侯曉磊

山西工商學(xué)院計(jì)算機(jī)信息工程學(xué)院，山西 太原 030006

文獻(xiàn)[1]研究了方程((r2(t)r1(t)y′)′)′+p(t)y′+q(t)f(y)=0，利用廣義Riccati變換建立了該方程至少存在一個(gè)振動(dòng)解的充分條件.文獻(xiàn)[2]進(jìn)一步研究了形式為((r2(t)r1(t)y′)′)′+p(t)y′+q(t)f(y(g(t)))=0的三階非線性時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性.文獻(xiàn)[3]研究了

(a)r1,r2∈C[T0,+∞),r1>0,r2>0;

(b)q∈C[T0,+∞),q(t)≥0且當(dāng)t趨于無窮大時(shí)q(t)≠0;

(c)p∈C1[T0,+∞),p(t)≥0;

(e)f∈C1(-∞,+∞)∩C1(-∞,0)∩C′(0,+∞),uf(u)>0,f′(u)≥0(u≠0);

在以上研究的基礎(chǔ)上，本文討論的是下列三階時(shí)滯泛函微分方程的振動(dòng)性

(r2(t)(r1(t)y′(t))′)′+p(t)y′(t)+q(t)f(y(σ1(t)),y(σ2(t)),...,y(σk(t)))=0t≥T0

(1)

這里T0>0，此方程滿足下列條件：

(a)r1,r2∈C[T0,+∞),r1>0,r2>0;

(b)q∈C[T0,+∞),q(t)≥0且當(dāng)t趨于無窮大時(shí)q(t)≠0;

(c)p∈C1[T0,+∞),p(t)≥0;

1 準(zhǔn)備工作

引理1 假設(shè)

(2)

是非振動(dòng)的,如果y(t)是方程(1)的一個(gè)非振動(dòng)解,那么如果存在一個(gè)T1≥T0,對(duì)于所有的t≥T1,有y(t)L1y(t)>0或y(t)L1y(t)<0.

證明 設(shè)y(t)是方程(1)的一個(gè)最終正解,存在一個(gè)T1≥T0對(duì)于所有的t≥T1時(shí),總有y(t)>0,y(σi(t))>0(σi(t)≥T1).顯然x(t)=-L1y(t)是二階非齊次微分方程

(3)

的解.下證方程(3)的所有是非振動(dòng)的.令z(t)是(2)式的一個(gè)解,z(t)>0.設(shè)x(t)是方程(3)的一個(gè)解，如果它有兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)b,c(b0,t∈(b,c),x′(b)≥0,x′(b)≤0,并有

(4)

(5)

將(2)式乘以x(t)減去(3)式乘以z(t)有

x(t)(r2(t)z′(t))′-z(t)(r2(t)x′(t))′=-q(t)z(t)f(y(σ1(t)),y(σ2(t)),...,y(σk(t)))=0

即

r2(t)(x(t)z′(t))-(x′(t)z(t))′=-q(t)z(t)f(y(σ1(t)),y(σ2(t)),...,y(σk(t)))=0

(6)

將(6)式從b到c積分得

矛盾,所以對(duì)于所有的t≥T1,有y(t)L1y(t)>0或y(t)L1y(t)<0.

(7)

若y(t)是方程(1)的一個(gè)非振動(dòng)解,并且當(dāng)t充分大時(shí),有y(t)L1y(t)≥0,那么存在一個(gè)T2≥T1,使得對(duì)于所有的t≥T2時(shí)有

L0y(t)Lky(t)>0k=0,1,2L0y(t)L3y(t)≤0

(8)

證明y(t)是方程(1)的一個(gè)非振動(dòng)解,我們不妨設(shè)y(t)>0,顯然

L0y(t)L0y(t)=y2(t)>0L0y(t)L1y(t)=y(t)L1y(t)>0

由L3y(t)≤0知L2y(t)是遞減函數(shù),不妨設(shè)L2y(t)≤0,那么存在一個(gè)正數(shù)M1，使

(9)

(10)

易證每個(gè)具有V2性質(zhì)的非振動(dòng)解y(t)是無界的.

p2′(t)≥0φ(t)≥0φ′(t)≥0

(11)

(12)

2 主要結(jié)果

其中,C=L2y(T),得L2y(t)<0.矛盾.