洪妙英， 王淼坤

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院， 浙江 湖州313000)

0 引 言

S=4sl-1(1),

其中，

近幾年,雙紐線正弦函數(shù)及其反函數(shù)的一些性質(zhì)與不等式被廣泛研究.陳超平[4]建立了sl(x)的Wilker型不等式和Huygens型不等式;王根娣等[5]考慮了sl-1(x)的Shafer-Fink型不等式.更值得一提的是，雙紐線正弦函數(shù)是最近特殊函數(shù)的研究熱點(diǎn)——雙參數(shù)廣義三角正弦函數(shù)sinp,q(x)當(dāng)p=2,q=4時(shí)的特殊情形,它與超幾何函數(shù)及其微分方程的特征值問(wèn)題密切相關(guān)[6].

設(shè)α∈,α階冪平均Mα(x,y)定義如下:

設(shè)f在的子區(qū)間I上連續(xù),且f(I)?(0,+).令a,b∈,若對(duì)所有的x,y∈I,f滿足不等式

f(Ma(x,y))≤(≥)Mb(f(x),f(y)),

則稱f在I上是Ma,b-凸(凹)的.若對(duì)上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立,則稱f是嚴(yán)格Ma,b-凸(凹)的.特別當(dāng)a=b=1時(shí),M1,1-凸(凹)性就退化為平常函數(shù)的凸(凹)性.

在過(guò)去的10余年間,眾多學(xué)者研究了廣義三角函數(shù)[7-8]、雅可比正弦函數(shù)[9]、高斯超幾何函數(shù)[10]、橢圓積分[11-12]等特殊函數(shù)的Ma,b-凹凸性.如Baricz[13]考察了零平衡超幾何函數(shù)F(a,b;a+b;x)(a,b>0)的Ma,b-凸性,發(fā)現(xiàn)當(dāng)(a,b)∈{(a,b)|a≤2,b≥0}時(shí),第一類完全橢圓積分K(r)在(0,1)上是嚴(yán)格Ma,b-凸的.隨后，使得K(r)在(0,1)上嚴(yán)格Ma,b-凸的完整區(qū)域被王淼坤等[14]證明.

本文主要考慮雙紐線正弦函數(shù)sl(x)及其反函數(shù)sl-1(x)的Ma,b-凸(凹)性,得出的主要結(jié)論如下:

定理1反雙紐線正弦函數(shù)sl-1x在(0,1)上是Ma,b-凸的當(dāng)且僅當(dāng)

(b,a)∈D={(b,a)|a≤1+L(b)},

其中，

是一個(gè)連續(xù)函數(shù),且當(dāng)b≥-4時(shí),L(b)=b-1；當(dāng)b<-4時(shí),L(b)

推論1雙紐線正弦函數(shù)sl(x)在(0,sl-1(1))上是Ma,b-凹的當(dāng)且僅當(dāng)

(a,b)∈D={(a,b)|b≤1+L(a)},

其中，

是一個(gè)連續(xù)函數(shù),且當(dāng)a≥-4時(shí),L(a)=a-1；當(dāng)a<-4時(shí),L(a)

為書寫方便，本文第二和第三部分將sl-1(x)簡(jiǎn)記為sl-1x.

1 引 理

引理1(單調(diào)性洛必達(dá)法則) 設(shè)-

在(a,b)上也是嚴(yán)格單調(diào)增加(減小).

引理2函數(shù)f(x)=(sl-1x)/x從(0,1)到(1,sl-11)上嚴(yán)格單調(diào)增加.

證明令

f1(x)=sl-1x,f2(x)=x,

則

f(x)=f1(x)/f2(x),f1(0)=f2(0)=0,

引理3函數(shù)g(x)=(3x8-2x4+3)/(1-x4)在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)增加.

證明對(duì)g(x)求導(dǎo)得:

其中，

G(x)=-3x8+6x4+1

在(0,1)上恒正.因此,g(x)在(0,1)上嚴(yán)格單調(diào)增加.

引理4函數(shù)

證明令

φ1(x)=[8x3(sl-1x)2(1-x4)-1/2](1+x4)-1,

φ2(x)=sl-1x-x(1-x4)1/2(1+x4)-1,

則

φ(x)=φ1(x)/φ2(x),φ1(0)=φ2(0)=0,

8x4(1-x4)-1/2(1+x4)-2[3x-2(sl-1x)2(1+x4)+2x-1sl-1x(1-x4)-1/2(1+x4)+

2x2(sl-1x)2(1-x4)-1(1+x4)-4x2(sl-1x)2],

x(1-x4)1/2(1+x4)-2(4x3)]=8x4(1-x4)-1/2(1+x4)-2，

(1+x4)φ2(x)=(sl-1x)(1+x4)-x(1-x4)1/2>0.

引理5設(shè)b∈,

則下面結(jié)論成立:

(1) 若b≥-4,則φb(x)從(0,1)到(b-1,+)上是嚴(yán)格單調(diào)遞增的,L(b)=b-1;

(2) 若b<-4,則存在λ∈(0,1),使得φb(x)在(0,λ)上是嚴(yán)格單調(diào)減小的,在(λ,1)上是嚴(yán)格單調(diào)增加的,且φb(x)的值域是(L(b),+),其中L(b)

證明令

φb1(x)=(b-1)x(1-x4)1/2+2x4sl-1x,φb2(x)=(1-x4)sl-1x.

則

φb(x)=φb1(x)/φb2(x),φb1(0)=φb2(0)=0,

對(duì)φb(x)求導(dǎo)得：

其中，φ(x)如引理4.

下面分兩種情形證明：

情形Bb<-4.由引理4知，存在λ∈(0,1),使得φb(x)在(0,λ)上是嚴(yán)格單調(diào)減小的,在(λ,1)上是嚴(yán)格單調(diào)增加的.因此,φb(x)的值域是(L(b),+).

引理6設(shè)a,b∈,

L(b)同引理5定義.則下面結(jié)論成立:

作為一門學(xué)習(xí)課程，最終要以學(xué)習(xí)成績(jī)來(lái)體現(xiàn)學(xué)習(xí)效果。完善課程的考核體系，既是教師維護(hù)課堂紀(jì)律、進(jìn)行課堂管理之需，同時(shí)也是衡量各團(tuán)隊(duì)、各成員學(xué)習(xí)效果的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

(1)ηa,b(x)在(0,1)上是嚴(yán)格單調(diào)增加的，當(dāng)且僅當(dāng)a≤1+L(b);

(2) 若a>1+L(b),ηa,b(x)在(0,1)上不是單調(diào)函數(shù).

證明對(duì)ηa,b(x)對(duì)數(shù)求導(dǎo)得：

其中φb(x)同引理5.

顯然根據(jù)引理5知，引理6的論斷正確.

2 主要結(jié)果證明

定理1的證明分兩種情形證明：

情形1b≠0.

不失一般性,假設(shè)0

(1)

令t=Ma(x,y),則?t/?x=(x/t)a-1/2.如果xx.對(duì)J(x,y)求導(dǎo)可得：

(2)

其中，ηa,b(x)如引理6.

把情形1的證明分為兩種子情形：

子情形1.1a≤1+L(b).由式(2)和引理6知:若b>0,則?J/?x>0;若b<0,則?J/?x<0.因此,當(dāng)b>0時(shí),J(x,y)J(y,y)=0.結(jié)合式(1)知，當(dāng)a≤1+L(b)時(shí),如下不等式對(duì)所有x,y∈(0,1)恒成立：

sl-1(Ma(x,y)≤Mb(sl-1x,sl-1y).

不難驗(yàn)證當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，上述不等式的等號(hào)成立.因此,當(dāng)(b,a)∈{(b,a)|a≤1+L(b),b≠0}時(shí),反雙紐線正弦函數(shù)sl-1x在(0,1)上是嚴(yán)格Ma,b-凸的.

子情形1.2a>1+L(b).由式(1)和式(2),引理6及其子情形1.1中類似的討論可知，sl-1x在(0,1)上既不是Ma,b-凸的又不是Ma,b-凹的.

情形2b=0.

不妨設(shè)0

(3)

令t=Ma(x,y),則?t/?x=(x/t)a-1/2.如果xx.對(duì)I(x,y)對(duì)數(shù)求導(dǎo)得：

(4)

其中,ηa,b(x)如引理6.顯然,b=0>-4,L(b)=-1.

把情形2的證明分為兩種子情形：

子情形2.1a≤1+L(b)=0.由式(4)和引理6知?I/?x>0, 故I(x,y)≤I(y,y)=1.結(jié)合式(3)知，當(dāng)x,y∈(0,1)時(shí),

sl-1(Ma(x,y)≤Mb(sl-1x,sl-1y),

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等式成立.

因此,當(dāng)(b,a)∈{(b,a)|a≤0,b=0}時(shí),反雙紐線正弦函數(shù)sl-1x在(0,1)上是嚴(yán)格Ma,b-凸的.

子情形2.2a>0.由式(3)、式(4)、引理6及其子情形2.1中類似的討論可知，sl-1x在(0,1)上既不是Ma,b-凸的，又不是Ma,b-凹的.

推論1的證明

若sl-1x是在(0,1)上是Ma,b-凸的,則

sl-1(Ma(x,y)≤Mb(sl-1x,sl-1y),x,y∈(0,1).

若令

x=sl(u),y=sl(v),u,v∈(0,sl-11),

則

Ma(sl(u),sl(v))≤sl(Mb(u,v)).

因此,雙紐線正弦函數(shù)sl(x)在(0,sl-11)上是Mb,a-凹的.利用定理1的結(jié)論即得推論1成立.