呂相紅

最值問題是高中數(shù)學函數(shù)中的關(guān)鍵知識內(nèi)容.由于傳統(tǒng)解題模式下所教授內(nèi)容散、方法雜，這些都為學生解決最值問題帶來了一定困擾，使其成為了高中函數(shù)中的一大難點.本文主要以多元化思維為例，深度探討了函數(shù)最值問題的各種求解策略.

一、定義法求解最值問題

利用定義法求解函數(shù)最值問題關(guān)鍵在于為函數(shù)最值定義.例如，可設置函數(shù)y=f（x）的定義域為I，如果存在實數(shù)M，則需要滿足以下條件：第一，對任意x∈I，都有f（x）≤M;第二，存在x0∈I，使得f（x0）=M，則有M為函數(shù)y=f（x）的最大值.

假設函數(shù)f（x）的定義域為R，下列命題中正確的是：

（1）如果存在一個常數(shù)p，使得對任意x∈R存在f（x）≥p，那么p是函數(shù)f（x）的最小值.

（2）如果存在x0∈R，使得對任意的x∈R，則有f（x）≥f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最小值.

教師要指導學生合理利用定義域求解函數(shù)最值問題，其關(guān)鍵還在于幫助學生把握好定義內(nèi)涵，準確運用函數(shù)知識內(nèi)容，明確函數(shù)中是存在值域的，但并不一定存在最值.上述題目可由函數(shù)的最小值定義解題，首先（1）應該是假命題，它的條件雖然滿足了最小值定義中的任意性要求，但是并不滿足存在性要求.因此（1）是錯誤的.而（2）命題則是正確的，即f（x）≥f（x0）時，則f（x0）應該是函數(shù)f（x）的最小值.

二、配方法求解函數(shù)最值問題

在求解二次函數(shù)最值過程中，如果函數(shù)形式為F（x）=af2（x）+bf（x）+c，可以考慮采用配方法.例如，求函數(shù)f（x）=9x2+6x+1的最小值.

上式函數(shù)最值問題可采用配方法解題，在解題過程中則要注重自變量的取值范圍變化以及對稱軸與區(qū)間之間的相對位置關(guān)系.

二、合理利用滲透分類討論思想，解決函數(shù)最值問題

合理利用滲透分類討論思想也是能夠解決某些函數(shù)最值問題的，這里要做好概念分類、情況分類，并在分類基礎之上由儉入奢，解決某些復雜的函數(shù)最值問題.例如，在求解函數(shù)y=2-2acosx-sin2x的最大值與最小值過程中，需要先將原函數(shù)進行轉(zhuǎn)化.

y=（cosx-a）2+1-a2=（t-a）2+1-a2=f（t）

可將原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在某一區(qū)間中的最值問題，但實際上這個問題非常復雜，教師可以專門講二次函數(shù)的對稱軸與定義域之間的位置關(guān)系為學生掰開揉碎進行分類講解討論.例如，首先給出函數(shù)的對稱軸方程應該為：t=a，它的定義域區(qū)間應該為[-1，1]，此時可參考二次函數(shù)圖像分4種情況為學生提出針對性的解題思路.

第一種：如果a<-1，則有ymax=f（1）=2-2a，ymin=f（-1）=2+2a;

第二種：如果-1≤a≤0，則有ymax=f（1）=2-2a，ymin=f（a）=1-a2;

第三種：如果0≤a≤1，則有ymax=f（-1）=2+2a，ymin=f（a）=1-a2.

在上述最值問題解題過程中就滲透了分類討論思想，它能夠幫助學生大量積累數(shù)學學習經(jīng)驗，非常有利于培養(yǎng)學生全面思考問題的能力.

三、合理利用函數(shù)轉(zhuǎn)化思想，歸納總結(jié)函數(shù)最值問題內(nèi)涵

最后要滲透函數(shù)思想，分析轉(zhuǎn)化問題，最終將最值問題歸結(jié)于函數(shù)問題，利用函數(shù)最值解決問題，幫助學生更好地掌握函數(shù)相關(guān)思想.教師要注重為學生滲透講解各種函數(shù)思想方法，教會他們合理把握二次函數(shù)知識內(nèi)容，將最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題再進行求解.在一些二元函數(shù)的最值問題中如果已知存在兩個變量，且兩個變量存在相依關(guān)系（通常為二元方程），則應該對該類問題合理運用函數(shù)轉(zhuǎn)化思想.例如代入消元法就可將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)再進行最值求解.

例如，已知an=n-97n-98（n∈N+），在數(shù)列{an}的前30項中，求解最大項與最小項.

該題目中存在數(shù)列{an}，同時它的通項公式an可以理解為n的函數(shù)式，此時可將原問題理解轉(zhuǎn)化為如果有n∈N+且存在n≤30時，求解函數(shù)an的最大值與最小值.此時可以分析其中一種情況，如果n∈N+且10≤n≤30，則an表示減函數(shù)，且有an>1，此時a30最小，a10最大.

這道問題中數(shù)學函數(shù)思想非常明確，且它與最值問題也實現(xiàn)了緊密關(guān)聯(lián)，采用最值問題可分多種情況解決這一函數(shù)問題，而像化歸、分類討論以及數(shù)形結(jié)合等都能解決這一問題.