許雪榮 黃賢鋒

(江西省萍鄉(xiāng)中學，337000)

函數(shù)方程(不等式)問題是高中數(shù)學中的熱點、難點問題.其中有一類問題可轉化為直線l與曲線y=f(x)的位置關系問題,再利用數(shù)形結合思想解題.筆者發(fā)現(xiàn),這類問題若不去關注l與曲線y=f(x)相切的臨界情形,易出現(xiàn)錯解、漏解.本文從一道錯題開始,談談切線在這類問題中的糾錯、防錯功能,不當之處,敬請各位同仁批評指正.

一、 問題呈現(xiàn)

試題設函數(shù)f(x)=(x+1)ex+1+mx,f(x)≤0有且僅有一個整數(shù)解,則m的取值范圍是( )

這是一道高三?？嫉膲狠S題,不難發(fā)現(xiàn)本題改編自如下的2015年全國新課標I卷理科第12題(不妨稱為源題).

源題設函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得f(x0)<0,則a的取值范圍是( )

?？碱}的參考答案為D. 事實上,該題沒有正確選項.

二、 試題辨析

先看一看命題者提供的參考答案.

錯解令g(x)=(x+1)ex+1,h(x)=-mx,只需滿足僅有一個x0∈Z使得過原點的動直線y=h(x)的圖象在y=g(x)的圖象的上方.

剖析該解法看似毫無破綻,無懈可擊,不少參考答案對題源的解答也與上述解法類似.筆者覺得此類解法欠妥,因為整數(shù)解x0不一定在g(x)的最小值附近,這兩道題與曲線y=g(x)圖象的切線位置有很大關聯(lián).如圖2考慮過原點作y=g(x)圖象的切線,易知這樣的切線有兩條,只需將切線位置適當移動就會滿足題意,由此得下面的正解.

通過以上分析我們發(fā)現(xiàn),切線在解題中起到了重要的作用.下面再舉幾例,談談切線在這類問題中的防錯功能.

三、 應用舉例

剖析以上解法很好地把握了函數(shù)的單調性,也關注了雙曲線的漸近線,但對于y=-ln(1-x),x<0的圖象把握不夠準確,忽略了y=kx與之相切的情況,誤以為當k→+∞時總會有兩個交點.

例3不等式ex-x>ax的解集為M,且(0,2]?M,則a的取值范圍是______.

剖析如圖7,我們很難確定線段OA與y=ex,x∈(0,2]是不是有其它的交點,需要考慮過原點且與y=ex相切的直線的切點的橫坐標是不是在區(qū)間(0,2]內(nèi).

正解考慮過原點與y=ex相切的直線,設切點P(x0,ex0),則切線方程為y-ex0=ex0(x-x0),將原點坐標代入方程,解得x0=1∈(0,2].

如圖8,由切點P(1,e),可知切線為y=ex,從而a+1

四、 一點感悟

數(shù)形結合是一種重要的數(shù)學思想,在使用時應該正確地處理“數(shù)”與“形”的關系.本文中錯解的產(chǎn)生都是因為過分依賴“形”的幾何直觀,而忽略了“數(shù)”對規(guī)范“形”的作用;正解中通過代數(shù)運算求出曲線的切線方程,從而更加精確地把握了對“形”的判斷.解題時要牢記華羅庚先生說過的“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結合百般好,隔離分家萬事休.”惟有將“結合”二字落到實處才能快速準確地解題.