朱飛鴻1，杜雪松1，宋朝省1，朱才朝1，楊勇，廖德林

(1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400044；2.深圳市大族精密傳動(dòng)科技有限公司，廣東深圳，518057)

諧波齒輪傳動(dòng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、減速比大、傳動(dòng)精度高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天、衛(wèi)星通信和工業(yè)機(jī)器人等領(lǐng)域。在諧波傳動(dòng)中，柔輪發(fā)生的彈性錐度變形具有空間特征，尤其是工業(yè)機(jī)器人所使用的短筒諧波減速器將具有更明顯的空間變形，因此，要獲得良好的嚙合特性，剛輪與柔輪需按空間共軛齒廓進(jìn)行設(shè)計(jì)。目前的諧波傳動(dòng)齒形設(shè)計(jì)多以平面共軛齒形代替空間齒廓，或者雖然進(jìn)行了空間齒廓設(shè)計(jì)但采用了較多假設(shè)，這樣設(shè)計(jì)的齒形將會導(dǎo)致較多的嚙合干涉和尖點(diǎn)嚙合，從而產(chǎn)生不利于傳動(dòng)的齒面磨損，因此，有必要基于柔輪空間錐度變形建立更精確的諧波傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，開展柔輪空間共軛齒廓設(shè)計(jì)研究。國內(nèi)外學(xué)者對諧波傳動(dòng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析[1-5]、嚙合理論及運(yùn)動(dòng)學(xué)[6-7]、齒形研究[8-10]，側(cè)隙及嚙合力分布[11-12]，動(dòng)態(tài)性能和控制[13]等領(lǐng)域開展了大量研究。在諧波傳動(dòng)共軛齒廓設(shè)計(jì)和求解方面，楊勇等[14]提出了精確的橢圓凸輪波發(fā)生器平面諧波傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方法，為零側(cè)隙諧波傳動(dòng)平面共軛齒廓的求解提供了思路；DONG等[7]提出了考慮柔輪錐度變形的諧波傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，指出由于柔輪的空間變形，剛?cè)彷喒曹楜X廓之一必須是空間齒廓，否則會導(dǎo)致不必要的干涉和變形；吳偉國等[15-16]提出采用具有傾斜角度的剛輪齒形與產(chǎn)生空間錐度變形的柔輪嚙合，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法可提高諧波減速器的傳動(dòng)剛度，但沒有考慮若剛輪采用空間齒廓在批量加工時(shí)的工藝性問題；劉鄧輝等[17]考慮柔輪錐度變形特征造成柔輪各截面中面曲線的差異，將剛輪空間齒廓的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為多個(gè)橫截面內(nèi)的平面齒廓設(shè)計(jì)，該方法柔輪采用平面齒形，剛輪為空間共軛齒廓；周祥祥等[18-19]將柔輪齒圈離散成許多個(gè)橫截面，通過合理調(diào)節(jié)各截面柔輪齒廓的徑向位置設(shè)計(jì)具有傾角的柔輪空間齒廓；陳曉霞[20]基于直母線假定較準(zhǔn)確地分析了柔輪空間錐度變形特征，但并未建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型求解空間共軛齒廓。綜上所述，現(xiàn)有研究都將剛?cè)彷嘄X廓看成離散的一系列截面來設(shè)計(jì)共軛齒廓，部分學(xué)者考慮了柔輪錐度變形造成的各截面中面曲線的差異，但忽略了柔輪杯體的空間變形還會引起柔輪齒的空間轉(zhuǎn)動(dòng)，變形后的柔輪齒橫截面將不再垂直于旋轉(zhuǎn)軸。本文作者考慮柔輪空間變形帶來的中面曲線變化和柔輪齒空間方位變化，建立更精確的諧波傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，利用數(shù)值法求解柔輪空間共軛齒廓，研究柔輪杯體空間變形所產(chǎn)生的空間轉(zhuǎn)角，以及該轉(zhuǎn)角對嚙合過程中的共軛區(qū)域、柔輪齒運(yùn)動(dòng)軌跡和齒面嚙合跡線帶來的特殊影響，以便為高精度諧波齒輪傳動(dòng)共軛齒廓的求解和優(yōu)化提供指導(dǎo)。

1 建立空間共軛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

諧波傳動(dòng)中，柔輪變形取決于波發(fā)生器幾何形狀和柔輪受載狀況，柔輪受載狀況能顯著影響杯體變形，但剛?cè)彷嘄X間載荷分布又取決于輪齒齒形，如果要考慮載荷施加對柔輪變形帶來的影響，就要首先建立空載狀態(tài)下的輪齒幾何特征，然后加入載荷，分析其帶來的影響，以此作為齒形修形依據(jù)。故本文在理想輕載狀態(tài)下建立考慮柔輪殼體中面空間變形的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，主要假設(shè)如下[20]：

1)柔輪中面是柔輪圓柱殼體的中面；柔輪中面曲線是柔輪中面與橫截面的交線；

2)柔輪杯體看作鉸接在輸出端剛性杯底圓盤周邊的圓柱殼，柔輪齒看作剛體，隨直母線繞杯底鉸接點(diǎn)發(fā)生由徑向位移w和切向位移v引起的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)；

3)柔輪杯體變形后，任意截面中面曲線由平面圓變?yōu)榭臻g曲線，該曲線由徑向、切向和軸向位移確定，忽略軸向位移認(rèn)為各中面曲線變形后仍在同一平面。

以剛輪固定、波發(fā)生器逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)輸入、柔輪順時(shí)針旋轉(zhuǎn)輸出的諧波傳動(dòng)為研究對象，考慮柔輪杯體變形，建立如圖1所示坐標(biāo)系統(tǒng)，用于描述柔輪、剛輪和波發(fā)生器之間的相對運(yùn)動(dòng)及柔輪中面上選定點(diǎn)的位移和空間轉(zhuǎn)角。其中，以剛輪回轉(zhuǎn)中心O2為原點(diǎn)建立剛輪固定坐標(biāo)系S2{OX2Y2Z2}。以波發(fā)生器回轉(zhuǎn)中心O為原點(diǎn)建立波發(fā)生器動(dòng)坐標(biāo)系S{O-XYZ}，X軸為波發(fā)生器長軸。柔輪齒動(dòng)坐標(biāo)系為S1{O1-X1Y1Z1}，X1軸為柔輪輪齒對稱線，原點(diǎn)為X1軸與柔輪中性層交點(diǎn)。為準(zhǔn)確描述柔輪在波發(fā)生器作用下的空間變形特征，建立輔助坐標(biāo)系Sa，Sb和Sc來描述變形過程中切向位移v、徑向位移w以及法向轉(zhuǎn)角μ帶來的坐標(biāo)軸方位變化。在初始位置，X1，X2和X三軸共線，坐標(biāo)系S和S2重合，坐標(biāo)系S1中O1點(diǎn)位于波發(fā)生器長軸頂點(diǎn)。圖1中所示位置為波發(fā)生器相對于X2軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)φ2時(shí)，柔輪非變形端相對于X2軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，而變形端則順時(shí)針旋轉(zhuǎn)γ。圖1中，φ為波發(fā)生器相對于柔輪輸出端的轉(zhuǎn)角。

圖1 諧波傳動(dòng)坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate systems of HD

波發(fā)生器迫使柔輪中面發(fā)生錐度變形，該變形過程中的位置移動(dòng)及坐標(biāo)軸方位變化由輔助坐標(biāo)系Sa，Sb和Sc以及坐標(biāo)系S1之間的平移和連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)來描述：1)柔輪變形使得嚙合端O1點(diǎn)產(chǎn)生徑向和切向位移從圖1中O1′處移動(dòng)到O1處，對應(yīng)輔助坐標(biāo)系Sc，Xc軸沿OO1方向，Zc軸平行于波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)軸Z軸(圖2(a))；2)由徑向位移w引起繞Yc軸的轉(zhuǎn)角θ，輔助坐標(biāo)系Sc旋轉(zhuǎn)至坐標(biāo)系Sb(圖2(b))；3)由切向位移v引起輔助坐標(biāo)系Sb繞Xc軸的轉(zhuǎn)角ξ(Xc軸不是Sb坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸)，輔助坐標(biāo)系Sb旋轉(zhuǎn)至坐標(biāo)系Sa(圖2(c))；4)由柔輪變形引起繞Za軸的轉(zhuǎn)角位移μ，輔助坐標(biāo)系Sa旋轉(zhuǎn)至坐標(biāo)系S1(圖2(d))。

圖2 諧波傳動(dòng)輔助坐標(biāo)系Fig.2 Auxiliary coordinate systems of harmonic drive

為描述柔輪空間變形引起柔輪齒的方位變化，本文定義了由徑向位移w引起繞Yc軸的轉(zhuǎn)角θ和由切向位移v引起繞Xc軸的轉(zhuǎn)角ξ，這2 個(gè)空間轉(zhuǎn)角對柔輪齒空間方位變化進(jìn)行描述。所有運(yùn)動(dòng)參數(shù)選擇以φ1為自變量表示，引入橢圓第二偏心率?，可以推出2個(gè)空間轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式及其對φ1的求導(dǎo)表達(dá)式如下：

式中：rm為柔輪未變形時(shí)中性層半徑；ω為變形系數(shù)；l表示設(shè)計(jì)主截面至杯底距離；a為柔輪中性層橢圓長軸；b為柔輪中性層橢圓短軸；Zf為柔輪齒數(shù)；Zc為剛輪齒數(shù)。

上述各式中的極徑OO1長度r、轉(zhuǎn)角位移μ、波發(fā)生器相對于柔輪輸出端轉(zhuǎn)角φ、波發(fā)生器相對于剛輪轉(zhuǎn)角φ2和柔輪嚙合端旋轉(zhuǎn)角度γ的計(jì)算式及其對φ1的求導(dǎo)表達(dá)式參見文獻(xiàn)[14]。

2 求解共軛齒廓

圖1和圖2所示的坐標(biāo)系S2到S1的坐標(biāo)變換矩陣如下：

同理易得底矢變換矩陣W12。根據(jù)齒輪嚙合原理，兩齒面在接觸點(diǎn)處必須滿足以下嚙合方程：

式中：ni為接觸點(diǎn)的單位公法矢；為接觸點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)速度矢量。

在S1坐標(biāo)系中考慮式(6)，代入n1=W12·n2和可將式(6)轉(zhuǎn)化為

將剛輪齒廓曲線表示為以弧長s為參數(shù)的方程，對于齒廓曲線上每一點(diǎn)，都對應(yīng)1個(gè)參數(shù)值si。將每一個(gè)弧長si(i=1，2，…，s)所對應(yīng)齒廓曲線點(diǎn)的矢徑r2和法向量n2代入式(7)，得出該點(diǎn)發(fā)生共軛運(yùn)動(dòng)時(shí)的角φ1，記為φ1i(i=1，2，…，s)。根據(jù)每個(gè)φ1i確定對應(yīng)M12中各元素值，得出相應(yīng)的坐標(biāo)變換矩陣M12i，代入下式，即可得出與剛輪齒廓共軛的柔輪理論齒廓。

3 實(shí)例分析

以1款雙圓弧諧波減速器為例，波發(fā)生器為標(biāo)準(zhǔn)橢圓凸輪，剛輪輪齒坐標(biāo)系和公切線式雙圓弧剛輪齒廓如圖3所示。該減速器柔輪齒數(shù)Zf=160，剛輪齒數(shù)Zc=162，模數(shù)m=0.4，齒寬B=12 mm，波發(fā)生器徑向變形系數(shù)ω0=1.0，全齒高h(yuǎn)=1.7m=0.68 mm，齒頂高h(yuǎn)a=0.8m=0.32 mm，齒根高h(yuǎn)f=0.9m=0.36 mm，柔輪齒圈上齒形設(shè)計(jì)主截面至杯底的距離l=20 mm。剛輪具體參數(shù)如表1所示。

圖3 剛輪雙圓弧齒廓及剛輪坐標(biāo)系Fig.3 DCTP and coordinate of a circular spline tooth

在剛輪坐標(biāo)系S2中，柔輪齒圈各截面用不同的Z坐標(biāo)值zi來表征，根據(jù)直母線假設(shè)變形后柔輪各截面的徑向變形系數(shù)ωi(i=1，2，…，c)可由下式來描述：

式中：l為設(shè)計(jì)主截面至杯底距離；zi為剛輪坐標(biāo)系中各截面坐標(biāo)值；ω0為波發(fā)生器徑向變形系數(shù)。

式(9)中c為柔輪齒圈部分所選取的截面的個(gè)數(shù)，zi∈[2，-10]。將柔輪齒圈部分沿著旋轉(zhuǎn)軸均分為25個(gè)橫截面來表示(c=25)，從第1到第25個(gè)橫截面分別對應(yīng)z=2，1.5，1，…，-10，齒形設(shè)計(jì)主截面的z=0。

表1 剛輪齒廓參數(shù)Table1 Circular spline tooth profile parameters

對于其中的任意一個(gè)截面，徑向變形系數(shù)ωi可由式(9)求得，空間轉(zhuǎn)角θ和ξ以及它們對φ1的導(dǎo)數(shù)可由式(1)～(4)求得；將以弧長表示的剛輪齒廓上一系列齒廓曲線點(diǎn)所對應(yīng)的矢徑r2和法向量n2代入式(7)，得出該點(diǎn)發(fā)生共軛運(yùn)動(dòng)時(shí)柔輪輪齒坐標(biāo)原點(diǎn)的矢徑OO1與波發(fā)生器長軸X軸間的夾角φ1，整個(gè)剛輪齒面的所有25 個(gè)齒廓所求解的φ1構(gòu)成該齒面的共軛區(qū)域，共軛區(qū)域由2部分組成分別稱為共軛區(qū)域一和共軛區(qū)域二，如圖4所示。

圖4 空間齒廓共軛區(qū)域比較Fig.4 Comparison of conjugate existent domain of spatial tooth profiles

圖4中加粗虛線部分表示沒有考慮柔輪空間錐度變形的平面諧波嚙合理論所求解的本例剛輪齒形對應(yīng)的2個(gè)共軛區(qū)域，其中黑色虛線表示共軛區(qū)域一，紅色虛線表示共軛區(qū)域二。由圖4可得平面諧波嚙合理論所求解的共軛區(qū)域一角度區(qū)間為[-0.461 8°，4.923°]，共軛區(qū)域二角度區(qū)間為[24.92°，71.66°]；而由本文的算法求得的空間齒廓共軛區(qū)域一和二所覆蓋的角度區(qū)間為[-0.473 8°，11.44°]和[20.60°，79.94°]。相比平面諧波嚙合理論本文算法共軛區(qū)域一的最小角度偏移量和最大角度偏移量分別為0.012°和6.517°，共軛區(qū)域二的角度偏移量分別為4.326°和8.287°。用偏移角度和共軛區(qū)間大小之比作為共軛區(qū)域擴(kuò)展量的評估參數(shù)，則在共軛區(qū)域一中最小角度擴(kuò)展量較小，為0.222 8%，最大角度擴(kuò)展量為原共軛區(qū)間的1.21倍；在共軛區(qū)域二中最小角度擴(kuò)展量為9.255%，最大角度擴(kuò)展量為17.73%。由于最后計(jì)算得到的共軛齒廓受共軛區(qū)域一影響較大，以上分析表明本文算法計(jì)算所得共軛區(qū)域一是平面諧波嚙合理論的2.21 倍，顯著增大了齒形的共軛區(qū)域，將使參與共軛嚙合的輪齒數(shù)目更多，對提高雙圓弧諧波減速器傳動(dòng)精度和扭轉(zhuǎn)剛度、減少輪齒磨損、提高保精度壽命意義重大。

在式(8)中代入由共軛區(qū)域求得的坐標(biāo)變換矩陣M12i，即可得出與剛輪齒廓共軛的柔輪理論齒廓。由于存在2個(gè)共軛區(qū)域，剛輪每個(gè)截面都對應(yīng)著2個(gè)柔輪齒廓。圖5所示為設(shè)計(jì)截面上與剛輪齒形共軛的柔輪齒廓，2 個(gè)齒廓相互分離互不交叉，但它們中只有1個(gè)是可行的。圖中黑色柔輪齒廓與平面諧波嚙合理論共軛區(qū)域一對應(yīng)，選擇該齒廓為可行齒廓；紅色齒廓曲線是柔輪齒在遠(yuǎn)離凸輪長軸的情況下求解得到的，該齒廓曲線本身存在自相交和折疊，而且在柔輪齒坐標(biāo)系S1中齒廓x坐標(biāo)較大，直接作為柔輪齒廓將導(dǎo)致較大的嚙合干涉。

圖5 柔輪平面共軛齒廓Fig.5 Flat flexspline conjugated tooth profiles

因此，對于剛輪齒圈每個(gè)截面，都可以采用相同的方法得到與之共軛的柔輪齒廓(如圖6所示)。同樣地，取與共軛區(qū)域一相對應(yīng)的紅色齒廓作為柔輪的空間齒廓，圖7所示為該共軛齒廓的正視圖。由本文模型得到的各截面柔輪空間共軛齒廓不僅考慮了不同截面中面曲線的變化，而且考慮了齒廓曲線所在平面發(fā)生的空間轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)角度由本文的精確空間共軛算法進(jìn)行計(jì)算。

圖6 柔輪空間共軛齒廓Fig.6 Spatial flexspline conjugated tooth profiles

圖7 柔輪空間共軛齒廓Fig.7 Spatial flexspline conjugated tooth profiles

隨著波發(fā)生器的轉(zhuǎn)動(dòng)，柔輪變形過程中齒圈各截面柔輪齒產(chǎn)生的空間轉(zhuǎn)角變化曲線分別如圖8和圖9所示，其中，圖8所示為空間轉(zhuǎn)角θ隨極角φ1的變化規(guī)律，圖9所示為空間轉(zhuǎn)角ξ隨極角φ1的變化規(guī)律；θ和ξ兩角度的變化周期為π，用不同的顏色、線形來表示柔輪齒圈沿Z軸各個(gè)截面的空間轉(zhuǎn)角變化規(guī)律，每根曲線之間的z坐標(biāo)之差為2 mm。圖8和圖9中，黑色虛線表示設(shè)計(jì)截面，綠色虛線表示靠近開口端外側(cè)齒圈截面，黑色實(shí)線表示靠近輸出端內(nèi)側(cè)截面。從圖8和圖9可見：空間轉(zhuǎn)角θ波動(dòng)幅值較大，變化曲線關(guān)于180°軸對稱，均值為1.083°，在n·π/2 處出現(xiàn)極值，最大值出現(xiàn)在開口端θmax=1.228°，相比設(shè)計(jì)截面極值增大了7.16%，相比靠近輸出端內(nèi)側(cè)截面極值增大了8.29%；切向位移v引起的轉(zhuǎn)角ξ幅值較小，波動(dòng)曲線關(guān)于180°軸反對稱，均值為0°，在(2n+1)·π/4處出現(xiàn)極值，最大值出現(xiàn)在開口端ξmax=0.864 4°，相比設(shè)計(jì)截面極值增大了1.5倍，相比靠近輸出端內(nèi)側(cè)截面極值增大了1.67倍；柔輪齒圈各截面上2個(gè)空間角度均產(chǎn)生了較大的變化，相比空間轉(zhuǎn)角θ，轉(zhuǎn)角ξ變化更加劇烈。該曲線變化規(guī)律與文獻(xiàn)[20]中徑向位移w、切向位移v的變化規(guī)律相吻合。

圖8 柔輪齒圈各截面θ角位移曲線Fig.8 Node angular displacement θ on each section of flexspline

圖9 柔輪齒圈各截面ξ角位移曲線Fig.9 Node angular displacement ξ on each section of flexspline

隨著波發(fā)生器的轉(zhuǎn)動(dòng)，通過循環(huán)增加波發(fā)生器的轉(zhuǎn)角，對各截面柔輪齒廓坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)變換來仿真柔輪齒和剛輪齒的相對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)0°～360°的過程中，基于本文提出的空間共軛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的柔輪輪齒相對于剛輪齒槽的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10～12 所示。圖10～12 中紅色曲線表示柔輪齒坐標(biāo)系原點(diǎn)O1的運(yùn)動(dòng)軌跡在XY平面的投影，波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)1圈，柔輪轉(zhuǎn)過2個(gè)齒。由圖10～12可知：各齒圈截面的剛?cè)彷唶Ш宪壽E均未發(fā)生干涉，且隨距杯底軸向距離的增大，柔輪齒嚙合運(yùn)動(dòng)軌跡的變形量也增大，與實(shí)際情況相符。

圖10 Z=2截面柔輪齒運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.10 Relative movement trail of Z=2 section

圖11 Z=0截面柔輪齒運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.11 Relative movement trail of Z=0 section

圖12 Z=-10截面柔輪齒運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.12 Relative movement trail of Z=-10 section

圖13所示為本例柔輪空間齒面上的接觸跡線分布情況，其中，將齒頂部分第1根以及齒根往上第5根標(biāo)記為綠色，它們是在柔輪輪齒坐標(biāo)原點(diǎn)矢徑OO1與波發(fā)生器長軸X軸間的夾角φ1為2.291 8°時(shí)剛、柔輪齒面2 個(gè)位置同時(shí)發(fā)生嚙合接觸形成的，這種現(xiàn)象被稱為兩點(diǎn)接觸現(xiàn)象。從圖13可以看出雙圓弧諧波傳動(dòng)剛、柔輪齒的嚙合從靠近齒根的位置開始，形成圖13中φ1=0°時(shí)的接觸跡線，齒寬方向有超過60%的齒面參與嚙合，此時(shí)，波發(fā)生器長軸X軸與柔輪輪齒坐標(biāo)原點(diǎn)矢徑OO1間的夾角為0°；隨著波發(fā)生器的轉(zhuǎn)動(dòng)，嚙合跡線慢慢從齒根向上擴(kuò)展，整個(gè)齒寬方向全部參與嚙合，直到φ1=2.291 8°時(shí)齒頂部也開始出現(xiàn)嚙合接觸，在柔輪齒面出現(xiàn)2根接觸跡線，形成兩點(diǎn)接觸；波發(fā)生器繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，2根嚙合接觸跡線在齒面中部相遇，最終合成1根，慢慢沿齒寬方向退出嚙合，當(dāng)φ1=10.886 2°時(shí)完全退出嚙合。圖13中嚙合跡線對應(yīng)的共軛區(qū)域?yàn)閇0°，10.886 2°]，該共軛區(qū)域與前面本文算法計(jì)算的共軛區(qū)域一[-0.473 8°，11.44°]較吻合，與平面諧波嚙合理論相比共軛區(qū)域增大。

圖13 柔輪齒面嚙合接觸跡線分布Fig.13 Contact path on flexspline tooth surface

4 結(jié)論

1)考慮柔輪空間變形帶來的中面曲線變化和柔輪齒空間方位變化等因素，提出一種精確描述剛?cè)彷喼g復(fù)雜空間運(yùn)動(dòng)關(guān)系的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，能夠便于求解計(jì)算空間精確共軛齒廓，所得空間齒廓具有更大的共軛嚙合區(qū)域，這對提高諧波減速器承載能力和傳動(dòng)性能有重要意義。

2)相比平面諧波嚙合理論，本文算法所求解的2個(gè)共軛區(qū)域均顯著擴(kuò)大，對共軛齒廓具有顯著影響的共軛區(qū)域一擴(kuò)展了1.21 倍，共軛區(qū)域二擴(kuò)展了17.73%；有更多的齒對參與嚙合，所得柔輪齒面嚙合接觸跡線可精確描述雙圓弧齒形在空間共軛情況下的兩點(diǎn)接觸現(xiàn)象。

3)本文所考慮的柔輪齒圈各截面上由徑向位移和切向位移所引起的2 個(gè)空間轉(zhuǎn)角θ和ξ均發(fā)生了較大變化，不可忽視，其中，θmax=1.228°，與設(shè)計(jì)截面的θmax相比增加8.29%，ξmax=0.864 4°，與設(shè)計(jì)截面的ξmax相比增幅167%，與由徑向位移w引起的轉(zhuǎn)角θ相比，切向位移v引起的轉(zhuǎn)角ξ變化更加劇烈。