黃 普，郭 璞，張國(guó)雪，張軍峰

(1 宇航動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710043; 2 西安衛(wèi)星測(cè)控中心， 西安 710043)

0 引言

隨著航天科技的發(fā)展，在軌衛(wèi)星的應(yīng)用越來越多，在導(dǎo)航、通信、氣象等領(lǐng)域發(fā)揮著不可替代的作用，而軌道確定則是衛(wèi)星應(yīng)用的基礎(chǔ)，特別是實(shí)時(shí)軌道確定，在衛(wèi)星碰撞規(guī)避、隕落解體，機(jī)動(dòng)變軌、精準(zhǔn)打擊發(fā)揮越來越重要的作用。而實(shí)時(shí)軌道確定問題本質(zhì)上是濾波問題[1-6]，考慮到實(shí)際應(yīng)用中，狀態(tài)方程和觀測(cè)方程均為非線性，所以定軌問題也可稱為非線性濾波問題。

非線性濾波問題在當(dāng)前主要采用飛行器的位置速度形式，然而飛行器的空間定位還可以通過軌道六要素形式描述，這兩種描述形式內(nèi)在含義相同，但是存在較為復(fù)雜的非線性轉(zhuǎn)換，會(huì)對(duì)濾波系統(tǒng)產(chǎn)生很大影響，必須對(duì)非線性濾波算法進(jìn)行深入分析，選擇合適的濾波器。非線性濾波器主要有擴(kuò)展卡爾曼濾波器(extend kalman filter，EKF)，無味卡爾曼濾波器(unsence kalman filter，UKF)和粒子濾波器(particle filter, PF)。粒子濾波運(yùn)算量較大，實(shí)時(shí)性差，不適合實(shí)時(shí)應(yīng)用；在同等計(jì)算量的前提下，UKF算法精度高于EKF算法，目前逐步成為主流算法，但UKF需要設(shè)置合理的采樣點(diǎn)參數(shù)，才能得到理想的結(jié)果。文獻(xiàn)[7]提出了基于Cubature變換的容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter，CKF)，它采用一種等權(quán)值的容積點(diǎn)集來解決濾波的參數(shù)設(shè)置問題，為非線性濾波提供新思路。

文中從軌道六要素的估計(jì)出發(fā)，考慮到初始先驗(yàn)信息對(duì)濾波器的影響，采用基于軌道六要素的動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用改進(jìn)型——平方根容積卡爾曼濾波方法(square root cubature kalman filter，SRCKF)[8-9]。針對(duì)單測(cè)站的跟蹤測(cè)量方式設(shè)計(jì)了不同的實(shí)時(shí)軌道確定方法，并對(duì)幾種方法進(jìn)行仿真試驗(yàn)，結(jié)果表明該算法在軌道六要素的估計(jì)上具有更高的穩(wěn)定性和精度，適合工程應(yīng)用。

1 軌道六要素狀態(tài)模型

假設(shè)初始時(shí)刻衛(wèi)星軌道六要素已知，攝動(dòng)力分解為徑向分量fr，橫向分量ft和軌道面法向分量fh，則系統(tǒng)動(dòng)學(xué)模型為：

(1)

式中：r=a(1-ecosE)，p=a(1-e2)，E是偏近點(diǎn)角，可通過平近點(diǎn)角計(jì)算。

軌道六要素狀態(tài)模型與傳統(tǒng)的位置速度狀態(tài)模型相比，在攝動(dòng)因素較多的情況下，方程右函數(shù)均為復(fù)雜函數(shù)。但在同一精度要求下，采用軌道六要素的形式可以選擇較大積分步長(zhǎng)，對(duì)測(cè)量信息的頻率要求不高。如果取相同步長(zhǎng)，基于軌道六要素的方式局部截?cái)嗾`差明顯減少，模型精度提高。所以，在攝動(dòng)加速度復(fù)雜的情況下，僅考慮一步預(yù)測(cè)，選擇軌道六要素的形式，會(huì)提高計(jì)算效率。

(2)

由觀測(cè)方程可以看出，用軌道六要素從幾何上不能直接描述觀測(cè)量[10]，只能通過位置速度與軌道六要素轉(zhuǎn)換間接表示。

2 平方根CKF濾波器設(shè)計(jì)

動(dòng)力學(xué)方程(1)和測(cè)量方程(2)能寫成如式(3)形式：

xk+1=f(xk,wk),zk=h(xk,vk)

(3)

1)計(jì)算容積點(diǎn)

(4)

2)非線性傳播采樣點(diǎn)

(5)

3)計(jì)算狀態(tài)預(yù)測(cè)

(6)

4)計(jì)算估計(jì)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣的平方根

(7)

5)計(jì)算容積點(diǎn)

(8)

6)計(jì)算非線性傳遞觀測(cè)信息容積點(diǎn)

Zj,k+1|k=h(Xj,k+1|k)

(9)

7)計(jì)算量測(cè)預(yù)測(cè)

(10)

8)計(jì)算新息協(xié)方差矩陣的平方根

(11)

9)計(jì)算協(xié)方差矩陣

(12)

10)計(jì)算濾波增益

(13)

11)更新狀態(tài)估計(jì)

(14)

12)計(jì)算狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差的平方根

(15)

3 實(shí)驗(yàn)與應(yīng)用

為了驗(yàn)證該算法的性能和精度，本節(jié)根據(jù)仿真實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，分析比較了傳統(tǒng)的基于位置速度的平方根UKF卡爾曼濾波方法和基于軌道六要素的平方根UKF濾波方法的差異。設(shè)在軌航天器的初始軌道六要素為：積日：23 212，積秒：52 351.000，半長(zhǎng)軸a=22 087 961.693 m，偏心率e=0.892 4，傾角i=29.445 5°，升交點(diǎn)赤經(jīng)o=27.601 8°，近地點(diǎn)輻角w=357.836 2°，平近點(diǎn)角m=8.384 4°。在實(shí)際應(yīng)用中，不可能測(cè)得精確的目標(biāo)航天器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)初值，即濾波初值與實(shí)際狀態(tài)會(huì)有偏差，因此，濾波初值在仿真初始軌道上增加偏差，基于位置速度的狀態(tài)模型增加偏差如下：

初始狀態(tài)方差為：

P=diag{(10 000,10 000,10 000,10,10,10)}

基于軌道六要素的狀態(tài)模型增加偏差如下：

初始狀態(tài)方差為：

P=diag{(30 000,0.01,0.02,0.02,0.02,0.02)}

采用單套USB雷達(dá)設(shè)備跟蹤了飛行過程，設(shè)備的數(shù)據(jù)頻率為1 s，測(cè)距噪聲為20 m，測(cè)角噪聲為0.005°。在軌航天器理論三維彈道如圖1，測(cè)站跟蹤俯仰角變化如圖2。采用兩種濾波方法對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行跟蹤測(cè)量。為清楚表達(dá)兩種方法濾波效果，可通過軌道半長(zhǎng)軸及傾角變化曲線比較，如圖3～圖6。

圖1 在軌航天器跟蹤弧段

圖2 俯仰角變化圖

圖3 半長(zhǎng)軸變化圖

由圖3～圖6的仿真結(jié)果可以看出，使用基于軌道六要素的濾波方法精度高于位置速度方法，從收斂性角速度看，兩種算法在初始狀態(tài)偏差的情況下，均能快速收斂，但基于軌道六要素的平方根CKF濾波方法收斂更加快速，輸出更加穩(wěn)定。從濾波性能來說，由于時(shí)間主要花費(fèi)在狀態(tài)方程積分計(jì)算上，采用位置速度描述方式濾波需要146 s，而采用平方根CKF濾波方法僅需112 s，文中方法也能提高計(jì)算效率。

圖4 半長(zhǎng)軸局部放大變化圖

圖5 傾角變化圖

圖6 軌道傾角局部放大變化曲線

4 結(jié)論

文中分析了具有先驗(yàn)信息的情況下，采用軌道六要素描述方式對(duì)實(shí)時(shí)定軌的影響，考慮到濾波過程中可能出現(xiàn)協(xié)方差陣的非正定性，應(yīng)用改進(jìn)容積卡爾曼濾波方法——平方根容積卡爾曼濾波方法，針對(duì)單測(cè)站的跟蹤測(cè)量，通過基于軌道六要素和位置速度兩種實(shí)時(shí)軌道確定方法，驗(yàn)證算法的有效性，結(jié)果表明基于軌道六要素的濾波算法在具有先驗(yàn)信息的估計(jì)上具有更高的穩(wěn)定性和精度，適合工程應(yīng)用。