徐慧茹，陳 純，王佳偉

(陜西理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定緊湊、承載能力強(qiáng)、無累計(jì)誤差、精度較高等優(yōu)點(diǎn)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，其中并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模是實(shí)現(xiàn)其高速、高精度運(yùn)動(dòng)控制的前提條件[1-4]。在總結(jié)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析目標(biāo)的基礎(chǔ)上，典型的動(dòng)力學(xué)研究方法主要有牛頓-歐拉法、拉格朗日法和凱恩法等，其中根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能建立的基于虛功原理的拉格朗日法，推導(dǎo)過程簡(jiǎn)單且得到的動(dòng)力學(xué)方程在形式上相對(duì)簡(jiǎn)潔，并且能夠清楚地表達(dá)各構(gòu)件之間的耦合關(guān)系[5-7]?，F(xiàn)今許多國(guó)內(nèi)學(xué)者都對(duì)不同類型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)研究[8-11]。朱偉等[12]運(yùn)用虛功原理建立了SCARA并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，通過仿真驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。王瀟劍等[13]以一種2UPU/SP并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，建立了該3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并基于虛功原理，推導(dǎo)了動(dòng)力學(xué)模型，給出了一種動(dòng)力學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。張軍等[14]以3-PPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，運(yùn)用拉格朗日方程法和虛功原理建立了該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并通過仿真驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

本文基于球面二自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)原型，設(shè)計(jì)了一種結(jié)構(gòu)新穎的2自由度并聯(lián)偏轉(zhuǎn)平臺(tái)，因其動(dòng)平臺(tái)獨(dú)特的偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，故主要應(yīng)用在大型游樂設(shè)施或模擬軍事訓(xùn)練中。

1 機(jī)構(gòu)描述

球面2自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)又稱空間五桿機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)所有運(yùn)動(dòng)副皆為轉(zhuǎn)動(dòng)副，且其軸線都相交于一點(diǎn)[15]。該機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)是兩個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)放在同一平面內(nèi)固定，兩電機(jī)主軸軸線相互垂直，兩軸線的交點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)副軸線的交點(diǎn)重合皆為機(jī)構(gòu)的球心，動(dòng)平臺(tái)只做圍繞球心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。本文基于球面2自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)設(shè)計(jì)一種能使動(dòng)平臺(tái)同時(shí)繞X、Y軸兩個(gè)方向上偏轉(zhuǎn)±45°的平臺(tái)。

在SolidWorks中建立并聯(lián)偏轉(zhuǎn)平臺(tái)的模型，如圖1所示。該平臺(tái)主要由機(jī)座11、驅(qū)動(dòng)架9、凸形驅(qū)動(dòng)架3、驅(qū)動(dòng)環(huán)2以及各銷軸組成，其中固定在凸形驅(qū)動(dòng)架3上的兩個(gè)銷軸4以及固定在驅(qū)動(dòng)環(huán)2上的兩個(gè)銷軸7構(gòu)成四點(diǎn)共同承擔(dān)動(dòng)平臺(tái)5的偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，以保證平臺(tái)偏轉(zhuǎn)時(shí)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。凸形驅(qū)動(dòng)架3通過角接觸球軸承(圖中未標(biāo)出)和銷軸4由轉(zhuǎn)動(dòng)副與動(dòng)平臺(tái)5連接，驅(qū)動(dòng)環(huán)2通過角觸球軸承(圖中未標(biāo)出)和銷軸7由轉(zhuǎn)動(dòng)副與動(dòng)平臺(tái)5連接。驅(qū)動(dòng)環(huán)左側(cè)、驅(qū)動(dòng)架右側(cè)分別通過固定在他們自身上的銷軸與機(jī)座連接，限制了兩個(gè)銷軸的自轉(zhuǎn)與驅(qū)動(dòng)環(huán)2、驅(qū)動(dòng)架9的軸向移動(dòng)。驅(qū)動(dòng)架9與凸形驅(qū)動(dòng)架3通過銷軸8連接，驅(qū)動(dòng)架左側(cè)和驅(qū)動(dòng)環(huán)右側(cè)分別安裝在電機(jī)10、1的主軸上，電機(jī)10、1固定在機(jī)座上。當(dāng)兩個(gè)電機(jī)啟動(dòng)時(shí)，各驅(qū)動(dòng)支架和銷軸帶動(dòng)動(dòng)平臺(tái)5實(shí)現(xiàn)同時(shí)繞X、Y軸兩個(gè)方向上±45°的偏轉(zhuǎn)，且平臺(tái)偏轉(zhuǎn)時(shí)各構(gòu)件不會(huì)產(chǎn)生干涉。該平臺(tái)的材料屬性如表1所示。

圖1 并聯(lián)驅(qū)動(dòng)偏轉(zhuǎn)平臺(tái)模型

表1 材料屬性參數(shù)

2 輸入輸出運(yùn)動(dòng)方程

如圖1所示，驅(qū)動(dòng)電機(jī)10、1的輸入角度分別為α和β，動(dòng)平臺(tái)5繞X、Y軸的輸出角度分別為θx和θy。現(xiàn)已知?jiǎng)悠脚_(tái)5繞X、Y軸的偏轉(zhuǎn)角度分別為θx和θy，來反解出驅(qū)動(dòng)電機(jī)10、1的偏轉(zhuǎn)角度α、β。

安裝在電機(jī)1主軸上的驅(qū)動(dòng)環(huán)2被其驅(qū)動(dòng)，通過銷軸7使動(dòng)平臺(tái)5繞Y軸偏轉(zhuǎn)了θy，將動(dòng)平臺(tái)在繞Y軸方向上的位置偏轉(zhuǎn)簡(jiǎn)化成如圖2所示的空間幾何關(guān)系，可知驅(qū)動(dòng)環(huán)2繞Y軸的偏轉(zhuǎn)角度等于動(dòng)平臺(tái)5繞Y軸的偏轉(zhuǎn)角度，所以動(dòng)平臺(tái)在繞Y軸偏轉(zhuǎn)時(shí)的位置解為

β(t)=θy(t)。

(1)

安裝在電機(jī)10主軸上的驅(qū)動(dòng)架9被其驅(qū)動(dòng)，而凸形驅(qū)動(dòng)架3通過銷軸8與驅(qū)動(dòng)架9連接，通過凸形驅(qū)動(dòng)架上的銷軸4使動(dòng)平臺(tái)5繞X軸偏轉(zhuǎn)了θx，所以驅(qū)動(dòng)架9繞X軸的偏轉(zhuǎn)角度并不等于動(dòng)平臺(tái)5繞X軸的偏轉(zhuǎn)角度。假設(shè)在驅(qū)動(dòng)環(huán)2偏轉(zhuǎn)θy度的前提下，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)繞X軸的偏轉(zhuǎn)角度為θx時(shí)，此時(shí)驅(qū)動(dòng)架9繞X軸的偏轉(zhuǎn)角度并不是θx，而是θx1。將動(dòng)平臺(tái)在繞X軸方向上的位置偏轉(zhuǎn)簡(jiǎn)化成如圖3所示的空間幾何關(guān)系。

由圖3可得

(2)

將θx1=α代入式(2)得

α(t)=arctan(tanθx(t)cosθy(t))，

(3)

將式(1)、(3)整理成矩陣形式

(4)

從式(4)中可以看出，驅(qū)動(dòng)電機(jī)1的偏轉(zhuǎn)角度只與動(dòng)平臺(tái)5繞Y軸的角度θy有關(guān)；而驅(qū)動(dòng)電機(jī)10的偏轉(zhuǎn)角度不光與動(dòng)平臺(tái)5繞X軸的角度θx有關(guān)，還與其繞Y軸的角度θy有關(guān)，二者之間存在耦合關(guān)系[16]。

圖2 繞Y軸偏轉(zhuǎn)示意圖 圖3 繞X軸偏轉(zhuǎn)示意圖

對(duì)上述平臺(tái)的位置逆解分析中得到的平臺(tái)位置方程(4)求其對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)可得該平臺(tái)的速度逆解，即

(5)

則該平臺(tái)的速度Jacobian矩陣為

(6)

3 動(dòng)力學(xué)建模

對(duì)該平臺(tái)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，采用拉格朗日方法建立其動(dòng)力學(xué)模型。該方法從系統(tǒng)的動(dòng)能出發(fā)(勢(shì)能為0)，推導(dǎo)步驟簡(jiǎn)單，建立的拉格朗日方程形式簡(jiǎn)便易求解[17]。利用動(dòng)力學(xué)方程，結(jié)合平臺(tái)的位置方程、速度Jacobian矩陣和動(dòng)能方程，在給定動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律情況下，可反解出兩個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出力矩。

3.1 動(dòng)能方程

平臺(tái)總動(dòng)能T可表示為

T=T1+T2，

(7)

式中T1為當(dāng)平臺(tái)繞X軸偏轉(zhuǎn)時(shí)，驅(qū)動(dòng)架、凸形驅(qū)動(dòng)架、動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)能，T2為當(dāng)平臺(tái)繞Y軸偏轉(zhuǎn)時(shí)，驅(qū)動(dòng)環(huán)和動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)能。

動(dòng)能T1的表達(dá)式為

(8)

(9)

動(dòng)能T2的表達(dá)式為

(10)

(11)

故可得平臺(tái)總動(dòng)能：

(12)

3.2 平臺(tái)的廣義坐標(biāo)與廣義力分析

由機(jī)構(gòu)自由度的概念可知，機(jī)構(gòu)具有確定運(yùn)動(dòng)時(shí)所給定的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目等于機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目，此時(shí)的獨(dú)立參數(shù)又稱為廣義坐標(biāo)。該平臺(tái)共有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，因此需要2個(gè)獨(dú)立參數(shù)。為了求得廣義坐標(biāo)qk下的廣義力Qk，不妨設(shè)一個(gè)廣義坐標(biāo)qk不為零，另一個(gè)廣義坐標(biāo)qk為零，則根據(jù)虛功原理可得

QkΔqk=∑δW′=MΔφ+MkΔqk(k=1,2)，

(13)

其中

M=Mxi+Myj+Mzk,

Δφ=Δφxi+Δφyj+Δφzk,

φ=(θx,θy)T，

式中Mx、My為在X、Y兩個(gè)方向上動(dòng)平臺(tái)所受外力矩，Δφx、Δφy為動(dòng)平臺(tái)繞X、Y兩個(gè)方向上的偏轉(zhuǎn)角度，Mk為驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出力矩。

對(duì)式(13)兩邊同除Δqk，得

(14)

整理式(14)可得

(15)

(16)

3.3 非保守系統(tǒng)下的拉格朗日方程

該平臺(tái)非保守系統(tǒng)下的拉格朗日方程為

(17)

將式(12)代入式(17)中，可求解出：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

將式(19)、(20)、(22)、(23)代入式(17)，得

(24)

(25)

將式(24)、(25)代入式(16)得平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型為

(26)

4 動(dòng)力學(xué)仿真與數(shù)值算例

為了驗(yàn)證所建立的平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型的正確性，現(xiàn)給出平臺(tái)的參數(shù)和所受附加力矩，利用Adams軟件對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，將虛擬樣機(jī)仿真得到的電機(jī)輸出力矩值和理論值對(duì)比，驗(yàn)證平臺(tái)在給定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下電機(jī)的力學(xué)特性。利用SolidWorks軟件測(cè)得平臺(tái)各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，I1=56 952.947 kg·mm2，I2=18 650.464 kg·mm2，I4=77 127.60 kg·mm2，Ixx=126 697.17 kg·mm2，Ixy=-2 658.23 kg·mm2，Iyx=-2 658.23 kg·mm2，Iyy=116 689.93 kg·mm2。

為了更加直觀了解平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型的特性，在Adams軟件仿真中加入擾動(dòng)項(xiàng)，可使所模擬的環(huán)境更貼合工程實(shí)際。假設(shè)動(dòng)平臺(tái)所受附加外力矩為Mx=5.0 N·m、My=5.0 N·m，動(dòng)平臺(tái)繞X、Y軸的運(yùn)動(dòng)輸入分別為

(27)

根據(jù)所給定的平臺(tái)參數(shù)、平臺(tái)所受外力矩和速度函數(shù)，利用Adams軟件對(duì)平臺(tái)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，得到驅(qū)動(dòng)電機(jī)10、1的輸出力矩M1、M2的曲線圖，如圖4所示。

圖4 輸出力矩曲線圖

從圖4中可知，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)輸入確定時(shí)，電機(jī)1的輸出力矩M2在全時(shí)刻下的相對(duì)力矩均比電機(jī)10的輸出力矩M1大，與上述運(yùn)動(dòng)學(xué)的結(jié)論一致，驗(yàn)證了該平臺(tái)理論分析的正確性。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)受到繞X、Y軸的同等外力矩時(shí)，驅(qū)動(dòng)電機(jī)10、1輸出的力矩M1、M2在全時(shí)刻下的最值差異不大，故可知該平臺(tái)具有良好的動(dòng)力學(xué)性能，這為實(shí)際工況下的操作過程減少了難度。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型的正確性，根據(jù)該平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型式(26)可計(jì)算出兩個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出力矩，將計(jì)算所得的電機(jī)輸出力矩和Adams軟件仿真所得的進(jìn)行比較，如圖5、圖6所示。

圖5 電機(jī)10輸出力矩對(duì)比曲線圖 圖6 電機(jī)1輸出力矩對(duì)比曲線圖

在上述兩個(gè)圖中分別取電機(jī)10和電機(jī)1的輸出力矩最小值，進(jìn)而計(jì)算出所得理論值與仿真值的相對(duì)誤差，從而進(jìn)一步驗(yàn)證該平臺(tái)動(dòng)力學(xué)的正確性。驅(qū)動(dòng)電機(jī)10的最小輸出力矩M1min的仿真值與理論值分別為M1min_f=4.840 1 N·m，M1min_l=4.831 1 N·m。驅(qū)動(dòng)電機(jī)1的最小輸出力矩M2min的仿真值與理論值分別為M2min_f=7.777 0 N·m，M2min_l=7.773 1 N·m。

則兩個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的最小輸出力矩的相對(duì)誤差為

由上式結(jié)果可知，通過軟件仿真和理論計(jì)算所得到的力矩相對(duì)誤差比較小，進(jìn)一步驗(yàn)證了該平臺(tái)理論分析的正確性。

5 結(jié)論

根據(jù)該偏轉(zhuǎn)平臺(tái)的幾何和運(yùn)動(dòng)特性，求解出了平臺(tái)的位置逆解方程和速度雅克比矩陣。通過對(duì)該平臺(tái)模型的簡(jiǎn)化，得到了平臺(tái)的總動(dòng)能，并利用非保守系統(tǒng)下的拉格朗日方程和虛功原理建立了該平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型，在特定外力矩和運(yùn)動(dòng)輸入情況下求解出了電機(jī)的輸出力矩。運(yùn)用Adams軟件對(duì)該平臺(tái)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，通過仿真結(jié)果和理論結(jié)果的對(duì)比，求解出了電機(jī)的最小輸出力矩的相對(duì)誤差，均較小，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論分析的正確性，并為后續(xù)研究相關(guān)類型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)奠定了基礎(chǔ)。