劉云　馮俊　蕢露超

摘 要 由于傳統(tǒng)的內(nèi)插方法大多基于歐式平面，在地球投影至平面的過(guò)程中，往往會(huì)產(chǎn)生裂縫和變形。在較大范圍的地理空間內(nèi)，這些誤差會(huì)對(duì)內(nèi)插結(jié)果造成較大的影響。本文針對(duì)這一情況，基于反距離加權(quán)法設(shè)計(jì)插值算法設(shè)計(jì)了針對(duì)橢球面的插值算法，并與原有幾種插值算法進(jìn)行了精度的比較。

關(guān)鍵詞 等值線;距離場(chǎng);插值

1研究背景和意義

根據(jù)已觀測(cè)點(diǎn)的測(cè)值對(duì)未觀測(cè)點(diǎn)的測(cè)值進(jìn)行估算的方法為插值。過(guò)去通過(guò)地面實(shí)時(shí)測(cè)量空間數(shù)據(jù)的方法已無(wú)法滿足對(duì)廣大區(qū)域范圍進(jìn)行數(shù)據(jù)獲取的需求，而現(xiàn)階段大范圍數(shù)據(jù)采集方式如衛(wèi)星遙感雷達(dá)觀測(cè)等雖然可以對(duì)較大地理范圍進(jìn)行實(shí)時(shí)觀測(cè)，但仍舊不可避免會(huì)因噪聲而影響觀測(cè)結(jié)果。插值正是解決這一問(wèn)題較為有效的途徑。

目前為止，已經(jīng)出現(xiàn)了各種各樣的內(nèi)插算法，每種方法都有其各自的適用領(lǐng)域和優(yōu)缺點(diǎn).但這些算法大多基于歐式平面，針對(duì)較小地域范圍內(nèi)進(jìn)行插值時(shí)，其結(jié)果較為精確[1]。但針對(duì)經(jīng)緯度跨度較大時(shí)，由地圖投影導(dǎo)致的變形愈發(fā)明顯。在針對(duì)等值線數(shù)據(jù)時(shí)，等值線與待內(nèi)插點(diǎn)之間的距離計(jì)算則較為復(fù)雜，計(jì)算效率較低。

為解決以上兩個(gè)問(wèn)題，需要設(shè)計(jì)一種適應(yīng)于研究區(qū)域?yàn)榇蠓秶鷻E球面，數(shù)據(jù)類型為等值線的插值算法，較為高效率和準(zhǔn)確地獲取待內(nèi)插點(diǎn)的插值。

2研究現(xiàn)狀

內(nèi)插算法發(fā)展至今，已出現(xiàn)多種多樣的內(nèi)插算法。根據(jù)數(shù)據(jù)源不同將內(nèi)插方法分為離散點(diǎn)插值、離散點(diǎn)等值線共同插值和等值線插值等。

離散點(diǎn)內(nèi)插方法主要包括根據(jù)采樣點(diǎn)的值賦予采樣區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)的值泰森多邊形法[2]樣點(diǎn)的距離為權(quán)重進(jìn)行插值的反距離加權(quán)法、構(gòu)造采樣點(diǎn)的多階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的曲面函數(shù)進(jìn)行內(nèi)插的樣條函數(shù)法[3-4]、以到采樣點(diǎn)的距離和數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的整體排列作為權(quán)重，用半變異函數(shù)模型代表空間中隨距離變化的函數(shù)求出內(nèi)插值的克里金插值法[5-6]等算法。而等值線內(nèi)插法則主要包括將等值線轉(zhuǎn)化為等指點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)插的方法、和借助輔助線生成新等值線的輔助線法以及綜合了局部?jī)?nèi)插和整體插值有點(diǎn)的ANUDEM法[7-9]。每一種算法都有其優(yōu)缺點(diǎn)，和適用范圍，因此針對(duì)以上算法存在的不足，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，在保留其優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，對(duì)其劣勢(shì)進(jìn)行了補(bǔ)足。

3高階距離場(chǎng)內(nèi)插

3.1 算法原理

本文研究的數(shù)據(jù)類型為等值線數(shù)據(jù)。等值線，一般為線上所有值相等，且連續(xù)、閉合的曲線。根據(jù)這一特性，可以將等值線間的區(qū)域視作為一塊整體。相鄰等值線間的待內(nèi)插點(diǎn)，僅受這兩條等值線間的影響，其數(shù)值則與等值線到該點(diǎn)的距離有關(guān)。而反距離加權(quán)法則可以很好地反映待內(nèi)插點(diǎn)與數(shù)值點(diǎn)之間的距離對(duì)內(nèi)插結(jié)果的影響，因此本文設(shè)計(jì)算法基于反距離加權(quán)法。

反距離加權(quán)法得優(yōu)勢(shì)在于算法較為簡(jiǎn)單、效率較高且易于實(shí)現(xiàn)，能較為直觀得反映距離對(duì)插值結(jié)果得影響，但由于其原本適用于離散點(diǎn)插值，容易受到周圍采樣點(diǎn)中極值的影響[10]，且在針對(duì)等值線內(nèi)插方面實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜且效率低下。而這僅是在針對(duì)歐式平面下得計(jì)算，在進(jìn)行大地線距離計(jì)算時(shí)會(huì)更復(fù)雜。為解決這一問(wèn)題，需要引入距離變換得方法提高等值線間距離計(jì)算的效率。

在地圖代數(shù)中，距離變換是計(jì)算并標(biāo)識(shí)空間點(diǎn)（對(duì)參照體）距離的變換或過(guò)程。通過(guò)對(duì)矢量圖形進(jìn)行柵格化處理，以到最近點(diǎn)的距離值作為灰度值獲得彩色位圖。

以往的距離變換所采用的尺度大多以歐式距離、棋盤距離等為主，而由于本文研究范圍較廣，直接采用投影到歐式平面上的距離會(huì)影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果精度，因此采用大地線距離作為尺度。同時(shí)本文采用高階距離變換，獲取任一點(diǎn)到最近的n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的最短大地線距離。根據(jù)這一距離作為權(quán)重計(jì)算待內(nèi)插點(diǎn)的值。

4實(shí)驗(yàn)步驟

本文數(shù)據(jù)為亞洲地區(qū)的真實(shí)溫度等值線數(shù)據(jù)，為東經(jīng)0-180度且北緯0～80度之間的地理范圍。數(shù)據(jù)量較為龐大且復(fù)雜，可以較好地反映設(shè)計(jì)算法的運(yùn)行效率及精度。

依據(jù)等值線與等值線之間的間隔，基于區(qū)域大小和特征，選擇合適的分辨率對(duì)研究區(qū)域數(shù)據(jù)進(jìn)行柵格化，獲取柵格影像。對(duì)該柵格影像，以大地線為尺度，進(jìn)行測(cè)地變換，獲取研究區(qū)域內(nèi)1至k階距離場(chǎng)數(shù)據(jù)。

根據(jù)橢球面距離場(chǎng)數(shù)據(jù)獲取待內(nèi)插點(diǎn)至等值線的大地線距離和等值線所代表的值，以此作為權(quán)重，計(jì)算得到該點(diǎn)的插值。并通過(guò)特征點(diǎn)數(shù)據(jù)精度比較的方法，與現(xiàn)有的插值算法進(jìn)行結(jié)果的精度比較，評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)算法的精度。

5實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文對(duì)研究區(qū)域內(nèi)的低中高緯三個(gè)區(qū)域內(nèi)隨機(jī)選取50個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)插結(jié)果的比對(duì)，以逼近誤差作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)值量化比較各內(nèi)插算法的精度。

通過(guò)多種方法對(duì)比得到的表 5?1可以發(fā)現(xiàn)，TIN法所求得的逼近誤差最小值是所有誤差方法內(nèi)最小的，而本文方法的逼近誤差的最大值則為最小，由逼近誤差的平均值可以從一定程度上體現(xiàn)出ANUDEM和本文方法的誤差較小，結(jié)果較為精確。但僅從最小值、最大值和平均值很難完全反映出算法的誤差，因此將每個(gè)點(diǎn)的逼近誤差進(jìn)行匯總，繪制成相應(yīng)的連線，通過(guò)圖標(biāo)的形式更為直觀地反映誤差分布情況。

從圖 5?2中可以看出，克里金插值、TIN法和直接反距離加權(quán)法這三種方法的折線離中央位置更遠(yuǎn)，且在某些點(diǎn)處的值相較于另外幾種方法更大。樣條法的折線變化情況則相對(duì)較為舒緩，但也出現(xiàn)部分偏離的情況。而ANUDEM和本文所用方法則相對(duì)平滑，雖然也存在部分誤差較大的地方，但更接近于真實(shí)數(shù)據(jù)，體現(xiàn)出本文設(shè)計(jì)算法精度較高的優(yōu)點(diǎn)。

6總結(jié)與展望

本文算法主要依據(jù)現(xiàn)有的反距離加權(quán)法進(jìn)行改進(jìn)，利用高階距離場(chǎng)來(lái)進(jìn)行待內(nèi)插點(diǎn)與等值線間的位置關(guān)系來(lái)計(jì)算內(nèi)插值。其優(yōu)點(diǎn)在于針對(duì)等值線數(shù)據(jù)類型，在算法效率方面，利用高階距離場(chǎng)計(jì)算待內(nèi)插點(diǎn)到等值線的距離，其算法效率僅于分辨率有關(guān)，效率優(yōu)于同等情況下的矢量方法計(jì)算。在精度方面，由于采用大地線距離計(jì)算，相對(duì)于歐式距離，在針對(duì)大范圍的地理區(qū)域時(shí)，其精度結(jié)果相較于投影到歐式平面的反距離加權(quán)法更加接近于真實(shí)數(shù)據(jù)，其精度也較其他的歐式平面下的算法有優(yōu)勢(shì)。

但本實(shí)驗(yàn)也暴露了設(shè)計(jì)算法的補(bǔ)足，首先由于本文設(shè)計(jì)算法僅與區(qū)域的分辨率有關(guān)，在針對(duì)同樣分辨率的同一區(qū)域下時(shí)，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目較少的情況下，其算法效率可能并不比其余算法的效率要高。其次，根據(jù)研究區(qū)域的不同，采用合適的投影方法可以有效地降低投影導(dǎo)致的誤差[11]，在這一情況下，本文算法精度也可能不會(huì)優(yōu)于其他算法。

針對(duì)以上不足，在接下來(lái)的研究中，會(huì)對(duì)外推公式進(jìn)行研究，對(duì)極值圈內(nèi)的結(jié)果進(jìn)行外推，提高極值圈內(nèi)內(nèi)插結(jié)果的精度，同時(shí)也會(huì)針對(duì)更加復(fù)雜的數(shù)據(jù)，采用更高階的距離場(chǎng)進(jìn)行內(nèi)插，提升在復(fù)雜情況下的內(nèi)插結(jié)果精度。

參考文獻(xiàn)

[1] 蔣會(huì)平，譚樹(shù)東，胡海，等.基于地圖代數(shù)的地球橢球面空間分析系統(tǒng)的研究與設(shè)計(jì)[J].地理信息世界，2015（1）：6-12.

[2] 張子昕，周強(qiáng)波.空間插值算法在GIS中的應(yīng)用[J].測(cè)繪與空間地理信息，2015（2）：103-107.

[3] 黃杏元，湯勤.地理信息系統(tǒng)概論[M].北京：高等教育出版社，1990： 215.

[4] 丁欣，徐以標(biāo)，周洋，等，基于多段分項(xiàng)式擬合的數(shù)字信號(hào)插值方法[J].指揮信息系統(tǒng)與技術(shù)，2018，9（4）：85-90.

[5] 顏慧敏.空間插值技術(shù)的開(kāi)發(fā)與實(shí)現(xiàn)[D].成都：西南石油學(xué)院， 2005.

[6] 湯新民，陳平，韓云祥，面向航空器戰(zhàn)略航跡規(guī)劃的風(fēng)場(chǎng)信息插值方法[J].指揮信息系統(tǒng)與技術(shù)，2019，10（6）：20-24.

[7] 龔有亮，何玉華，付子傲，等.一種實(shí)用的等高線內(nèi)插算法[J].測(cè)繪學(xué)院學(xué)報(bào)，2002（1）：36-37，41.

[8] 胡衛(wèi)明，吳兵，凌海濱.地圖等高線自動(dòng)內(nèi)插算法[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2000（8）：847-851.

[9] 張彩霞，楊勤科，段建軍.一種高質(zhì)量的數(shù)字高程模型（DEM）建立方法——ANUDEM法[J].中國(guó)農(nóng)學(xué)通報(bào)，2005（12）：411-415.

[10] 李新，程國(guó)棟，盧玲.空間內(nèi)插方法比較[J].地球科學(xué)進(jìn)展，2000（3）： 260-265.

[11] 蔣淑園，陳剛，胥寶新，等，空管自動(dòng)化系統(tǒng)中距離和方位角計(jì)算方法[J].指揮信息系統(tǒng)與技術(shù)，2019，10（4）：87-90.