姚寬寬

摘 要：利用GeoGebra在高中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行輔助教學(xué)，不僅可以簡(jiǎn)化高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程，而且可以有效地創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的教學(xué)情境，建立讓高中學(xué)生動(dòng)手做數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，從而可以方便地進(jìn)行變式教學(xué)，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：GeoGebra;高中;數(shù)學(xué)教學(xué);應(yīng)用與思考

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1992-7711（2020）17-125-1

GeoGebra是一個(gè)結(jié)合“幾何”、“代數(shù)”與“微積分”的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它是由美國(guó)佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter所設(shè)計(jì)的。一方面來(lái)說(shuō)，GeoGebra是一個(gè)動(dòng)態(tài)的幾何軟件。您可以在上面畫(huà)點(diǎn)、向量、線(xiàn)段、直線(xiàn)、多邊形、圓錐曲線(xiàn)，甚至是函數(shù)，事后你還可以改變它們的屬性。

另一方面來(lái)說(shuō)，您也可以直接輸入方程和點(diǎn)坐標(biāo)。所以，GeoGebra也有處理變數(shù)的能力（這些變數(shù)可以是一個(gè)數(shù)字、角度、向量或點(diǎn)坐標(biāo)），它也可以對(duì)函數(shù)作微分與積分，找出方程的根或計(jì)算函數(shù)的極大極小值。

所以GeoGebra同時(shí)具有處理代數(shù)與幾何的功能。筆者在高中數(shù)學(xué)平面幾何、立體幾何、解析幾何、射影幾何等教學(xué)中都使用過(guò)GeoGebra。

一、GeoGebra軟件輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)

1.能使高中數(shù)學(xué)直觀化。GeoGebra是探索數(shù)學(xué)奧秘的非常好的軟件，利用這個(gè)軟件容易做出各種各樣的優(yōu)美圖形。例如，可以制作動(dòng)態(tài)的正余弦波，各種各樣的函數(shù)圖像，常見(jiàn)的數(shù)據(jù)圖表等。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果使用圓規(guī)、直尺、筆、紙等常規(guī)工具作圖，作出的圖像是靜止不動(dòng)的，非常容易掩蓋某些重要的幾何規(guī)律，忽視了某些幾何性質(zhì)。而使用GeoGebra，容易作出具有某些幾何約束條件的幾何圖像。為了能夠讓學(xué)生理解比較困難的幾何關(guān)系，并且可以在變化的圖形中找到一些數(shù)學(xué)原理和幾何性質(zhì)，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題化解成直觀形象的容易題，從而培養(yǎng)后進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與維持他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心與勇氣。例如，可以用GeoGebra中的作點(diǎn)、作線(xiàn)工具先作出一個(gè)三角形，再作出它的三條中線(xiàn)、三條高所在的直線(xiàn)等等，然后用鼠標(biāo)隨意拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)或邊，從而獲得各種形狀的三角形，用這種動(dòng)態(tài)的演示，直觀地驗(yàn)證數(shù)學(xué)中三角形的各種性質(zhì)與規(guī)定。

2.能使高中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)化。使用GeoGebra中具有“動(dòng)畫(huà)”與“移動(dòng)”功能的運(yùn)動(dòng)按鈕，通過(guò)一系列的組合后，使得所作的點(diǎn)、線(xiàn)、面、體都能在各自的線(xiàn)路上，按照各自的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)方向?qū)崿F(xiàn)動(dòng)畫(huà)或移動(dòng)，能夠產(chǎn)生非常好的動(dòng)態(tài)效果。同時(shí)所測(cè)量的角度、線(xiàn)段的長(zhǎng)度、封閉圖形的面積、幾何體的體積等，以及其他的某些數(shù)值也會(huì)隨著點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，這樣更貼近實(shí)際。從而，能夠更好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生有一個(gè)直觀的印象，進(jìn)而產(chǎn)生非常好的數(shù)學(xué)教學(xué)效果。

3.能使高中數(shù)學(xué)共享化。近年來(lái)，高中數(shù)學(xué)與信息技術(shù)手段的結(jié)合已經(jīng)十分緊密，也已經(jīng)取得了明顯的教學(xué)效果。但是，高中數(shù)學(xué)教師在創(chuàng)作課件時(shí)，若使用獨(dú)立軟件開(kāi)發(fā)的教學(xué)軟件，不能共享使用，則會(huì)存在很多不便。GeoGebra是在java環(huán)境下編寫(xiě)的，它具備java的所有優(yōu)點(diǎn)。它可以把教學(xué)的內(nèi)容保存在動(dòng)態(tài)網(wǎng)頁(yè)中，更為重要的是，它支持多種語(yǔ)言，方便交流與合作，有很強(qiáng)的兼容性。在GeoGebra網(wǎng)站的wiki上，有很多圖案和工具，配合GeoGebra的某些功能，可以再現(xiàn)圖形的制作過(guò)程，極大地方便了學(xué)習(xí)和研究。

二、GeoGebra在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與思考

GeoGebra有很多不同于其他數(shù)學(xué)軟件的特點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)這個(gè)教學(xué)軟件可以幫助培養(yǎng)高中學(xué)生的各種能力，起到數(shù)學(xué)科目在教育中的關(guān)鍵作用。從某一個(gè)角度講，教會(huì)學(xué)生知識(shí)，不如教會(huì)學(xué)生去思考。如果在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中去主動(dòng)培養(yǎng)高中學(xué)生的能力，就一定能夠真正搞好數(shù)學(xué)教學(xué)。本人在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，GeoGebra教學(xué)方法在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面有著特別重要的作用。主要表現(xiàn)在：

1.能培養(yǎng)高中學(xué)生的思維能力。老師經(jīng)過(guò)細(xì)心的設(shè)計(jì)制作，適時(shí)正確地利用GeoGebra作直觀化動(dòng)態(tài)演示，可以幫助學(xué)生積極思維，避免代替學(xué)生思考，能夠幫助學(xué)生發(fā)展思維。例如，在高中數(shù)學(xué)參數(shù)方程中，涉及到橢圓的離心角，學(xué)生容易把它與原點(diǎn)和橢圓上的點(diǎn)的連線(xiàn)為終邊的角搞混。如果使用GeoGebra，不但能夠讓學(xué)生將這兩個(gè)角的區(qū)別聯(lián)系搞清楚，而且把握住了電腦動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)的好時(shí)機(jī)，從而能夠讓學(xué)生的思維能力得到很好的發(fā)展。

2.能培養(yǎng)高中學(xué)生的探索能力。著名教育家布魯納說(shuō)過(guò)：“探索是數(shù)學(xué)的生命線(xiàn)”。用GeoGebra幫助學(xué)生觀察、思考、探索，能夠讓學(xué)生的想象力得到充分發(fā)揮，通過(guò)GeoGebra作動(dòng)態(tài)演示，可以增強(qiáng)學(xué)生感性認(rèn)識(shí)，把抽象的事物具體化，使學(xué)生的探索能力得到培養(yǎng)。尤其在立體幾何的教學(xué)中，使用GeoGebra教學(xué)手段可以方便學(xué)生學(xué)會(huì)做輔助線(xiàn)，能夠簡(jiǎn)化空間想象能力的復(fù)雜過(guò)程，也在一定程度上訓(xùn)練了高中學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維，也間接地培養(yǎng)學(xué)生的探索能力。

3.能培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論的能力。在GeoGebra的幫助下，可以把許多需要分類(lèi)討論的帶參數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得比較簡(jiǎn)單，在動(dòng)態(tài)演示中把學(xué)生的思維調(diào)動(dòng)起來(lái)。數(shù)學(xué)教師要善于引導(dǎo)學(xué)生分組討論、互助合作，在分類(lèi)討論過(guò)程中逐步培養(yǎng)高中學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力。

4.能培養(yǎng)高中學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)應(yīng)用的極端廣泛性，決定了教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用。如果運(yùn)用GeoGebra進(jìn)行數(shù)學(xué)輔助教學(xué)，就會(huì)很容易挖出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，可以學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力得到培養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)的思維邏輯性特別強(qiáng)，需要高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中教會(huì)學(xué)生去思考，去解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題。

總之，利用GeoGebra輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)，可以使高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效果得到提升;可以激發(fā)高中學(xué)生思考的積極性;可以讓高中學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、自己去探索，最終能夠提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，為高中學(xué)生的發(fā)展起到關(guān)鍵性的作用。

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（作者單位：甘肅省秦安縣第一中學(xué)，甘肅 秦安741600）