楊銳東

排列組合問題歷年高考的必考知識(shí)點(diǎn)，而問題本身是極其靈活多變，是平時(shí)復(fù)習(xí)的一大難點(diǎn)，這就要求我們?cè)诮鉀Q問題的過程中，認(rèn)真審題，抓住問題的本質(zhì)，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行解答，同時(shí)還要注意一些常見的策略和方法技巧，使得復(fù)雜的問題迎刃而解。

一、優(yōu)先安排的策略

例 用 五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少個(gè)？

解：由于該三位數(shù)為偶數(shù)，則末尾數(shù)字必為偶數(shù)，

又由 不能排首位，故 就是其中的特殊元素，

則應(yīng)優(yōu)先安排 ，按 排在個(gè)位和不排在個(gè)位分為兩類：

⑴ 在個(gè)位時(shí)，共有 個(gè);

⑵ 不在個(gè)位時(shí)，則有 個(gè).

由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù) ? ?個(gè).

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于帶有特殊元素的排列問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素，再考慮其他元素.

二、捆綁處理的策略

例 用 組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求 與 相鄰， 與 相鄰， 與 相鄰，這樣的八位數(shù)共有多少個(gè)？

解：把相鄰的兩個(gè)數(shù)捆綁在一起，看做一個(gè)整體，共有三個(gè)整體，與剩下的 和 一共五個(gè)進(jìn)行全排共有 種排法，每個(gè)整體內(nèi)部共有 種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有 ? ? 個(gè)八位數(shù).

點(diǎn)評(píng)：相鄰問題利用捆綁法應(yīng)分兩步來完成，先將相鄰的看做一整體與剩下的全排，再對(duì)相鄰的內(nèi)部全排.

三、插空處理的策略

例 某電視臺(tái)舉辦的晚會(huì)的節(jié)目有 個(gè)舞蹈， 個(gè)小品， 個(gè)相聲， 個(gè)獨(dú)唱，要求各個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰，則節(jié)目單共有多少種不同的排法？

解：問題解決可分兩步來完成：先排 個(gè)小品， 個(gè)相聲， 個(gè)獨(dú)唱，共有 種排法;再將 個(gè)舞蹈節(jié)目插入前面排列的 個(gè)空擋中，共有

種排法，最后由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有 ? 種排法.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端插空.

四、先整體后局部的處理策略

例 參加完國慶閱兵的 名女兵，站成一排，其中甲、乙之間恰好隔 人，一共有多少種戰(zhàn)法？

解：甲、乙及間隔 人看成一個(gè)“小團(tuán)體”，這 人可從剩下 人中選，共有 種選法，這個(gè)“小團(tuán)體”與剩下的 人共 個(gè)元素全排列共有

種排法，而小團(tuán)體”內(nèi)部甲、乙兩人共有 種排法，最后由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有 種站法.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于局部排列問題，可先將局部看做一個(gè)“小團(tuán)體”與剩下元素一同排列，然后再進(jìn)行局部排列.

五、順序固定除法處理的策略

例 從 中任取 個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中若有 和 時(shí)， 必須排在 的前面，若只有 或 其中一個(gè)時(shí)，它們應(yīng)排在其它數(shù)字的前面，這樣不同的三位數(shù)共有多少個(gè)？

解：由題意應(yīng)分三種情況：

⑴沒有 和 時(shí)，共有 種排法;

⑵只有 或 其中一個(gè)時(shí)，共有 種排法;

⑶ 和 同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，“ 排在 的前面”與“ 排在 的前面”機(jī)會(huì)均等，如不考慮“ 排在 的前面”的限制，則有 種排法，則考慮限制條件的排法有 ? 種.

最后由分類加法計(jì)算原理可得共有 種不同的排法.

點(diǎn)評(píng)：本題解答中的⑵和⑶屬順序固定的數(shù)字問題，這類問題一般用“除法”處理解決.即某幾個(gè)元素按一定順序排列的問題，可先不考慮順序，然后用總數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù).