shù)系{φn(x)}所組成的傅里葉級(jí)數(shù)是否也成立? H.Rademacher（1922），D. E. Menchoff（1926），S. Bergen 與S.Kaczmarz（1927）分別給出了判別結(jié)果，隨后，陳建功于1928 年 指 出，Rademacher,Menchoff，Bergen 與Kaczmant 的判別結(jié)果是等價(jià)的[22]，為盧津猜想的證明提供了新的思路。1966 年，瑞典數(shù)學(xué)家L.Carleson 證明了盧津猜想。

對(duì)于區(qū)間(a,b) 上的正交函數(shù)系{φn(x)}，定義：為 其Lebegue 函 數(shù)。1922 年，Rademacher 給 出 了lgn估計(jì)：

在區(qū)間(a,b)幾乎處處成立。

Hilb 認(rèn)為這一估計(jì)是最佳的。1929 年，陳建功對(duì)此估計(jì)做了改進(jìn)[23]，得到

另外，1928—1950 年，陳建功還有6 篇關(guān)于單葉函數(shù)的論文在國(guó)外學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表。

4.2 王福春的主要貢獻(xiàn)［24］

王福春（1901—1947），字夢(mèng)強(qiáng)，江西安?？h人。1922—1927 年在武昌高等師范學(xué)校就學(xué)，是陳建功先生的學(xué)生。1929 年春起，王福春在日本東北帝國(guó)大學(xué)留學(xué)，師從藤原松三郎（亦是陳建功的導(dǎo)師）。研究方向?yàn)楦道锶~級(jí)數(shù)與黎曼（Riemann）ζ 函數(shù)，研究工作主要集中在傅里葉級(jí)數(shù)強(qiáng)性求和（strong summability）、絕對(duì)求和(absolute summability)、里斯求和(Riesz summability)及求和因子等方面。

王福春的許多工作是基于Hardy 和Littlewood的傅里葉級(jí)數(shù)研究工作的，并進(jìn)行了改進(jìn)與深化。1933 年，王福春在《日本帝國(guó)科學(xué)院通報(bào)》上發(fā)表了第1 篇論文[25]，解決了G.H.Hardy 于1931 年提出的2 個(gè)問(wèn)題并推廣了A.Zygmund 用里斯對(duì)數(shù)平均求傅里葉級(jí)數(shù)和的定理。

關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的里斯求和法，王福春討論了(R,ewt,k)的求和法及其在收斂理論上的應(yīng)用，主要結(jié)果如下[26-29]：

（i）若φ(t) 滿 足φ(u)|du=o(t),t→0，則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)f(t)在t=x處(R,ewt,k)可和；若0 ＜α＜1 對(duì) 某 一k＞0 成 立，則f(t)必 在t=x處(R,ewt,h)可和，其中h為任意正數(shù)。

（ii）若φ(t)滿足

則 對(duì)γ＞0，f(x) 的 傅 里 葉 級(jí) 數(shù)f(t) 在t=x處(R,ewt,γ)可和。

1934 年，Hardy 和Littlewood 在《傅里葉級(jí)數(shù)收斂的幾個(gè)新準(zhǔn)則》一書中證明了下述定理[30]：

設(shè)f(x)∈L2π是周期為2π 的勒貝格可積函數(shù)，若φ(t)滿足式（2），且

則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)f(t)在點(diǎn)x處收斂。

進(jìn)一步，提出問(wèn)題：定理中式（2）的條件能否減弱為

王福春證明了存在連續(xù)函數(shù)φ(t)，盡管φ(t)滿足式（3）和式（4），但其傅里葉級(jí)數(shù)在t=0 處是發(fā)散的，從而對(duì)上述問(wèn)題做出了否定回答。同時(shí)，進(jìn)一步證明此問(wèn)題可用(R,e(lgw)2,1+δ)平均法求和，且只需δ＞0。還證明了若將式（2）和式（3）分別改為

則Hardy-Littlewood 問(wèn)題成立。同時(shí)指出，上述問(wèn)題還可由下述條件推得：

在傅里葉級(jí)數(shù)強(qiáng)性求和法方面，王福春證明了Hardy 和Littlewood 于1935 年提出 的推測(cè)[31]：

在該點(diǎn)成立。

Hardy 和Littlewood，Carleman 均證明了這一結(jié)果，但此結(jié)果在γ=1 時(shí)不成立。Hardy 和Littlewood 推測(cè)：若|f|lg+|f|可積，φ(t)在t=x處滿足

則式（8）成立。

王福春證明了這一推測(cè)。進(jìn)一步，他還證明，若將式（9）改為

則式（8）也成立[32-34]。

在傅里葉級(jí)數(shù)絕對(duì)求和法方面，王福春得到的主要結(jié)果如下[35-36]：

則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)f(t)幾乎處處|C,α|可和。此時(shí)，ε≠0。當(dāng)ε=0 時(shí)，f(t)雖 然 滿 足 式（11），但f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)f(t)在每個(gè)t=x處幾乎都不能以|A|平均法求和。

王福春的另一項(xiàng)工作是關(guān)于黎曼ζ 函數(shù)的研究。民國(guó)時(shí)期，他在國(guó)外學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表了6 篇關(guān)于黎曼ζ 函數(shù)的學(xué)術(shù)論文。改進(jìn)了由Littlewood 得到的中值定理，并對(duì)黎曼ζ 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行了估計(jì)；改進(jìn)了由R. Paler 和N. Wiener 得到的中值定理，并獲得一個(gè)可比肩普通中值定理的公式。

王福春一直拖病進(jìn)行黎曼ζ 函數(shù)研究，直至去世。

王福春的這些工作得到中外數(shù)學(xué)界的一致好評(píng)。日本巖波書店于1983 年出版的《日本數(shù)學(xué)100年史》中，介紹了我國(guó)留學(xué)生陳建功、王福春和蘇步青的工作：“其（王福春）成績(jī)使日本治數(shù)學(xué)者驚異，吾國(guó)數(shù)學(xué)見重于日本，實(shí)以陳建功與先生及蘇步青三君為始。”國(guó)際著名數(shù)學(xué)家Hardy 與Littlewood 對(duì)王福春亦贊賞有加：“俱于先生之成就，極力贊許”。正因?yàn)樵诟道锶~分析方面的卓越貢獻(xiàn)，王福春2 次獲得民國(guó)政府學(xué)術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)。

由于長(zhǎng)期超負(fù)荷工作，加之全面抗戰(zhàn)爆發(fā)，當(dāng)時(shí)的貴州省湄潭縣物資匱乏，生活困苦、營(yíng)養(yǎng)缺乏，王福春患上較嚴(yán)重的肺病。全面抗戰(zhàn)勝利后，1946 年7 月，浙江大學(xué)回遷杭州，王福春因病重只能暫留湄潭，待病情稍有好轉(zhuǎn)，于1946 年11 月接受中正大學(xué)之聘，任新成立的中正大學(xué)數(shù)學(xué)系第一任系主任。在中正大學(xué)期間，他一方面主持?jǐn)?shù)學(xué)系工作，堅(jiān)持為學(xué)生上課，另一方面仍致力于黎曼ζ 函數(shù)研究，終因勞累過(guò)度，導(dǎo)致肺病加劇，于1947 年9 月26 日病逝于南昌，享年46 歲。

4.3 盧慶駿的主要貢獻(xiàn)

盧慶駿(1913—1995)，江蘇鎮(zhèn)江人。1936 年8 月畢業(yè)于浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系，后留校任教。1946 年9 月被選派至美國(guó)芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)研究院學(xué)習(xí)，師從國(guó)際著名三角級(jí)數(shù)大師A.Zygmund，1948 年獲博士學(xué)位，1949 年回國(guó)并被聘為浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，兼任數(shù)學(xué)系主任。

從1941 年至1950 年，在陳建功先生的指導(dǎo)下，盧慶駿主要從事傅里葉級(jí)數(shù)分析研究，先后發(fā)表11篇有關(guān)傅里葉級(jí)數(shù)的研究論文。其中最有名的工作是與王福春、程民德等一起共同解決了著名數(shù)學(xué)家G.H.Hardy，J.E.Littewood 和Z.Zalewaser 等提出的一個(gè)懸而未決的問(wèn)題：

設(shè){Sn(k)}為可積函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列，{Sn(k(x))}是否幾乎處處可用α＞0 階Cesáro 求和？

王福春解決了k=2 的情形，程民德解決了k=2和3 的情形，盧慶駿利用Van der Corput 關(guān)于三角和的絕對(duì)值估計(jì)結(jié)果，完全解決了Z.Zalewaser 問(wèn) 題[37]。

此后，盧慶駿在缺項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)強(qiáng)性求和等方面獲得了一系列結(jié)果，并在冪級(jí)數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)的絕對(duì)求和性方面得到了較深入的結(jié)果。1943 年，盧慶駿以《傅氏級(jí)數(shù)之求和論》（論文）獲民國(guó)政府學(xué)術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)三等獎(jiǎng)。

4.4 徐瑞云的主要貢獻(xiàn)［38］

徐瑞云（1915—1969），浙江慈溪人，是我國(guó)第一位數(shù)學(xué)女博士。1936 年，她以優(yōu)異的成績(jī)畢業(yè)于浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系，后留校任教。1937 年10 月，進(jìn)入德國(guó)慕尼黑明興大學(xué)，師從著名數(shù)學(xué)家C.Carathéodory，研究三角級(jí)數(shù)論。

1940 年，徐瑞云獲得博士學(xué)位，學(xué)位論文題目為《關(guān)于勒貝格分解中奇異函數(shù)的傅里葉展開》[39]，該文主要研究有界變差函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的特征。1941 年，她返回浙江大學(xué)，被聘為副教授，繼續(xù)研究有界變差函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的特征，得到以下重要結(jié)果[40]：

設(shè)f(θ)是區(qū)間0 ≤θ≤2π 中的有界變差函數(shù)，其 變 差f(2π-0)-f(+0)=πσ( ＞0)，設(shè) 其 傅 里葉級(jí)數(shù)為

此時(shí)有勒貝格分解：

徐瑞云指出，對(duì)滿足上述條件的所有函數(shù)f(θ)，在2n維空間中的點(diǎn)：

的變化范圍是一個(gè)n階Carathéodory 區(qū)域；進(jìn)一步，如果前2n個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)ak,bk(1≤k≤n)保持不變，則在由此類函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)集中，S有正的最小值S*n，且S*n還可用此2n個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)表示。

4.5 程民德的主要貢獻(xiàn)［41］

程民德（1917—1998），1935 年考入浙江大學(xué)電機(jī)系，后轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)；1940—1942 年，在浙江大學(xué)數(shù)學(xué)研究所攻讀碩士學(xué)位，師從陳建功先生，研究方向?yàn)楦道锶~分析理論；1943—1945 年，任浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系講師；1946—1947 年，任北京大學(xué)數(shù)學(xué)系講師；1947 年，進(jìn)入美國(guó)普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系，在著名數(shù)學(xué)家S.Bochner 教授指導(dǎo)下，進(jìn)行多元調(diào)和分析研究，1949 年獲得博士學(xué)位；后在著名數(shù)學(xué)家E.Artin 與C.Chevalley 指導(dǎo)下做博士后研究，1950 年1月回國(guó)。

程民德的早期工作是研究一元傅里葉級(jí)數(shù)各種求和法以及求和因子等，共發(fā)表學(xué)術(shù)論文21 篇。如前所述，他的第1 篇論文是與王福春、盧慶駿一起解決 了Hardy，Littlewood 和Z.Zalewaser 等 提 出 的 問(wèn)題[42]。第2 篇論文得到了三角級(jí)數(shù)在整個(gè)區(qū)間上收斂的充分必要條件[43]。此后一段時(shí)間，他的主要工作集中在傅里葉級(jí)數(shù)的Cesáro 可求和性、傅里葉級(jí)數(shù)的可求和性因子、Bochner-Riese 平均的Gibbs 現(xiàn)象等方面。在文獻(xiàn)[44]中，他證明了以下結(jié)果：

則[φ(t)]1在(0,π)是有界變差的，且[φ(t)]1的傅里葉級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。

在文獻(xiàn)[45]中，他得到了傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)x處的可求和性條件。

程民德的另一主要貢獻(xiàn)是在調(diào)和分析方面。調(diào)和分析也稱傅里葉分析，來(lái)源于傅里葉級(jí)數(shù)，形成于18 世紀(jì)。但由于多種原因，20 世紀(jì)40 年代前，多元調(diào)和分析一直未能取得實(shí)質(zhì)性突破。程民德在S.Bochner 指導(dǎo)下，將研究方向從一元轉(zhuǎn)向多元，很快在多重三角級(jí)數(shù)唯一性上取得了成果[46]。調(diào)和函數(shù)是滿足拉普拉斯方程Δu=0 的二次連續(xù)可微函數(shù)，而m重調(diào)和函數(shù)是滿足方程Δm u=0 的2m次連續(xù)可微函數(shù)。但當(dāng)函數(shù)u僅有較少的光滑性時(shí)，如僅知u有2m-2 次連續(xù)可微時(shí)，如何刻畫u的m重調(diào)和 性？1916 年，W.J.E.Blaschke 解 決 了m=1 的 情形；20 世紀(jì)30 年代，D.Nicolesco 對(duì) 一般的m做了類似的刻畫。程民德證明了：如果二重（或多重）三角級(jí)數(shù)的圓形和按|C,1|可求和到零，則其系數(shù)皆為零。為證明多重三角級(jí)數(shù)的唯一性定理，他將研究領(lǐng)域拓展至多重調(diào)和級(jí)數(shù)，并發(fā)現(xiàn)D. Nicolesco 對(duì)一般的m做的有關(guān)函數(shù)u的m重調(diào)和性，給出的僅為必要而非充分條件。為此，他引進(jìn)了廣義多重拉普拉斯運(yùn)算概念（記為?m），并且在函數(shù)u是2m-2次連續(xù)可微條件下證明了Δm u=0 的充分必要條件是?m u=0。這一結(jié)果堪稱經(jīng)典。

限于篇幅，有關(guān)項(xiàng)黼宸、朱良璧、魏德馨等的工作不再贅述。

5 總 結(jié)

陳建功是我國(guó)傅里葉級(jí)數(shù)研究的開創(chuàng)者、領(lǐng)導(dǎo)者。浙江大學(xué)函數(shù)論學(xué)派是傅里葉級(jí)數(shù)在我國(guó)的主要研究、教育、傳播、發(fā)展基地。陳建功培養(yǎng)了王福春、盧慶駿、徐瑞云、項(xiàng)黼宸、程民德、魏德馨等我國(guó)第二代、第三代傅里葉級(jí)數(shù)學(xué)者。王福春、周鴻經(jīng)等我國(guó)第二代傅里葉級(jí)數(shù)學(xué)者，對(duì)于推動(dòng)傅里葉級(jí)數(shù)在我國(guó)的傳播、研究和發(fā)展起了積極作用。徐瑞云、程民德等是我國(guó)第三代傅里葉級(jí)數(shù)學(xué)者，對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù)在我國(guó)的進(jìn)一步發(fā)展起了承前啟后的作用。項(xiàng)黼宸、程民德、魏德馨是1949 年前我國(guó)培養(yǎng)的傅里葉級(jí)數(shù)方向的碩士。傅里葉級(jí)數(shù)研究是我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的先驅(qū)與領(lǐng)頭羊，對(duì)于推動(dòng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)在我國(guó)的傳播、發(fā)展起了帶頭和引領(lǐng)作用。