王鵬飛，王安格，關宏志，趙 磊,3，趙鵬飛

(1.北京工業(yè)大學a.城市與工程安全減災教育部重點實驗室，b.城市建設學部，北京100124；2.河北科技師范學院城市建設學院，河北秦皇島066004；3.北京易華錄信息技術股份有限公司，北京100043；4.北京建筑大學土木與交通工程學院，北京102616)

0 引 言

根據《2019 北京市交通發(fā)展年度報告》，截止2018年底，北京市機動車保有量約為608.4 萬輛，而備案停車位僅有189.1萬個，缺口超過68.9%.為此，交通學者針對交通需求管理中的停車預約系統與停車許可證展開了大量研究.

Shao等[1]考慮居住區(qū)泊位使用特征，引入預約機制構建泊位共享場景下系統效益最大化模型；Xiao 等[2]基于拍賣理論提出共享泊位資源最優(yōu)分配—定價機制；Wang 等[3]以停車許可證為手段構建公共泊位最優(yōu)分配—定價機制，并在此基礎上制定不可預約公共泊位動態(tài)定價機制；Wang 等[4]分別以最小化總出行成本和尾氣排放量為目標，構建停車許可證最優(yōu)供給機制；王鵬飛等[5]基于拍賣機制構建路外公共泊位資源最優(yōu)定價模型.

相較傳統停車預約和預定價機制，停車許可證既可以實現泊位預約，又可以不依賴用戶停車需求函數預測實現精準的有限停車資源最優(yōu)分配—定價和社會福利最大化的明顯優(yōu)勢[3].上述停車許可證機制設計從實際應用角度仍存在以下不足：①除文獻[3]外，鮮有將可預約與不可預約停車設施同時考慮，而文獻[3]中用戶對兩種停車設施的選擇是外生給定的，沒有討論最優(yōu)供給機制；②多數研究中制定動態(tài)泊位分配機制是基于對未來停車需求的預測，鮮有對泊位動態(tài)供給機制進行探討，但管理者與用戶之間存在信息非對稱會使預測結果偏離現實；③并非全部持有停車許可證的用戶都能夠按照預約時間到達或離開泊位，特別是比預約時間早到達、晚離開泊位的用戶，是造成停車設施入口處車輛排隊等待的重要原因.鑒于此，在考慮持有停車許可證用戶行為不確定性的基礎上，本文制定一種基于實時觀測數據的停車許可證的最優(yōu)動態(tài)供給策略，以實現所有用戶時間損失期望值最小化，此機制也是實現公共泊位最優(yōu)動態(tài)定價的基礎.

1 場景設定

1.1 停車設施與停車許可證

停車許可證(或停車預約系統)的作用是使一部分用戶在出行前即可預定泊位，進而減少尋泊交通量和時間損失.現實中，并非所有公共泊位都是可預約的，即可預約和不可預約公共停車設施往往共存于一個區(qū)域，其管理者均為政府.對于可預約停車設施，政府的管理手段為停車許可證.停車許可證是一種在指定時間段內在指定停車設施才可以泊車的權利，由泊位管理平臺(政府)進行分配和定價，未持有停車許可證的用戶不能在指定的停車設施泊車.本文在動態(tài)框架下進行，以時刻t為開始停車時間的停車許可證只在時刻t-Δt進行預定購買，此處的Δt為單位停車時長.在此設定下，停車許可證在線發(fā)行，政府可以通過拍賣[2-3]實現公共停車資源的動態(tài)供給、分配、定價.由于泊位資源有限，并非所有參與預定購買的用戶最終都可以獲得停車許可證，未獲得停車許可證的用戶只能通過巡航去尋找不可預約停車設施的空余泊位，即尋泊.

1.2 停車許可證用戶及其行為的不確定性

現實中，部分持有停車許可證的用戶會出現比預約時間早到或晚離開停車設施的偶發(fā)性行為，這會使停車設施入口處產生車輛排隊等待空余泊位的現象.為遏制這種不良現象，管理者制定停車許可證的最優(yōu)動態(tài)供給策略，以最小化停車許可證用戶的排隊時間和未持有停車許可證用戶尋泊時間的總和.同時，停車許可證的供給量確定后，通過現有的拍賣機制[3]即可實現停車許可證的動態(tài)分配—定價.

2 模型構建

2.1 時間損失

設T為固定的終端時刻，在[0,T]期間，系統總時間損失Ψ定義為

式中：C(t,q,r)為系統在時刻t的時間損失；λ(t)為時刻t參加停車許可證拍賣的人數，亦為(可實時觀測到的)停車需求；q(t)為時刻t用戶在停車設施入口處的排隊時間；k(t)為時刻t區(qū)域內所有尋泊用戶的平均尋泊時間；r(t,q)為時刻t總停車需求中獲得停車許可證用戶的比例，是本模型的控制參數；k(t)為時變且外生給定的參數；q(t)為系統的狀態(tài)變量.

根據1.2 節(jié)場景設定，狀態(tài)變量q(t)應符合演變規(guī)律：排隊長度既受r(t,q) 的控制，又存在不確定性，且不確定性隨停車需求中獲得停車許可證用戶數量r(t,q)λ(t)的增加而增加，即

式中：σ為干擾項，可視作隨機變量的標準差；z為標準維納過程；α(t)是期望項，表示在微小時間段dt內排隊時間變化的期望值，根據是否存在排隊時間q(t)分為兩種情況，即

式中：β為排隊長度與排隊時間之間的換算系數；μ(t)為時刻t剩余泊位數量.

2.2 動態(tài)系統最優(yōu)

由于持有停車許可證用戶的行為存在不確定性，定義動態(tài)系統最優(yōu)問題(DSO)，最小化系統總時間損失的期望值，即

式中：q0，qT分別為系統初始t=0 和結束t=T時的排隊時間；Φ(qT,T)為自由的終端狀態(tài)；φ(t)為控制參數r(t,q)的上限，φ(t)=min{μ(t)/λ(t),1}，因為停車需求可能超過可預約空余泊位數量；E0為系統在[0,T]期間的時間損失期望值；FDSO為[0,T]期間系統總時間損失的最小化期望值.

2.3 最優(yōu)性條件

為求解動態(tài)系統最優(yōu)問題(DSO)，利用動態(tài)規(guī)劃原理分析最優(yōu)性條件：哈密爾頓-雅克比-貝爾曼(Hamilton-Jacobi-Bellman Equation，HJB)方程.定義最優(yōu)值函數V(·) ，因函數已經取得最優(yōu)值，故其只和狀態(tài)變量有關，與控制變量無關.

此處，Et為系統在[t,T] 期間的時間損失期望值.對式(5)應用動態(tài)規(guī)劃原理，可得

對式(6)中V(t+Δt,q+Δq)進行泰勒展開，忽略高次項可得式(7).此外，為簡化表達，以下所有公式省略(t,q,r)、(t,q)和(t).

z為標準維納過程，可得

將式(8)帶入式(2)，可得

將式(2)等價變化為

再將式(9)和式(10)代入式(7)可得

最后，將式(11)代入式(6)，等式兩端同時消除Δt，可得HJB方程為

HJB 方程的意義是尋找最優(yōu)供給策略r*，使微小時間段dt內最優(yōu)值函數的變化值最小.式(13)等號右邊第1項為系統總時間損失，第2項為排隊時間的微小變化對系統總時間損失的影響，第3項為不可控因素對系統總時間損失造成的影響.

2.4 帶有偏導數項的最優(yōu)供給策略

根據式(2)和式(3)可知，期望項α是根據有無排隊時間q進行計算的，故HJB 方程可分為兩種情況進行探討：q ＞0(用下角標“+”表示)和q=0(用下角標“0”表示).

求解最優(yōu)供給策略r*，則考慮使用式(14)和式(15)對r求導.分別在q ＞0 和q=0 的情況下得到的最優(yōu)供給策略.

3 求解方法

3.1 最優(yōu)值函數的設定

由式(18)和式(19)可知：若管理者可明確掌握最優(yōu)值函數V的形式，則可直接求解得到不含偏導數項的最優(yōu)供給策略r*；否則，將無法計算.文獻[6]提出基于廣義線性互補理論的求解方法，但此方法需要控制策略為Bang-Bang形，無法適用于本文.在機器學習領域，利用值函數近似理論也可以對最優(yōu)值函數的形式進行確定，但這需要對最優(yōu)值函數的形式進行預先設定，同時對環(huán)境變換的適應能力也比較差.

現實中，管理者通過長期觀測可大體把握最優(yōu)值函數的形式，但其中的具體參數還需要單獨求解.故采用提前預設值函數后求解其中參數的方法[7].

式中：VA為預設值函數，其僅與狀態(tài)變量q有關，與供給策略r無關；s為待估參數.

3.2 最優(yōu)動態(tài)供給策略的解析解

將最優(yōu)供給策略分別代入HJB 方程，可以消除其中最小化“min”，因為代入之后即為最優(yōu).將預設值函數VA帶入HJB方程中，即可得到待估參數s為

4 數值實驗

4.1 數值設定

以北京市國貿地區(qū)為例進行數值實驗，實地調研后的參數設定如表1所示.07:00-21:00的總停車需求為42 724 veh，實時停車需求如圖1所示.每個時刻到達可預約停車設施的用戶停車時長是隨機設置的，平均尋泊時間為5 min[8].

4.2 結果分析

在4.1節(jié)數值設定下，由圖2典型案例可知：

(1)相比無停車預約系統(方形)，停車許可證的完全供給策略(三角形)可大幅降低早高峰時段的尋泊交通總量及時間損失，全天降低時間損失約1.33 min/veh；

表1 數值設定Table 1 Numerical settings

圖1 停車需求時變圖(07:00-21:00)Fig.1 Time-series of parking demand(07:00-21:00)

(2)相比完全供給策略，最優(yōu)供給策略(圓點)全天可節(jié)約時間約0.63 min/veh，證明了最優(yōu)供給策略的優(yōu)越性；

(3)最優(yōu)供給策略經常在泊位供給領域的兩個端點附近取值且反復跳躍，這與控制理論中使系統消耗最低的Bang-Bang控制策略相似；

(4)無停車預約系統下的時間損失為5 min/veh，與文獻[8]的實際調研結果一致，據此可驗證實驗結果的正確性.

圖2 不同控制策略的比較(典型案例，σ=0.1)Fig.2 Comparison of different control strategies(Typical example,σ=0.1)

為驗證典型案例得到的最優(yōu)供給策略降低時間損失的魯棒性，在不同的停車許可證用戶行為不確定性水平下，分別進行10 000 次的蒙特卡洛實驗，結果如表2所示.

表2 在不同的停車許可證用戶行為不確定性條件下的蒙特卡洛實驗結果Table 2 Monte-Carlo experiment results under different σ

由表2可知：①隨著不確定性水平的增加，相較完全供給策略，最優(yōu)供給策略所能節(jié)約的時間平均值逐漸增加，變異系數逐漸減小，這意味著不確定性水平越高，最優(yōu)供給策略的優(yōu)勢越明顯，發(fā)揮越穩(wěn)定.②在不確定性較小時，有可能在一次獨立實驗中出現最優(yōu)供給策略并非最優(yōu)結果，這可能是因為管理者僅能把握隨機變量q的特征值，即期望值與標準差，并不知道下一時刻的真實狀況，還可能與最優(yōu)值函數的預設形式有關.

5 結 論

本文以可預約和不可預約公共停車設施共存的區(qū)域為對象，從理論上得到系統總時間損失期望值最小化的停車許可證動態(tài)最優(yōu)供給策略，并通過數值實驗驗證了策略的有效性.所得結論如下：動態(tài)最優(yōu)供給策略是車輛排隊時間的函數，并根據排隊時間是否存在分為兩種情況；相較停車許可證完全供給策略，動態(tài)最優(yōu)供給策略可顯著節(jié)約用戶的出行時間；隨著停車許可證用戶行為不確定性的增加，動態(tài)最優(yōu)供給策略平均節(jié)約時間增加，變異系數下降.

與既有研究成果相比：本文策略實現了停車許可證的動態(tài)供給，對文獻[4]停車許可證最優(yōu)靜態(tài)供給策略方面的研究進行了補充；在本文成果的基礎上，利用拍賣機制[3]即可實現停車許可證的動態(tài)最優(yōu)定價；與停車許可證的多時間點交易市場機制[9]相比，本文策略無需逐日迭代計算即可實現系統總時間損失期望值最小化.