魯 倩 張 裕

(江蘇省句容高級(jí)中學(xué)，212400)

圓錐曲線是解析幾何的核心部分,試題從不同的角度對(duì)問題進(jìn)行表征,對(duì)邏輯思維與推論運(yùn)算有較強(qiáng)的要求.筆者將圓作為橢圓的類比源,對(duì)其定點(diǎn)定值問題追溯,探索得到圓錐曲線的幾個(gè)不變性質(zhì),利用這些性質(zhì)可以拓寬圓錐曲線題的解題視角,起到事半功倍的效果.

我們知道,圓上任意一點(diǎn)和直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.類比到橢圓,可得：

(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

(2)過原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

(i)證明:?PQG是直角三角形;

(ii)求?PQG面積的最大值.

(ii)略.

評(píng)注本解法從圖形隱藏的不變性解決問題,大大減少了計(jì)算量,可以起到事半功倍的效果.

過圓上一點(diǎn)P作兩條相互垂直的弦PA,PB,則直線AB過定點(diǎn)(圓心)．類比到橢圓可得如下性質(zhì).

類比橢圓,同理可證雙曲線有如下性質(zhì)(具體過程略).

性質(zhì)4設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線y2=2px(p>0)上,則拋物線的以點(diǎn)P為直角的頂點(diǎn)張角所對(duì)弦所在的直線恒過定點(diǎn)(2p+x0,-y0).

證明設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為x=ty+m.與拋物線方程聯(lián)立,消去x可得y2-2pty-2pm=0,于是y1+y2=2pt,y1y2=-2pm.

故直線AB的方程為x=ty+x0+ty0+2p,變形得x-(2p+x0)=t(y+y0),由此可知張角為直角的弦所在直線恒過定點(diǎn)(2p+x0,-y0).

例2如圖2，已知直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-1),則p的值為______.

評(píng)注由于填空題無需解題過程,本解法表明熟悉圓錐曲線的不變性質(zhì),借助拋物線中張角為直角的弦AB過定點(diǎn)E(2p,0),輕松獲得關(guān)于p的方程,避免了復(fù)雜計(jì)算,使問題迎刃而解.

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足,證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)

=0.

①

以上幾例圓錐曲線問題,均可挖掘題目中隱含的結(jié)論從而給出解法.這就告訴我們,在解決圓錐曲線問題時(shí)不要只拘泥于常規(guī)方法、大量計(jì)算,需要擴(kuò)大眼界、創(chuàng)新思維,登高望遠(yuǎn),使得題目迎刃而解.