崔艷，王曉珊

山西師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，山西 臨汾 041000

多智能體由于具有自主性、分布性、協(xié)調(diào)性等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于許多科學(xué)研究，包括一致性問題[1～3]，編隊控制[4]，模擬動物集群[5]，智能體的蜂擁等問題.但是從資源利用角度看，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到一致時，保持?jǐn)?shù)據(jù)的狀態(tài)不再進(jìn)行更新，就可以減少系統(tǒng)更新的次數(shù)，不會造成通信信道的負(fù)擔(dān).于是基于事件觸發(fā)的控制策略得以發(fā)展，文獻(xiàn)[6]提出了一種事件觸發(fā)的分布式同步控制算法，Jiang等人采用反饋控制研究了一系列非線性系統(tǒng)的一致性問題.文獻(xiàn)[7]中，Xie等人利用每一個跟隨者的事件觸發(fā)線性反饋律來設(shè)計控制更新協(xié)議，解決了多智能體的全局領(lǐng)導(dǎo)跟隨控制問題.文獻(xiàn)[8]中，由Zhang等人改進(jìn)的集中式和分布式事件觸發(fā)函數(shù)被用來解決領(lǐng)導(dǎo)跟隨系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的一致性問題.以上文獻(xiàn)研究的都是基于事件觸發(fā)的多智能體系統(tǒng)的一致性.

除了對通信信道的更新次數(shù)的研究外，對于信道因?yàn)閿?shù)據(jù)傳輸慢或者拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)變化而造成輸入數(shù)據(jù)的延遲，對系統(tǒng)的影響也較大，這也是研究者們關(guān)注的一個重點(diǎn).已經(jīng)有文獻(xiàn)研究了帶有時滯的多智能體系統(tǒng)的一致性[9～11]，文獻(xiàn)[9]采用頻域分析法研究了定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下有領(lǐng)導(dǎo)者的二階時滯系統(tǒng)的一致性問題，并計算出所允許的最大時滯.而文獻(xiàn)[10]研究了混合階多智能體系統(tǒng)的組一致性問題，利用模型轉(zhuǎn)換，將閉環(huán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價系統(tǒng)，利用一系列的理論推導(dǎo)得出了系統(tǒng)到達(dá)組一致性的充分條件.隨機(jī)時滯多智能體系統(tǒng)的研究作為隨機(jī)多智能體系統(tǒng)一致穩(wěn)定性分析的一部分在文獻(xiàn)[11]中呈現(xiàn).

以上文獻(xiàn)都是針對多智能體系統(tǒng)一致性進(jìn)行研究的，但是一些實(shí)際系統(tǒng)，要求系統(tǒng)在有限時間內(nèi)達(dá)到一致，這樣才能精確的應(yīng)用到人工智能，無人機(jī)飛行控制[12]，智能機(jī)器人機(jī)械臂的協(xié)調(diào)控制[13,14]等實(shí)際中.因此，本文不僅借助事件觸發(fā)策略，研究了二階多智能體系統(tǒng)的有限時間一致，而且對實(shí)際應(yīng)用中存在的時延問題也進(jìn)行了討論，同時對于芝諾現(xiàn)象的排除也給出了具體的證明過程.

本文的主要結(jié)構(gòu)如下：第一部分是文章的基礎(chǔ)知識、一些基本的理論和必要的引理.第二部分是所設(shè)計的非線性協(xié)議和觸發(fā)條件.第三部分是一些例子及仿真的結(jié)果.最后一部分給出的是結(jié)論及今后要做的工作.

1 基礎(chǔ)知識和問題描述

1.1 基礎(chǔ)知識

1.2 問題描述

加權(quán)無向通信拓?fù)銰(V,E,A)，每個智能體可視為拓?fù)鋱D中的頂點(diǎn)，智能體之間的信息傳輸可視為圖的邊，具有跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者的二階多智能體系統(tǒng)的動態(tài)模型如下：

(1)

其中，Xi(t)、Vi(t)、U(t)分別是智能體的位置狀態(tài)、速度狀態(tài)和控制輸入.x0(t),v0(t)是領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)，并且Vit(s)=Vi(t+s)

定義1 有限時間一致：多智能體系統(tǒng)(1)稱為有限時間一致，如果存在一個確定時間T0∈[0,+∞)，使得每一個智能體的狀態(tài)滿足以下等式：確定允許每個智能體的狀態(tài)滿足以下條件：

并且對于任意的t≥T0都滿足Xi(t)-X0(t)→0,Vi(t)-V0(t)→0,i,j∈I.

定義2[ 15]考慮系統(tǒng)

(2)

其中，f(x)=(f1(x),f2(x),...,fn(x))T是一個連續(xù)的向量場.如果對于任意的f(x)都有fi(εr1x1,εr2x2,...,εrnxn)=εk+rifi(x),ε>0,i∈1,2,...,n,?x∈Rn則f(x)是帶有擴(kuò)張(r1,r2,...,rn)的度k(k∈R)的齊次性.

如果系統(tǒng)的向量場是齊次的，則該系統(tǒng)就是齊次的.

定義3[15]此外，考慮以下系統(tǒng)

(3)

(4)

其中，ri是系統(tǒng)狀態(tài)變量xi對應(yīng)的權(quán)重.

引理1 如果系統(tǒng)是齊次的，并且是局部漸近穩(wěn)定的，則系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的.這個性質(zhì)同樣適用于有限時間穩(wěn)定.

引理2 考慮下列系統(tǒng)

其中，X(t),V(t),U(t)∈Rn，a,bk,τk是正的常數(shù).

現(xiàn)在系統(tǒng)(1)具體表示為如下形式：

+β1sig(Xj(t)-Xi(t))α1+β2sig(Vj(t)-Vi(t))α2

-bisig(Xi(t-τk)-X0(t-τk))α1-bisig(Vi(t-τk)-V0(t-τk))α2

應(yīng)用引理2，系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)換為如下形式：

2 主要結(jié)果

定義智能體i的位置測量誤差定義為

(5)

智能體i的速度測量誤差表示為

(6)

(7)

因此，我們得到：

(8)

因此可以得到

(9)

其中，

(10)

本文所采用的協(xié)議是分布式控制協(xié)議，它不僅可以有效地降低智能體之間的連通強(qiáng)度，同時可以降低智能體的觸發(fā)次數(shù).下面研究的是控制協(xié)議在拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)中的有限時間一致.

引理3 相似于參考文獻(xiàn)[15]的分析，如果系統(tǒng)(9)是漸近穩(wěn)定的，且?guī)в袛U(kuò)張(2,2,...,2|α1+1,α2+1,...,αn+1)的度k=α1-1<0是齊次的，則系統(tǒng)可以在有限時間內(nèi)達(dá)到一致.

智能體i的觸發(fā)條件表示如下：

(11)

其中，M,N是確定的正常數(shù).

定理1 對于系統(tǒng)(9)中的無向連通網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D，結(jié)合事件觸發(fā)條件(11)，使得系統(tǒng)在控制協(xié)議(7)作用下實(shí)現(xiàn)具有隨機(jī)時延的二階系統(tǒng)限時間一致.

證明 構(gòu)造候選李雅普諾夫函數(shù)

對V(t)進(jìn)行求導(dǎo)，

則

(12)

因?yàn)?/p>

(13)

結(jié)合事件觸發(fā)條件得到

所以

根據(jù)LaSalle’s的不變原理，系統(tǒng)(9)是漸近穩(wěn)定的.即，當(dāng)t→+∞，有xi-x0→0;vi-v0→0,?i∈I.

接下來要證明的是系統(tǒng)有負(fù)的齊次度并且滿足等式(4).控制協(xié)議改寫成為u=u1+u2,

其中,R1=r1+β1,R2=r2+β2.

而且

接下來，證明事件觸發(fā)引起的芝諾現(xiàn)象可以排除.芝諾現(xiàn)象指的是在有限的事件內(nèi)存在無限次觸發(fā)，即任意兩個連續(xù)觸發(fā)時刻的間隔為0.

定理2 對于多智能體系統(tǒng)(1)，如果設(shè)計一個事件觸發(fā)條件(11)，結(jié)合一致性控制(7)，滿足系統(tǒng)中任意兩個連續(xù)觸發(fā)時刻間隔tk+1-tk都不小于τ，其中

(14)

3 仿真

在這一部分中，基于事件觸發(fā)的非線性一致性控制協(xié)議應(yīng)用到二階隨機(jī)時延系統(tǒng)中，驗(yàn)證所提出理論的有效性.

圖1 拓?fù)鋱D中4個智能體的位置狀態(tài)Fig.1 Thepositionstatesofthefouragentsinthetopology圖2 拓?fù)鋱D中4個智能體的速度狀態(tài)Fig.2 Thevelocitystatesofthefouragentsinthetopology

圖3 拓?fù)鋱D中4個智能體觸發(fā)時刻的值Fig.3 Theevent-triggeredvaluesofthefouragentsinthetopology圖4 拓?fù)鋱D中4個智能體的觸發(fā)間隔Fig.4 Theevent-triggeredintervalofthefouragentsinthetopology

圖5 文獻(xiàn)[16]中4個智能體觸發(fā)時刻的值Fig.5 Theevent-triggeredvaluesoffouragentsin[16]圖6 文獻(xiàn)[16]中4個智能體的觸發(fā)間隔Fig.6 Theevent-triggeredintervaloffouragentsin[16]

4 結(jié)論

本文研究的是二階隨機(jī)時延有限時間一致問題.首先將系統(tǒng)通過函數(shù)轉(zhuǎn)化為一般的系統(tǒng)，再結(jié)合分布式事件觸發(fā)條件，提出了一個新的非線性控制輸入?yún)f(xié)議.在異步更新的控制策略下，不僅使得智能體的更新次數(shù)減少，而且拓?fù)渲械母S者可以跟蹤到領(lǐng)導(dǎo)者.另外，也證明了所提出的協(xié)議和觸發(fā)條件可以排除芝諾現(xiàn)象.在未來的研究中，可以嘗試在高階系統(tǒng)中研究，還可以針對事件觸發(fā)的具體條件參數(shù)做進(jìn)一步研究.另外對于系統(tǒng)存在的干擾或不確定性等因素，也將在以后的工作中展開.