何 笑,王 剛,盧維娜

(新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830017)

小波分析[1]具有良好的局部化能力和多分辨率分析能力,它是在Fourier分析的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的一種新的時(shí)頻分析工具。同時(shí)其具有提供時(shí)間和頻率分析能力,也是信號(hào)處理中的有力工具[1-6]。已知利用濾波可以從復(fù)雜的信號(hào)中提取所需要的信息,而濾波器同樣具備一些重要的性質(zhì)[7-9]。但是同時(shí)具有正交性、緊支撐和對(duì)稱性這些性質(zhì)的小波只有Haar小波[1-10]。與雙正交提升方案相同,二進(jìn)提升方案[1]使小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域得到了拓展,其可根據(jù)實(shí)際需求構(gòu)造不同的二進(jìn)小波或雙正交小波。研究從消失矩的條件出發(fā),根據(jù)該方案提出了一種新的提升二進(jìn)小波濾波器的構(gòu)造方法,并且將所構(gòu)造的濾波器應(yīng)用于圖像增強(qiáng)中。實(shí)驗(yàn)表明圖像的信息熵、清晰度以及峰值信噪比都有了明顯提高,對(duì)圖像質(zhì)量的改善有了一定的幫助,提高了圖像的利用價(jià)值。

1 二進(jìn)提升方案

(1)

(2)

2 B-樣條二進(jìn)小波的構(gòu)造

所提方法是Mallat提出的構(gòu)造方法[1]的推廣,m次B-樣條函數(shù)φ(t)是特征函數(shù)χ[0,1](t)與其自身的m+1次卷積的平移,即

φ(t)=χ*χ*…*χ[0,1](t),

(3)

其傅里葉變換為

那么,由二尺度關(guān)系可得

(4)

(5)

由式(2)可得

(6)

所以由式(1)可得

(7)

尺度函數(shù)φ(t)與小波函數(shù)ψ(t)在r=2,m=3時(shí)的B-樣條二進(jìn)小波濾波器的系數(shù)見表1。初始尺度函數(shù)φ(t)與小波ψ(t)的圖形見圖1。

表1 r=2,m=3時(shí)的B-樣條初始二進(jìn)小波濾波器的系數(shù)

圖1 初始尺度函數(shù)φ(t)與小波ψ(t)的圖形Fig.1 Graph of initial scaling function φ(t) and wavelet ψ(t)

3 二進(jìn)提升小波的構(gòu)造

3.1 構(gòu)造定理

根據(jù)文獻(xiàn)[1]中提出的二進(jìn)提升方案,調(diào)整方案中自有參數(shù)的形式,可以構(gòu)造滿足某種特性的B-樣條二進(jìn)小波濾波器。

(8)

(9)

(2) 若二進(jìn)小波分解高通濾波器g0有p階消失矩,則提升后的二進(jìn)小波分解高通濾波器g有至少p+1階消失矩的充分條件是

反復(fù)應(yīng)用該定理,q(q>p)階消失矩的二進(jìn)分解高通濾波器可以被構(gòu)造出。

3.2 提升二進(jìn)小波的構(gòu)造

以r=2,m=3構(gòu)造的新的B-樣條二進(jìn)小波濾波器作為初始濾波器,利用定理1可得到具有更高階消失矩的提升二進(jìn)小波。

表2 一次提升二進(jìn)小波濾波器的系數(shù)

圖2 一次提升后的對(duì)應(yīng)的2個(gè)尺度函數(shù)和小波的圖形Fig.2 The corresponding two scale functions and wavelet after improvement once

同樣,繼續(xù)應(yīng)用此定理可得到具有更高階消失矩的二進(jìn)小波濾波器。從表1～表3可以得出,所構(gòu)造的提升二進(jìn)小波濾波器的消失矩的階數(shù)有了明顯的提高。

表3 二次提升二進(jìn)小波濾波器的系數(shù)

圖3 二次提升后的對(duì)應(yīng)的2個(gè)尺度函數(shù)和小波的圖形Fig.3 The corresponding two scale functions and wavelet after improvement twice

4 算法實(shí)現(xiàn)

4.1 低頻系數(shù)增強(qiáng)處理

經(jīng)二進(jìn)小波變換后產(chǎn)生的低頻子帶會(huì)對(duì)原圖的對(duì)比度造成很大的影響,使用單尺度Retinex算法[11-12]改善圖像亮度分布均勻性,提高圖像的整體對(duì)比度,基本思路是:構(gòu)造高斯環(huán)繞函數(shù),然后利用高斯環(huán)繞函數(shù)對(duì)圖像的3個(gè)色彩通道分別進(jìn)行濾波,濾波后的圖像就是估計(jì)的光照分量,接著在對(duì)數(shù)域中對(duì)原始圖像和光照分量進(jìn)行相減得到反射分量作為輸出結(jié)果圖像,其具體的表達(dá)式為

log(fi(x,y))-log(fi(x,y)*G(x,y)),

(10)

其中:f(x,y)為原始圖像;R(x,y)為反射分量;L(x,y)為光照分量;ri(x,y)表示第i個(gè)色彩通道的反射圖像;*代表卷積;G(x,y)為高斯環(huán)繞函數(shù),G(x,y)的構(gòu)造為

(11)

其中:σ為高斯環(huán)繞的尺度函數(shù)。

4.2 高頻系數(shù)降噪處理

在二進(jìn)小波域中,高頻部分中的許多重要信息被噪聲淹沒,需使用能降低高頻成分幅度的濾波器減弱噪聲的影響,從而獲得有用的信息。研究選擇中值濾波[12]來處理高頻部分的噪聲,即在每一幅高頻圖像中取9個(gè)像素點(diǎn),即3×3的矩陣,將9個(gè)像素值進(jìn)行排序,最后將這個(gè)矩陣的中心點(diǎn)賦值為這9個(gè)像素的中值,如圖4所示。

5 實(shí)驗(yàn)過程

為了驗(yàn)證所構(gòu)造的濾波器在圖像增強(qiáng)中的應(yīng)用效果,選取實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為MATLAB R2016a,實(shí)驗(yàn)對(duì)象是2組大小為256*256,jpg格式的渾濁水域中的彩色水下圖片。

5.1 實(shí)驗(yàn)步驟

(1) 對(duì)彩色圖像的3個(gè)通道分別進(jìn)行二進(jìn)小波變換一層分解,分別選取表1～表3的數(shù)據(jù)作為分解與重構(gòu)濾波器;

(2) 利用式(10),對(duì)分解后的低頻圖像進(jìn)行處理,實(shí)驗(yàn)表明σ=80效果好;

(3)對(duì)分解后的高頻部分分別使用掩模大小為5×5的中值濾波消噪處理;

(4) 再次選取表1～表3的數(shù)據(jù)作為重構(gòu)濾波器,對(duì)處理后的高頻與低頻部分進(jìn)行二進(jìn)小波逆變換;

(5) 最后對(duì)重構(gòu)的3個(gè)通道進(jìn)行灰度拉伸再融合,得到目標(biāo)圖像。

5.2 實(shí)驗(yàn)分析

2組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果分別如圖5、圖6所示。觀察原始圖像可以發(fā)現(xiàn),水體很渾濁,噪聲很大,圖像的細(xì)節(jié)信息非常模糊,顏色失真情況很嚴(yán)重,存在嚴(yán)重的偏綠、偏藍(lán)色調(diào)現(xiàn)象,不利于人眼觀測(cè),從而很難獲取有用的信息,使得圖像的利用價(jià)值很低。而使用新構(gòu)造的濾波器對(duì)原始圖像進(jìn)行分解與重構(gòu),在第1組實(shí)驗(yàn)中,圖5(b)中最大的變化就是偏綠色調(diào)已經(jīng)不存在,圖像中的水體變得清晰了,魚群和魚身上的顏色條紋可以清晰可見;圖5(c)中除了偏綠色調(diào)消失、魚和魚身上的顏色條紋清晰可見外,相比圖5(b),魚群的背景有了一定的提亮;圖5(d)包含了圖5(b)和5(c)中所有的優(yōu)點(diǎn),另外,圖5(d)中右上角部分亮度比圖5(b)和5(c)中的亮度有所提高。在第2組實(shí)驗(yàn)中,如圖6(b)所示,圖像中的水體變得清晰了,偏藍(lán)色調(diào)不存在,魚的輪廓邊緣,尤其是魚嘴部分,清晰可辨,魚身上的顏色條紋非常清晰,局部過亮和光暈現(xiàn)象也沒有發(fā)生;圖6(c)中除圖6(b)所包含的信息,其右上角部分更加清晰;同樣,圖6(d)中除圖6(b)和圖6(c)所包含的信息外,圖中的海藻背景更加明亮。從圖5、圖6可知,所構(gòu)造的濾波器處理的圖像其共同點(diǎn)就是偏藍(lán)、偏綠色調(diào)現(xiàn)象不在出現(xiàn),水體變得清晰,魚的輪廓與魚身上的顏色條紋清晰可見,背景里的海藻顏色和背景都有了一定的提亮,可見所構(gòu)造的濾波器豐富了圖像的信息,凸顯了圖像的細(xì)節(jié)信息,改善了圖像的顏色失真情況,減少了噪聲對(duì)圖像質(zhì)量的影響,非常利于人眼觀測(cè)。

圖4 中值濾波原理Fig.4 Schematic diagram of median filtering

圖5 第1組實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.5 The first set of experimental results

圖6 第2組實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 The second set of experimental results

為進(jìn)一步說明構(gòu)造的濾波器的有效性,同時(shí)避免主觀分析帶來的經(jīng)驗(yàn)主義,選取圖像的信息熵、清晰度和峰值信噪比作為客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)(見表4)。

表4 增強(qiáng)方法的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

6 結(jié)語

研究利用消失矩條件,對(duì)構(gòu)造定理進(jìn)行應(yīng)用,構(gòu)造了提升二進(jìn)小波濾波器。根據(jù)表4中的數(shù)據(jù)可知,所提升的濾波器處理的圖像在信息熵、清晰度以及峰值信噪比方面有了明顯的提高,說明圖像的質(zhì)量有了一定的改善,圖像的利用價(jià)值也有了一定的提高,說明該濾波器可適于圖像增強(qiáng)方面,但是觀察第1組實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),提升后的濾波器處理的圖像,其邊緣存在模糊現(xiàn)象,對(duì)人的視覺觀測(cè)有一定的影響,可見所構(gòu)造的濾波器在圖像增強(qiáng)方面還是存在問題,因此在實(shí)際應(yīng)用中還需進(jìn)一步的研究。