奔粵陽，張瀚軒，崔文婷，尹冬寒

（1.哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院，哈爾濱 150001；2.中國船舶工業(yè)集團公司第七〇八研究所，上海 201100）

由于極區(qū)處于高緯度地區(qū)，受其特殊地理位置的影響，經(jīng)線在極點附近收斂于極點，這使得常用的指北方位機械編排和游移方位機械編排都不再適用[1]。針對該問題，有學(xué)者提出橫坐標(biāo)系慣導(dǎo)系統(tǒng)[2-4]和格網(wǎng)坐標(biāo)系慣導(dǎo)系統(tǒng)[5-7]兩種導(dǎo)航方式并得到一定的發(fā)展。通過分析發(fā)現(xiàn)，基于橫坐標(biāo)系和格網(wǎng)坐標(biāo)系的兩種機械編排仍然存在舒勒周期、傅科周期和地球周期三種振蕩，這對于長時間航行的艦船來說，需要采用一些技術(shù)去消除這些周期振蕩來提高慣導(dǎo)系統(tǒng)的導(dǎo)航精度[8-10]。文獻[11]和文獻[12]分別基于橫坐標(biāo)系慣導(dǎo)系統(tǒng)和格網(wǎng)坐標(biāo)系慣導(dǎo)系統(tǒng)推導(dǎo)了系統(tǒng)的誤差模型并采用了傳統(tǒng)阻尼網(wǎng)絡(luò)算法，有效地抑制周期振蕩到來的誤差。但是這種傳統(tǒng)阻尼網(wǎng)絡(luò)通常存在兩個問題:阻尼網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的選擇需要進行不斷的試湊；參數(shù)一旦確定就無法改變，這與我們希望在導(dǎo)航初期系統(tǒng)具有較大阻尼比使得誤差快速收斂，進入穩(wěn)態(tài)后系統(tǒng)具有較小阻尼比減小載體機動的影響相矛盾。

本文針對傳統(tǒng)阻尼網(wǎng)絡(luò)設(shè)計存在的問題，設(shè)計了一種自適應(yīng)反饋增益阻尼方法。該方法在無阻尼格網(wǎng)慣導(dǎo)系統(tǒng)中加入自適應(yīng)反饋增益，該反饋增益可以通過有效估計手段進行求取并且能夠根據(jù)外速度信息的變化進行實時地調(diào)整，從而抑制格網(wǎng)慣導(dǎo)系統(tǒng)的振蕩誤差。仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計的自適應(yīng)反饋增益阻尼網(wǎng)絡(luò)能夠加快慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差的收斂速度，減小系統(tǒng)阻尼狀態(tài)切換時產(chǎn)生的超調(diào)量。

1 格網(wǎng)坐標(biāo)系建立及導(dǎo)航原理

1.1 格網(wǎng)坐標(biāo)系的建立

如圖1所示，以載體所在地P點處平行于格林威治子午面的平面作為格網(wǎng)平面，以載體所在地的水平面作為切平面，格網(wǎng)平面與切平面的交線定義為格網(wǎng)北向，格網(wǎng)北向同真北方向的夾角記為σ，格網(wǎng)天向同當(dāng)?shù)氐乩硖煜蛑睾?，格網(wǎng)東向在切平面內(nèi)且與格網(wǎng)北向垂直構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系，此即為格網(wǎng)坐標(biāo)系G系（eGE,eGN,eGU）?？梢姡珿 系同樣為P點處的水平坐標(biāo)系，僅與當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系g 系（東-北-天）在方位上偏差σ角。其中，L、λ分別為載體所在地的緯度和經(jīng)度，ωie為地球自轉(zhuǎn)角速度，eE,eN,eU分別為當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系的東向、北向和天向。

圖1 格網(wǎng)坐標(biāo)系Fig.1 Grid coordinate system

1.2 格網(wǎng)坐標(biāo)系導(dǎo)航原理

以格網(wǎng)坐標(biāo)系為導(dǎo)航坐標(biāo)系，它的運動學(xué)方程與采用固定指北方位類似，由于格網(wǎng)北向同真北方向存在夾角σ，所以兩者的主要區(qū)別是一些運動參數(shù)在導(dǎo)航系下的投影分量不同。根據(jù)文獻[13,14]，假設(shè)地球為圓球體，可以得到在格網(wǎng)坐標(biāo)系下慣導(dǎo)系統(tǒng)的運動學(xué)方程:

姿態(tài)基本方程:

速度基本方程:

位置基本方程:

式中

2 自適應(yīng)反饋增益阻尼方法

通過對格網(wǎng)坐標(biāo)系下慣導(dǎo)系統(tǒng)的運動學(xué)方程進行分析,并假設(shè)系統(tǒng)中陀螺儀和加速度計的安裝誤差和標(biāo)度因數(shù)誤差已經(jīng)得到補償，可以建立慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差模型，即無阻尼誤差模型。在無阻尼誤差模型基礎(chǔ)上，通過加入反饋的方式，將原本臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)[15]。我們假設(shè)在地球是圓球體的情況下，加入反饋增益的格網(wǎng)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差方程為:

位置誤差方程:

速度誤差方程:

失準(zhǔn)角方程:

格網(wǎng)角誤差方程:

其中，R為地球半徑，g為重力加速度，δL,δλ分別為緯度誤差和經(jīng)度誤差，分別為格網(wǎng)坐標(biāo)系下的東向和北向速度誤差，分別為格網(wǎng)坐標(biāo)系的東向、北向和天向失準(zhǔn)角，δσ為格網(wǎng)角誤差，分別為格網(wǎng)坐標(biāo)系下的東向和北向加速度計誤差，分別為在格網(wǎng)坐標(biāo)系下的東向、北向和天向陀螺漂移。Ux1,Ux2,Uy1,Uy2分別為北向和東向回路的反饋控制量，它們的具體表達式為:

其中kx1,kx2,ky1,ky2為自適應(yīng)反饋增益，分別為格網(wǎng)坐標(biāo)系下外速度參考誤差。為了更加容易地研究探討問題，假定是在靜基座情況下，此時艦船不運動，即。根據(jù)加入反饋增益的格網(wǎng)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差方程畫出加入反饋增益格網(wǎng)慣導(dǎo)系統(tǒng)方框圖，如圖2所示。

圖2 加入反饋增益格網(wǎng)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差方框圖Fig.2 Add feedback gain grid inertial navigation system error block diagram

由圖2可見，緯度誤差δL和格網(wǎng)角誤差δσ包含在系統(tǒng)的閉環(huán)回路中，當(dāng)整個系統(tǒng)穩(wěn)定的時候，緯度誤差和格網(wǎng)角誤差亦將是有界的，即不會隨時間的增長而產(chǎn)生積累誤差；但對于經(jīng)度誤差δλ卻不然，它是開環(huán)的，即經(jīng)度誤差會隨著時間積累而產(chǎn)生積累誤差。

下面具體分析在兩個水平回路上加入反饋增益后，是如何使周期振蕩誤差得到抑制的。因為傅科周期振蕩調(diào)節(jié)舒勒周期振蕩，所以我們忽略傅科周期振蕩的影響。我們不難得到忽略傅科振蕩周期后，加入反饋增益慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差方框圖的特征多項式為:

對比無阻尼格網(wǎng)慣導(dǎo)系統(tǒng)的特征多項式:

可見，當(dāng)kx1,ky1＞ 0;kx2,ky2＜0時，在兩條水平回路上加入的反饋增益會使舒勒周期振蕩誤差分量得到抑制，但地球周期振蕩誤差仍然存在。當(dāng)然傅科周期振蕩誤差分量也將隨著舒勒周期振蕩的抑制而消失，這將說明前面所述的忽略傅科周期振蕩是可以被允許的。如果我們選取兩水平通道的反饋增益相同，即k1=kx1=ky1,k2=kx2=ky2的話，式(13)可以化簡為:

此時格網(wǎng)慣導(dǎo)系統(tǒng)東向和北向水平回路的特征多項式均為:

將按式(16)設(shè)計的水平阻尼系統(tǒng)等效為典型二階系統(tǒng)，根據(jù)系數(shù)對應(yīng)原則可得到在水平回路上引入反饋增益后慣導(dǎo)系統(tǒng)的阻尼比和自然振蕩角頻率為:

其中，ξ為系統(tǒng)阻尼比，ωn為自然振蕩角頻率。

也就是我們可以通過動態(tài)調(diào)節(jié)k1,k2的取值來調(diào)節(jié)水平回路中阻尼比的大小。在導(dǎo)航初期較大的阻尼比可以使系統(tǒng)的振蕩誤差快速收斂，進而使舒勒周期和傅科周期振蕩誤差得到抑制，從而起到了阻尼的效果；系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)后，較小的阻尼比會減小載體機動對系統(tǒng)造成的不利影響。

如何動態(tài)地調(diào)節(jié)k1,k2取值就成為了本文的研究重點。受Kalman 濾波原理[16]的啟發(fā)，可以將原本的控制問題轉(zhuǎn)化為估計問題[17]，通過求解濾波中的增益矩陣K得到加入到慣導(dǎo)系統(tǒng)中水平回路的反饋增益k1和k2的值。

從圖2中可以看出，格網(wǎng)慣導(dǎo)系統(tǒng)北向水平回路誤差模型和東向水平回路誤差模型是彼此對稱的，所以我們僅以北向水平回路進行分析。

首先將加入反饋增益格網(wǎng)慣導(dǎo)系統(tǒng)北向水平回路模型寫成矩陣的形式，表示如下:

其中

通過式(18)可以看出，慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差狀態(tài)變量北向速度誤差和東向失準(zhǔn)角僅受k1和k2的影響。那么我們想使兩個誤差狀態(tài)變量達到最小，就需要得到最優(yōu)的反饋增益k1和k2。下面給出求解反饋增益k1和k2的方法。

首先設(shè)計一個隨機的線性系統(tǒng)M 系統(tǒng)，M 系統(tǒng)的系統(tǒng)模型如下所示:

其中，A1、B1、C1分別是M 系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣，x1、y1分別是系統(tǒng)的狀態(tài)向量和觀測向量。其中，y1為慣性系統(tǒng)速度與外速度之差。

然后對M 系統(tǒng)使用龍伯格觀測器進行估計，可以得到系統(tǒng)狀態(tài)變量的估計方程為:

如果我們令

則慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差狀態(tài)變量xG(t)和M 系統(tǒng)的狀態(tài)變量(t)變化規(guī)律就會相同；此時我們可以得到:

那么M 系統(tǒng)就由隨機線性系統(tǒng)變成了一個確定的線性系統(tǒng)，并且(t)和xG(t)的變化規(guī)律相同，問題也就從尋找使xG(t)達到最小的k1和k2變成了尋找使(t)達到最小的增益矩陣K。我們又知道Kalman濾波的原理就是去求解增益矩陣K使得估計誤差的協(xié)方差達到最小，那么我們就可以對M 系統(tǒng)利用Kalman 濾波技術(shù)，求解出增益矩陣K的值。通過式(24)，我們就進而得到了k1和k2的值。此時求得的反饋增益k1和k2會使北向速度誤差和東向失準(zhǔn)角的協(xié)方差達到最小。另外我們考慮到引入外速度的同時，同樣引入了外速度誤差，我們應(yīng)該實時根據(jù)外部速度信息的質(zhì)量來進行調(diào)整，外速度信息有效時可以使系統(tǒng)處于外速度水平阻尼狀態(tài)，而外速度信息無效時，即我們的量測噪聲Rk?［Rmin,Rmax］，可以自動切換至無阻尼狀態(tài)，因此本文采用簡化的自適應(yīng)濾波方法，具體實施過程如下所示[18-19]:

計算加權(quán)系數(shù):

一步預(yù)測均方誤差:

計算新息序列:

估計量測噪聲:

計算濾波增益:

估計均方誤差:

狀態(tài)一步預(yù)測:

狀態(tài)估計計算:

其中，φk,k-1、Γk-1、Hk是已知的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，分別稱為狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移矩陣、系統(tǒng)噪聲分配矩陣和量測矩陣。給定初值P0,R0,Q0,b,k=1，以及量測噪聲的界限Rmax,Rmin；置位:k=k+ 1；b為遺忘因子，常取b=0.9 ～0.999。在自適應(yīng)濾波過程中，量測噪聲Rk與系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)估計協(xié)方差交錯在線估計，采用遺忘因子可以限制濾波的記憶長度，加重新近觀測數(shù)據(jù)對現(xiàn)實估計的作用，每次更新完量測噪聲Rk與量測噪聲界限進行比較，若不在規(guī)定的范圍內(nèi)，則視為外速度信息無效，自動將反饋增益賦零使其轉(zhuǎn)換為無阻尼狀態(tài)。

以上即為通過自適應(yīng)濾波方法求取格網(wǎng)系統(tǒng)北向回路反饋增益矩陣K的全過程。將矩陣K中的k1和k2帶入到自適應(yīng)反饋增益北向水平回路中，可以使東向失準(zhǔn)角和北向速度誤差有效抑制，達到阻尼的效果。同時也可以利用式(17)求得新阻尼網(wǎng)絡(luò)中的阻尼比，該阻尼比是隨k1和k2變化而變化的，因此進一步驗證了本方法在格網(wǎng)系統(tǒng)中加入了變阻尼的思想。

同時我們還需要考慮我們加入的自適應(yīng)反饋增益是否可以使格網(wǎng)北向回路穩(wěn)定?；诰€性系統(tǒng)理論，若系統(tǒng)是可控又可觀測的，那么該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的[20]。所以我們需要進一步驗證系統(tǒng)的可觀測性和可控性。

由式(24)所示的系統(tǒng)，其可觀測性矩陣為

由式(33)可知，該系統(tǒng)的可觀測性矩陣為滿秩，即系統(tǒng)完全可觀。

由式(24)所示的系統(tǒng)，其可控性矩陣為

由式(34)可知，該系統(tǒng)的可控性矩陣為滿秩，即系統(tǒng)完全可控。這就表明由自適應(yīng)kalman 濾波求解得到的反饋增益k1和k2可使格網(wǎng)北向水平回路達到穩(wěn)定狀態(tài)。

3 仿真實驗

為了驗證所設(shè)計的格網(wǎng)坐標(biāo)系下自適應(yīng)反饋增益阻尼方法有效性，對該方法進行了36 小時的仿真驗證，并與無阻尼方法和傳統(tǒng)外速度水平阻尼方法進行了對比。仿真的初始參數(shù)設(shè)置如表1所示，載體沿著120 °經(jīng)線以10 m/s 的速度向北勻速航行。計程儀參考速度誤差設(shè)置如下:t＜10h或t＞30h時，計程儀提供的外速度隨機誤差波動較大，無法提供準(zhǔn)確的外速度信息；10h≤t≤ 30h 時，計程儀提供的外速度誤差較小，可以提供準(zhǔn)確的外速度信息。為了更好地驗證自適應(yīng)阻尼算法，本文設(shè)置了計程儀階段性常值誤差變化，當(dāng)10h≤t≤ 20h 時，計程儀提供的外速度誤差為-0.5 m/s；當(dāng)20h≤t≤ 30h 時，計程儀提供的外速度誤差為0.5 m/s。仿真中的初始參數(shù)如表1所示。

表1 初始參數(shù)Tab.1 Initial parameters

無阻尼方法、傳統(tǒng)外速度阻尼方法和本文設(shè)計的自適應(yīng)反饋增益阻尼方法的誤差結(jié)果對比如圖3～5所示。圖中藍線為無阻尼情況下的誤差曲線，紅線為采用傳統(tǒng)外速度水平阻尼方法的誤差曲線，黑線為采用本文方法的誤差曲線。

圖3 速度誤差對比圖Fig.3 Velocity error comparison diagram

圖4 位置誤差對比圖Fig.4 Position error comparison diagram

圖5 失準(zhǔn)角對比圖Fig.5 Error angle comparison diagram

通過圖3～5 三種方法誤差曲線的對比，可以看到在第10 小時、第20 小時和第30 小時，因為計程儀提供的外速度參考信息發(fā)生變化，各導(dǎo)航參數(shù)都產(chǎn)生了超調(diào)變化。尤其是第10 小時，系統(tǒng)進行了阻尼狀態(tài)的切換（由無阻尼狀態(tài)切換到有阻尼狀態(tài)），超調(diào)較為明顯，采用本文方法產(chǎn)生的超調(diào)變化小于采用傳統(tǒng)阻尼產(chǎn)生的超調(diào)變化并且收斂更快。以速度誤差為例進行定量分析，在第10 小時系統(tǒng)從無阻尼切換到有阻尼狀態(tài)時，采用本文方法產(chǎn)生的東向速度誤差超調(diào)量和北向速度誤差超調(diào)量分別比傳統(tǒng)外速度水平阻尼方法產(chǎn)生的超調(diào)量減小13%和15%。

圖6 阻尼比Fig.6 Damping ratio

由圖6可知，在第10 小時因計程儀判定外速度信息有效，導(dǎo)航系統(tǒng)自動進入阻尼狀態(tài)，初期阻尼比很大，隨后逐漸減小并趨于一個穩(wěn)定值。在第20 小時，計程儀提供的外速度誤差發(fā)生變化，系統(tǒng)經(jīng)過判定仍視為外速度信息為有效信息，但外速度誤差的變化會導(dǎo)致阻尼比再次發(fā)生變化，當(dāng)系統(tǒng)再次達到穩(wěn)態(tài)時，阻尼比將再次趨于一個穩(wěn)定值。通過自適應(yīng)方法去自動調(diào)整反饋增益參數(shù)，進而得到對系統(tǒng)更合適的阻尼比，所以此時較小的阻尼比更適合于系統(tǒng)。阻尼比這樣的變化過程對慣導(dǎo)系統(tǒng)是有利的，在導(dǎo)航系統(tǒng)初期較大的阻尼比加快了震蕩誤差的收斂速度，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時較小的阻尼比有利于載體機動對該系統(tǒng)造成的不利影響。在第30 小時，因為Rk?［Rmin,Rmax］，所以系統(tǒng)判定計程儀無法提供準(zhǔn)確的外速度信息，自動切換至無阻尼狀態(tài)。

4 結(jié) 論

本文以極區(qū)航行為背景，針對傳統(tǒng)格網(wǎng)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)阻尼技術(shù)存在的問題，提出了一種自適應(yīng)反饋增益阻尼方法。利用該方法將原本的控制問題轉(zhuǎn)化為有效估計問題，能夠克服傳統(tǒng)阻尼網(wǎng)絡(luò)參數(shù)選擇的復(fù)雜性問題及阻尼網(wǎng)絡(luò)參數(shù)固定的問題。實驗仿真結(jié)果表明，所提出方法加快了慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差的收斂速度，能夠自主進行不同阻尼狀態(tài)間的優(yōu)化切換，而且比傳統(tǒng)外速度水平阻尼誤差超調(diào)量減小了15%左右，提高了系統(tǒng)的導(dǎo)航性能。