王來(lái)全，夏米西努爾·阿布都熱合曼

(1.昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，新疆 昌吉 831100；2.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046)

一般情況下，在確定性傳染病模型中假設(shè)疾病的傳染率為常數(shù)，這在大范圍內(nèi)預(yù)測(cè)傳染病的流行趨勢(shì)是不夠理想的，傳染病的傳播應(yīng)考慮時(shí)變系數(shù)的傳染率及傳播受季節(jié)等因素的干擾[1].例如，文獻(xiàn)[2]考慮了傳染率具有季節(jié)變化的SIRS傳染病模型；文獻(xiàn)[3]提出了一類具有周期性傳播率的麻疹模型，討論了季節(jié)變化對(duì)麻疹傳播的影響；文獻(xiàn)[4]研究了季節(jié)在確定性模型和隨機(jī)模型中的作用.通過(guò)查閱文獻(xiàn)知，很少有人討論具有季節(jié)變化的隨機(jī)傳染病模型，從理論上說(shuō)含有季節(jié)變化的隨機(jī)傳染病模型得到非平凡周期解比較少見(jiàn).基于文獻(xiàn)[5]的理念，我們把易感人群分為高危易感人群和低危易感人群，且在感染率不同的情況下，假設(shè)易感者具有時(shí)變傳染率、時(shí)變出生率及時(shí)變死亡率，建立了一類具有季節(jié)變化的隨機(jī)SIR傳染病模型，討論了疾病的滅絕與持久性，分析了模型存在非平凡周期解的條件.

1 數(shù)學(xué)模型

我們把人群分為低危易感者S1(t)、高危易感者S2(t)、感染者I(t)和治愈者R(t).假設(shè)Λ(t)為易感人群的輸入量，從S1(t)轉(zhuǎn)化為S2(t)的概率為α(t)(α(t)∈(0，1))，μ(t)為各類人群的移除率(包括遷移或者死亡等情況)，γ(t)表示對(duì)患者的治愈率，低危人群和高危人群的感染率分別為β1(t)、β2(t)，且β1(t)<β2(t)；假設(shè)季節(jié)對(duì)S1(t)、S2(t)、I(t)、R(t)的隨機(jī)干擾分別為σ1(t)S1(t)dB1(t)、σ2(t)S2(t)dB2(t)、σ3(t)I(t)dB3(t)、σ4(t)R(t)dB4(t)，其中：σi(t)(i=1，2，3，4)表示噪聲干擾，Bi(t)(i=1，2，3，4)表示布朗運(yùn)動(dòng).根據(jù)生物學(xué)意義，以上時(shí)變系數(shù)均為非負(fù)數(shù).我們建立了如下隨機(jī)模型：

(1)

若f(t)在[0，+)上可積，定義若f(t)在[0，+)上有界，定義

其中：(s，x)∈I×U，I和U為閉集，B為常數(shù).

(2)

LV(t，x)≤-1， (t，x)∈(lI×U)，

(3)

2 疾病的滅絕與持久性

進(jìn)而得

(4)

根據(jù)伊藤公式得

d[v(t)(S1(t)+S2(t)+I(t))]={v(t)Λ(t)-(β1(t)+β2(t))(S1(t)+S2(t))-

(v(t)γ(t)+β1(t)+β2(t))I(t)}dt+v(t)σ1(t)S1(t)dB1(t) +

v(t)σ2(t)S2(t)dB2(t)+v(t)σ3(t)I(t)dB3(t)，

結(jié)合式(4)得

根據(jù)伊藤公式又得

即有

(5)

其中：

證畢.

假設(shè)模型(1)的時(shí)變系數(shù)是以ω為周期的函數(shù)，為了方便運(yùn)算，令x(t)=(S1(t)，S2(t)，I(t))，Λ=Λ(t)，μ=μ(t)，γ=γ(t)，β1=β1(t)，β2=β2(t)，σi=σi(t)(i=1，2，3，4).

3 ω-周期解存在性

定理3如果〈R0〉ω>0，那么模型(1)存在ω-周期解.

(6)

構(gòu)造函數(shù)

其中：w(x)∈[0，+)，滿足w′(x)=〈R0〉ω-R0(t)，w(0)=0.

易得w(x)在[0，+)上是ω-周期函數(shù)，V(t，x)也是關(guān)于t的ω-周期函數(shù)，且滿足式(2).

取σ=max{σi(t)，i=1，2，3}，根據(jù)伊藤公式得

2θΛ[(S1+S2)θ+Iθ]-μ(S1+S2)1+θ-(μ+γ)I1+θ+θσ2[(S1+S2)1+θ+I1+θ]=

2θΛ[(S1+S2)θ+Iθ]-(μ-θσ2)(S1+S2)1+θ-(μ+γ-θσ2)I1+θ，

-〈R0〉ω+(β1+β2)I+β1S2+β2S1，

綜合以上結(jié)果得到

LV(t，x)=f(S1，S2)+g(I)，

其中：

(7)

根據(jù)式(6)得到

4 結(jié) 論

我們討論了一類具有季節(jié)變化的隨機(jī)SIR傳染病模型，證明了對(duì)白噪聲的強(qiáng)度施加一定的限制，如果〈R0〉ω<0，那么模型(1)的疾病滅絕；如果〈R0〉ω>0，疾病將持久，并討論了模型(1)存在ω-周期解.