張敬雷，王 偉，李 彤，羅 輝

(1.中國(guó)鐵路總公司工程質(zhì)量監(jiān)督管理局，北京 100844；2.保利(武漢)房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)有限公司，湖北 武漢 430040；3.華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

敏感性分析可定義為分析模型輸入的不確定性對(duì)其輸出不確定性的影響[1]。橋梁結(jié)構(gòu)形式多種多樣，荷載作用五花八門(mén)，同時(shí)在施工、運(yùn)營(yíng)、維修等各個(gè)不同階段具有不同的受力特點(diǎn)與分析重點(diǎn)，兼之其服役時(shí)間長(zhǎng)需考慮到耐久性，分布地域廣需考慮到環(huán)境影響，即模型復(fù)雜多變，輸入因素廣泛。因此針對(duì)不同分析目標(biāo)的橋梁敏感性長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)都是研究熱點(diǎn)。

靜力分析方面，王疆[2]選取連續(xù)梁橋，對(duì)混凝土重量、溫度變化及預(yù)應(yīng)力等輸入?yún)?shù)與多個(gè)施工控制指標(biāo)間的敏感性進(jìn)行了分析，但每次僅改變一個(gè)因素，即采用單因素敏感性分析；Li等[3]則采用隨機(jī)有限元法，結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)懸索橋的靜力響應(yīng)進(jìn)行了多元敏感性分析，選取輸入輸出變量之間的Pearson相關(guān)系數(shù)作為輸入因素對(duì)輸出因素影響程度的度量指標(biāo)。動(dòng)力分析方面，Tao等[4]針對(duì)三塔懸索橋在強(qiáng)風(fēng)作用下的抖振響應(yīng)，以多調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的質(zhì)量比、阻尼比及頻寬比作為影響因素進(jìn)行了單參數(shù)敏感性分析；Zakeri等[5]考慮列車(chē)行過(guò)水平曲線(xiàn)橋時(shí)偏心豎向力和側(cè)向力的激勵(lì)作用，以行車(chē)舒適度為指標(biāo)，以車(chē)橋耦合理論為基礎(chǔ)，對(duì)鐵路超高、列車(chē)速度、軌道質(zhì)量和曲率半徑進(jìn)行了單參數(shù)敏感性分析，由此提出了改善行車(chē)舒適性的措施。

盡管目前在橋梁敏感性分析方面已有不少研究，但這些研究普遍集中于少量影響因素的局部敏感性分析，且往往不考慮模型的非線(xiàn)性及變量間的交互作用；對(duì)于影響因素的不確定性，許多研究采用以某個(gè)比例增大或減少的方式，而不考慮變量本身具有概率分布特征。針對(duì)以上不足，本文以工程實(shí)際中廣泛運(yùn)用的中小跨連續(xù)梁橋?yàn)槔?，采用基于方差的擴(kuò)展傅立葉敏感度檢驗(yàn)法(Extended Fourier Amplitude Sensitivity Test，EFAST)進(jìn)行全局敏感性分析，根據(jù)影響因素本身的分布特征進(jìn)行抽樣計(jì)算，得到衡量影響因素自身對(duì)輸出方差貢獻(xiàn)的一階敏感性指標(biāo)，及包含了與其他因素交互作用對(duì)輸出方差貢獻(xiàn)的高階敏感性指標(biāo)，并以此進(jìn)行排序，指出對(duì)結(jié)構(gòu)安全影響重大的因素及可忽略其不確定性的因素。

1 研究方法

1.1 EFAST法

擴(kuò)展傅立葉敏感度檢驗(yàn)法(EFAST)是基于方差的全局敏感性分析法[6]。在傅立葉幅度靈敏性檢測(cè)法(Fourier Amplitude Sensitivity Test，F(xiàn)AST)的基礎(chǔ)上，結(jié)合Sobol法方差分解的思想，可以計(jì)算一階及高階敏感性指標(biāo)，抽樣次數(shù)[7]與考慮的影響因素的個(gè)數(shù)有關(guān)，計(jì)算量相對(duì)較小且具有良好的穩(wěn)健性。

以Vi表示輸入?yún)?shù)xi的方差，Vi,j，Vi,j,m，V1,2,…,k表示輸入?yún)?shù)間相互作用的方差，V表示輸出總方差，則xi的一階敏感性指標(biāo)Si(主效應(yīng))為：

(1)

xi與其他輸入?yún)?shù)相互作用引起的高階敏感性指標(biāo)(交互效應(yīng))為：

(2)

則包含xi及其相互作用對(duì)總方差貢獻(xiàn)之和的總效應(yīng)STi可表示為：

STi=Si+Si,j+Si,j,m+…+Si,j,…k

(3)

1.2 LSSVM理論

代理模型可以理解為以擬合精度作為約束，通過(guò)近似技術(shù)對(duì)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行回歸或插值，從而預(yù)測(cè)未知響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。最小二乘向量機(jī)(Least Squares Support Vector Machine，LSSVM)將支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)中的不等式約束改為等式約束，從而將解規(guī)劃問(wèn)題變?yōu)榻饩€(xiàn)性方程組，達(dá)到提高求解速度、降低內(nèi)存占用的效果；同時(shí)將訓(xùn)練樣本的誤差平方和損失函數(shù)作為經(jīng)驗(yàn)損失，提高了模型的收斂精度[8]，為常用代理模型之一。

LSSVM不局限于線(xiàn)性模型。設(shè)樣本為n維向量，某區(qū)域的N個(gè)樣本表示為：(x1,y1),(x2,y2),…,(xN,yN)∈Rn×R，通過(guò)核函數(shù)可將數(shù)據(jù)從原始空間Rn映射到高維空間φ(xk)，從而將非線(xiàn)性決策函數(shù)轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性函數(shù)：y(x)=ωφ(x)+b。按照結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，需求解優(yōu)化問(wèn)題：

(4)

式中：c為正則化參數(shù)；ek為松弛因子；ω，b為系數(shù)。引入核函數(shù)K(xi,x)=φ(xi)φ(x)=Ωi，采用Lagrange法求解式(4)則有：

(5)

式中：α為拉格朗日乘子。

采用最小二乘法求解式(5)可得：

y(x)=ω·φ(x)+b

(6)

可在MATLAB平臺(tái)按圖1步驟構(gòu)建模型。

圖1 LSSVM建模流程

基于以上理論，首先確定目標(biāo)變量體系，然后通過(guò)有限元法進(jìn)行初步不確定性計(jì)算，生成代理模型學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)；由代理模型生成整個(gè)樣本空間所需數(shù)據(jù)；最后采用EFAST法進(jìn)行敏感性分析。技術(shù)路線(xiàn)如圖2所示。

圖2 技術(shù)路線(xiàn)

2 案例分析

2.1 工程概況

武漢至孝感高速公路上的某寬幅預(yù)應(yīng)力空心板連續(xù)梁橋橋面寬度為2×(凈12.00+1.00+0.50) m，邊跨長(zhǎng)24.46 m，中跨長(zhǎng)24.40 m。主梁由預(yù)制預(yù)應(yīng)力混凝土空心板和現(xiàn)澆混凝土橋面板組合而成，先簡(jiǎn)支后連續(xù)，墩頂負(fù)彎矩則由橋面板內(nèi)普通鋼筋承擔(dān)；每半橋?qū)捴髁汉?塊空心板，預(yù)制梁高1.25 m，組合梁高1.35 m。設(shè)計(jì)荷載為公路Ⅰ級(jí)荷載。

圖3 半跨寬橋梁橫幅布置/cm

2.2 變量體系

橋梁作為長(zhǎng)期使用的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其安全性受到自身及外部多種因素影響，例如設(shè)計(jì)、施工、年久失修、超載、車(chē)船撞擊及自然災(zāi)害等[9]，但橋梁破壞的機(jī)理在力學(xué)層面上都可以歸結(jié)為外部作用戰(zhàn)勝了結(jié)構(gòu)內(nèi)在抗力。

本文以連續(xù)梁橋成橋后安全性能的敏感性分析為目標(biāo)，參考可靠度評(píng)估中經(jīng)常涉及的參數(shù)，結(jié)合結(jié)構(gòu)受力分析的角度，從材料性能、約束強(qiáng)度及荷載作用這三個(gè)方面，選取共11個(gè)影響因素[10,11]進(jìn)行不確定分析，將其概率分布特征列入表1。

表1 影響因素概率分布特征

參考結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)表達(dá)式定義敏感性分析的評(píng)價(jià)指標(biāo)?？紤]到構(gòu)件承載能力極限狀態(tài)的可靠度計(jì)算中，跨中彎曲破壞及支座剪切破壞是極為常用的兩種失效模式，定義評(píng)價(jià)指標(biāo)Z(M)為單塊空心板彎矩最小安全余量，Z(V)為單塊空心板剪力最小安全余量，表達(dá)公式如下：

(7)

式中：R(M)，R(Q)分別為單塊空心板跨中抗彎承載力及支座處抗剪承載力；S(M)，S(V)分別為單塊空心板跨中彎矩最大值與支座剪力最大值。同時(shí)，為對(duì)梁橋整體狀況有所體現(xiàn)，引入撓度安全余量Z(y)：

Z(y)=L/600-y

(8)

式中：L/600取值橋規(guī)中跨中撓度允許值；y為每次計(jì)算得到的最大撓度。

以上11個(gè)影響因素及3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)共同構(gòu)成敏感性分析的變量體系。

2.3 有限元模型

本文通過(guò)大型有限元軟件ANSYS，采用實(shí)體建模的方式對(duì)該橋上部結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元建模，并進(jìn)行靜力計(jì)算。取SOLID65建立鋼筋混凝土單元，采用整體式模型，利用實(shí)常數(shù)組定義普通鋼筋的配筋率及鋼筋走向；取LINK180作為預(yù)應(yīng)力單元，對(duì)其單獨(dú)進(jìn)行實(shí)體建模，而后通過(guò)CEINTF命令與SOLID65單元耦合形成整體，采用降溫法施加預(yù)應(yīng)力；取MATRIX27單元模擬板式橡膠支座，定義12×12的剛度矩陣模擬支座各個(gè)方向的平動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。采用線(xiàn)彈性材料模型，以控制多次運(yùn)算的計(jì)算代價(jià)。

對(duì)于結(jié)構(gòu)構(gòu)件與自重，通過(guò)添加豎向加速度實(shí)現(xiàn)重力荷載；不考慮瀝青鋪裝的剛度，將其作為一個(gè)面荷載加載于有限元模型。又由于本文僅對(duì)上部結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體靜力分析，故汽車(chē)荷載可按車(chē)道荷載進(jìn)行加載；取設(shè)計(jì)車(chē)道數(shù)為3，荷載等級(jí)公路Ⅰ級(jí)，采用線(xiàn)荷載的方式，根據(jù)設(shè)計(jì)車(chē)道數(shù)及車(chē)輛荷載橫向布置進(jìn)行加載。

由以上建模過(guò)程，得到有限元模型橫截面單元?jiǎng)澐秩鐖D4a所示，將其局部放大則鉸縫處構(gòu)造如圖4b所示，任意一跨的預(yù)應(yīng)力筋排布如圖4c所示，整體見(jiàn)圖4d。

圖4 有限元模型

3 敏感性分析

按照表1的概率分布特征，并將變異度分別乘以0.7，1.0，1.3三個(gè)系數(shù)，對(duì)影響因素分別進(jìn)行100次蒙特卡羅抽樣，以探討變量的離散程度是否對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)造成影響。將抽取的樣本投入有限元模型計(jì)算各個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)中的荷載效應(yīng)值；結(jié)合MATLAB，參考JTG 3362—2018《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》[10]中5.2節(jié)相關(guān)規(guī)定計(jì)算各個(gè)樣本抗力值；由式(7)(8)得到對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果。

將以上有限元計(jì)算結(jié)果每組取60個(gè)樣本作為訓(xùn)練樣本進(jìn)行LSSVM建模，每組取40個(gè)樣本作為測(cè)試樣本測(cè)試模型的有效度。采用有效的LSSVM模型拓展樣本數(shù)據(jù)量，由此進(jìn)行全局敏感性分析。

3.1 LSSVM擬合結(jié)果

為估計(jì)LSSVM模型的有效度，參考文獻(xiàn)[11]，定義有效度如下：

(9)

(10)

式中：yi為第i個(gè)樣本的真實(shí)值；y′i為第i個(gè)樣本的測(cè)試值；n為測(cè)試樣本總量；ei為相對(duì)誤差，M為有效度。按照此定義，可得各組模型有效度如表2所示。

表2 各組LSSVM模型有效度

由表2可見(jiàn)LSSVM均有很好的擬合效果，且以MATLAB的lillitest函數(shù)對(duì)殘差做正態(tài)檢驗(yàn)，返回值均為0，故結(jié)果可信。另以散點(diǎn)圖的方式，以影響因素變異度最小狀況下的撓度余量指標(biāo)為例，對(duì)LSSVM模型的測(cè)試樣本真實(shí)值與預(yù)測(cè)值的差異進(jìn)行比較，可得圖5。該圖可以直觀(guān)地反映出真實(shí)值與預(yù)測(cè)值的差值，由圖5可見(jiàn)，除了個(gè)別異常點(diǎn)，各個(gè)情況下的真實(shí)值與預(yù)測(cè)值均非常接近，部分點(diǎn)甚至完全重合，說(shuō)明代理模型擬合效果優(yōu)良。

圖5 測(cè)試樣本散點(diǎn)比對(duì)

3.2 EFAST全局敏感性分析

結(jié)合表1的概率分布特征及EFAST法的抽樣要求，在Simlab平臺(tái)(敏感性分析軟件)生成輸入?yún)?shù)樣本，通過(guò)LSSVM模型得到其輸出變量，每組1799個(gè)樣本共生成11組，構(gòu)成整個(gè)樣本空間。在此基礎(chǔ)上，利用EFAST法計(jì)算每個(gè)參數(shù)的一階敏感性指標(biāo)(主效應(yīng))，及包含了與其他參數(shù)交互效應(yīng)的高階總敏感性指標(biāo)(總效應(yīng))。以同一輸出指標(biāo)為分組，作出各個(gè)影響因素變異度最小狀況下的敏感性指標(biāo)圖，如圖6所示。

圖6 影響因素COV最小時(shí)各評(píng)價(jià)指標(biāo)敏感度

圖6中，黑色表示主效應(yīng)值，白色對(duì)應(yīng)總效應(yīng)值。由于總效應(yīng)值包含了單因素的主效應(yīng)值及因素間的交互作用引起的效應(yīng)值，故總效應(yīng)恒不小于主效應(yīng)。且由圖6可見(jiàn)，對(duì)于本文中的預(yù)應(yīng)力空心板連續(xù)梁橋而言，本次敏感性分析中選擇的影響因素間的交互作用對(duì)于所有影響因素的敏感性排序無(wú)突出影響。

由圖6a，對(duì)于撓度余量，將影響因素按總效應(yīng)值由大至小排序則有：F7>F9>F4>F1>F5>F8>F3>F11>F10>F6>F2。其中效應(yīng)值數(shù)倍高于其他因素的影響因素有：構(gòu)件密度F7、車(chē)道荷載F9、預(yù)應(yīng)力筋強(qiáng)度F4，其主效應(yīng)值分別為0.426，0.181，0.164，總效應(yīng)值分別為0.453，0.202，0.183；由式(3)可知，效應(yīng)值反映的是該因素對(duì)方差的貢獻(xiàn)在所有因素貢獻(xiàn)總和中的占比，故F7，F(xiàn)9，F(xiàn)4對(duì)撓度余量具有顯著影響；其余因素總效應(yīng)共占比約33%，其中混凝土強(qiáng)度F1占比7%，預(yù)應(yīng)力筋面積F5占6%，橋面鋪裝重度F8占5.4%，Ⅱ級(jí)鋼筋強(qiáng)度F3占比約4%，其影響也不可忽略；剩余4個(gè)因素則總效應(yīng)共占比約10%，影響極小。

同理，對(duì)于彎矩余量，按影響因素總效應(yīng)值由大至小進(jìn)行排序有：F3>F4>F7>F9>F5>F1>F2>F8>F11>F10>F6，其中具有顯著影響的因素為Ⅱ級(jí)鋼強(qiáng)度F3、預(yù)應(yīng)力筋強(qiáng)度F4、構(gòu)件密度F7、車(chē)道荷載F9，其總效應(yīng)值分別為0.372，0.228，0.142，0.120；另有較大影響的因素為預(yù)應(yīng)力筋面積F5和混凝土強(qiáng)度F1。對(duì)于剪力余量，按影響因素總效應(yīng)值由大至小進(jìn)行排序有：F1>F7>F9>F4>F2>F5>F8>F3>F10>F11>F6，其中具有顯著影響的因素為混凝土強(qiáng)度F1、構(gòu)件密度F7 及車(chē)道荷載F9，相應(yīng)的總效應(yīng)值分別為0.464，0.237，0.100。有較大影響的因素有為預(yù)應(yīng)力筋強(qiáng)度F4、Ⅰ級(jí)鋼強(qiáng)度F2、預(yù)應(yīng)力筋面積F5。

對(duì)比三個(gè)不同評(píng)價(jià)指標(biāo)則可發(fā)現(xiàn)，構(gòu)件密度F7和車(chē)道荷載F9對(duì)三個(gè)輸出指標(biāo)均存在顯著影響；而支座彈性模量F6、沖擊系數(shù)F10、均勻溫度荷載F11則在各個(gè)排序中均位于末尾，即對(duì)三個(gè)輸出指標(biāo)均不敏感。且針對(duì)不同的評(píng)價(jià)指標(biāo)影響因素的敏感性差異顯著。

為探究影響因素的不同離散程度對(duì)于因素的敏感性是否存在影響，以撓度余量指標(biāo)為例，將三個(gè)變異度下的影響因素總效應(yīng)值列入表3。

表3 撓度余量重要影響因素不同COV下的總效應(yīng)

表3中列出11個(gè)影響因素中排序前8即較為重要的8個(gè)影響因素的總效應(yīng)值。由表3中數(shù)據(jù)可見(jiàn)，除F11以外的各因素在COV逐步變大的情況下并沒(méi)有表現(xiàn)出任何單調(diào)性；同時(shí)各個(gè)COV下的效應(yīng)值差距不大。由此，本文設(shè)定的COV變化程度下，影響因素的離散程度對(duì)其敏感性程度并無(wú)明顯作用。也從側(cè)面說(shuō)明了EFAST算法具有良好的穩(wěn)定性。

4 結(jié) 論

本文以武漢某高速公路橋?yàn)槔?，建立預(yù)應(yīng)力空心板連續(xù)梁橋有限元模型并進(jìn)行不確定性計(jì)算，在此基礎(chǔ)上結(jié)合LSSVM模型，采用EFAST算法進(jìn)行敏感性分析，針對(duì)本例得到以下結(jié)論：

(1)構(gòu)件密度F7和車(chē)道荷載F9對(duì)于橋梁撓度余量、空心板彎矩余量及剪力余量均存在顯著影響，敏感程度高；而支座彈性模量F6、沖擊系數(shù)F10、均勻溫度荷載F11則對(duì)三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)均得到遠(yuǎn)小于0.1的敏感度指標(biāo)值，即影響較小，可忽略。

(2)對(duì)于不同評(píng)價(jià)指標(biāo)，影響因素的敏感程度存在明顯差異。對(duì)于撓度余量，敏感性由大至小為構(gòu)件密度F7、車(chē)道荷載F9及預(yù)應(yīng)力筋強(qiáng)度F4影響顯著；對(duì)于彎矩余量，敏感性由大至小有為Ⅱ級(jí)鋼強(qiáng)度F3、預(yù)應(yīng)力筋強(qiáng)度F4、構(gòu)件密度F7及車(chē)道荷載F9影響顯著；對(duì)于剪力余量，敏感性由大至小有為混凝土強(qiáng)度F1、構(gòu)件密度F7及車(chē)道荷載F9影響顯著。

(3)由本文設(shè)定的三種影響因素離散程度可見(jiàn)，因素離散程度的變化不一定能影響其敏感性程度。