歐陽(yáng)亮 胡典順

摘 ? ?要：LFSTM體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決技能、方法之間的聯(lián)系. LFSTM為中學(xué)數(shù)學(xué)解題等價(jià)輔助鏈的產(chǎn)生提供了方向，同時(shí)也為數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)課程的“凝聚”帶來(lái)契機(jī).當(dāng)然，這些“凝聚”是以思維的“凝聚”為中心，方法和課程的“凝聚”是為了更好地落實(shí)思維的“凝聚”.

關(guān)鍵詞：LFSTM;方法;思維;課程;凝聚

現(xiàn)階段課程體系包含國(guó)家課程、地方課程和校本課程，地方課程和校本課程是對(duì)國(guó)家課程的補(bǔ)充和完善.雖然地方課程和校本課程在設(shè)置和選擇上有較強(qiáng)的自主性，但教育教學(xué)活動(dòng)依然是以學(xué)科知識(shí)、方法、技能為主，學(xué)科思維為輔.這種教育教學(xué)活動(dòng)重在知識(shí)學(xué)習(xí)的系統(tǒng)性、完整性和嚴(yán)謹(jǐn)性，有助于學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)，實(shí)現(xiàn)“雙基”目標(biāo)，雖然在教育中也滲透著對(duì)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，但關(guān)注程度依然不夠.張景斌、王尚志[1]指出數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是理性思維的教育.本文基于LFSTM的數(shù)學(xué)課堂“凝聚”，除了關(guān)注學(xué)生“雙基”“六能”的培養(yǎng)外，還注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的建構(gòu).

一、LFSTM的分析

（一）中學(xué)數(shù)學(xué)解題的LFSTM模式

把數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，指引等價(jià)輔助題目鏈朝著元素化少、化熟和化同的方向進(jìn)行變換的思維模式稱作“少熟同思維模式” （Less-Familiar-Same Thinking Model），即LFSTM[2]. LFSTM為中學(xué)數(shù)學(xué)解題等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生提供方向.

（二）LFSTM為課堂的轉(zhuǎn)變帶來(lái)契機(jī)

1.LFSTM體現(xiàn)知識(shí)模塊間思維習(xí)慣的異同，實(shí)現(xiàn)不同模塊知識(shí)之間思維習(xí)慣的整合，達(dá)到“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的效果

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想方法嚴(yán)謹(jǐn)而系統(tǒng)，但在問(wèn)題解決的靶向上缺乏指導(dǎo)，從而導(dǎo)致很多學(xué)生在習(xí)得知識(shí)與技能后，不會(huì)應(yīng)用于實(shí)踐，不會(huì)靈活地分析和解決問(wèn)題.這和傳統(tǒng)教育教學(xué)活動(dòng)主要是按知識(shí)、方法和技能開(kāi)展的有關(guān)，這樣的方式讓學(xué)生往往缺少對(duì)各種知識(shí)、方法、技能之間聯(lián)系的感知，造成整體思維的割裂.學(xué)習(xí)是存在遷移的，遷移產(chǎn)生一部分是由于思維能力的提高，而另一部分是由于各種知識(shí)、方法和技能之間存在思維的相似性，這種相似性的發(fā)現(xiàn)有利于學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新方法和新技能的習(xí)得以及思維、知識(shí)體系網(wǎng)絡(luò)化的形成.

2.LFSTM回答了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決活動(dòng)中的“為什么”，實(shí)現(xiàn)對(duì)兩個(gè)“為什么”的明確合理的闡述

現(xiàn)在絕大部分教師在教學(xué)中往往對(duì)“為什么”沒(méi)有做出合理的解釋，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知和批判性思維的培養(yǎng)有所欠缺，特別是在解決比較復(fù)雜的問(wèn)題上.比如，該問(wèn)題“為什么”要這樣分析和處理？“為什么”要形成這樣的思維習(xí)慣？“為什么”其他思維方式不合適？等等.這些“為什么”的合理解決恰恰是教師素養(yǎng)和素質(zhì)的體現(xiàn).

“為什么”問(wèn)題要這么解決？“為什么”問(wèn)題不這么解決就不可以？這兩個(gè)“為什么”從元認(rèn)知和批判性思維的角度給出，是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn).比如，“為什么”問(wèn)題要這么解決，是因?yàn)榍疤?、背景的原因，還是結(jié)論、目標(biāo)的原因，還是具體思維習(xí)慣的原因，還是知識(shí)本身發(fā)展規(guī)律的原因等.這些原因的弄清是一個(gè)很有意思的過(guò)程，會(huì)給學(xué)生帶來(lái)成就感，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

3.知識(shí)來(lái)源于生活，LFSTM是對(duì)生活的提煉、抽象和總結(jié)

教師的教育教學(xué)要融入生活的元素.這些元素不單單是生活的實(shí)例或以生活為背景，更重要的是生活與知識(shí)在思維習(xí)慣上的融合（比如，生活中我們?nèi)绾嗡伎冀鉀Q一個(gè)棘手的問(wèn)題？而在學(xué)科問(wèn)題上是否也有相同的思維習(xí)慣？）.但這恰恰就是現(xiàn)在教育教學(xué)中缺少的一個(gè)環(huán)節(jié)，因?yàn)檫@個(gè)環(huán)節(jié)的缺少導(dǎo)致很多學(xué)生覺(jué)得學(xué)習(xí)是枯燥的、無(wú)聊的.

數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)的思想方法也源于生活.生活中我們解決問(wèn)題總是喜歡簡(jiǎn)潔簡(jiǎn)單的處理方式，喜歡應(yīng)用自己熟悉的處理方法.數(shù)學(xué)的思維模式也是如此.對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)什么是容易解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題？答案是一定的：未知數(shù)少、參變量少、次冪少、問(wèn)題模型熟悉、問(wèn)題模式相同等.簡(jiǎn)潔一點(diǎn)說(shuō)就是要“少”“熟”“同”.所以解決實(shí)際生活問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維模式是趨同的.

二、基于LFSTM的課堂實(shí)踐

我們以高中數(shù)學(xué)函數(shù)值域的求解為例來(lái)進(jìn)行展示、分析和說(shuō)明.

（一）以“少”解題——案例1：函數(shù)值域求法一

（二）以“熟”化歸——案例2：函數(shù)值域求法二

三、基于LFSTM的數(shù)學(xué)課堂“凝聚”

（一）數(shù)學(xué)方法的“凝聚”

1. 案例一課堂分析

在本節(jié)課中，教師盡量淡化數(shù)學(xué)的解題方法，將方法“凝聚”為“化少”，更多地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)解題等價(jià)輔助題目鏈的產(chǎn)生是朝著“化少”展開(kāi)的.在 “化少”的思維引導(dǎo)過(guò)程中，自然而然地把傳統(tǒng)的思想方法滲透進(jìn)來(lái)，達(dá)到“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的效果.比如，在求值域的化少過(guò)程中，就悄無(wú)聲息地融入“配方法和分離常量法”，避免了生搬硬套和學(xué)生在不理解的情況下死記硬背.

2. 案例二課堂分析

在本節(jié)課中，教師采用變式教學(xué)，環(huán)環(huán)相扣，引人入勝.在變式的設(shè)計(jì)、利用變式開(kāi)啟學(xué)生的思維上，緊緊圍繞“化熟”來(lái)展開(kāi).每一變式的思考方向都是指向前面“熟悉”的例題，將方法“凝聚”為“化熟”.而課堂最后的畫龍點(diǎn)睛“在生活中，何嘗不是如此.我們?cè)谔幚硇率挛飼r(shí)，總是參照我們‘熟悉的、‘類似的事物入手，盡量用我們‘熟知的方式方法來(lái)解決”更是將生活與數(shù)學(xué)相融.由此，讓學(xué)生從生活中深刻領(lǐng)悟“化歸”思想，以達(dá)到熟練應(yīng)用的目的.

（二）數(shù)學(xué)思維的“凝聚”

1.以“少”為中心的“凝聚”

課堂上，在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下，學(xué)生的學(xué)習(xí)激情被點(diǎn)燃，思維逐漸深入，拾級(jí)而上，最后對(duì)問(wèn)題解決的“畫龍點(diǎn)睛”讓思維“返璞歸真”.如案例1，問(wèn)題設(shè)置[x]的個(gè)數(shù)逐漸增多，師生互動(dòng)緊緊圍繞如何將[x]的個(gè)數(shù)變“少”而展開(kāi)，中心目的明確，但思維強(qiáng)度逐漸增加.圍繞變“少”這個(gè)核心，讓思維發(fā)散，但“散（sàn）而不散（sǎn）”，特別是“大家回想下我們生活中處理問(wèn)題的時(shí)候，是不是也是尋找‘最簡(jiǎn)潔的處理方式，而‘最簡(jiǎn)潔何嘗不是‘少呢？”讓生活和數(shù)學(xué)趨同，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思維“返璞歸真”.

2.以“熟”為中心的“凝聚”

課堂中教師提問(wèn)能有效激發(fā)和維持學(xué)生的思維，并實(shí)現(xiàn)思維的“凝聚”.教師根據(jù)關(guān)鍵教學(xué)事件設(shè)計(jì)核心問(wèn)題串來(lái)激發(fā)學(xué)生的思維[3]，一系列提問(wèn)的背后蘊(yùn)藏著學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深入思考.課堂上師生之間是朋友，大家熱烈地討論，相互“質(zhì)問(wèn)”，思維在碰撞與交鋒中升華.如案例2，問(wèn)題串“[y=3x2-2x+1x2]→[y=xx2+x+1]→[y=x+1x2+x+1]→[y=x2+1x2+x+1]→[y=x2x2+x+1]→[y=2x2+1x2+2x+1]”的設(shè)計(jì)將前一個(gè)問(wèn)題作為后一個(gè)問(wèn)題的“熟悉”的范例，讓學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中體會(huì)如何將“陌生”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“熟悉”范例.而“[y=x2x2+x+1]”所產(chǎn)生的解題方法分歧與思維碰撞，讓學(xué)生的思維得到升華.一句“大家可以發(fā)現(xiàn)分子和分母中，只要有一個(gè)化成單項(xiàng)式后，函數(shù)的值域就好求了！”點(diǎn)出問(wèn)題串最“熟悉”的范例，展示問(wèn)題串“萬(wàn)變不離其宗”的本質(zhì)，讓思維得到“凝聚”，這種“凝聚”實(shí)現(xiàn)思維從“過(guò)程”向“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化.鄭毓信[4]指出數(shù)學(xué)的不少概念在最初是作為一個(gè)過(guò)程得到引進(jìn)的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成一個(gè)對(duì)象.案例中基于問(wèn)題串的教學(xué)行為引導(dǎo)學(xué)生由解決問(wèn)題的“過(guò)程”開(kāi)始，經(jīng)過(guò)問(wèn)題變化，使得“過(guò)程”得到強(qiáng)化，最終形成學(xué)生個(gè)體心理圖式中的“對(duì)象”.思維的“凝聚”過(guò)程，涉及學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知調(diào)節(jié)，包括計(jì)劃、檢查、監(jiān)測(cè)、修改、評(píng)價(jià)等，讓學(xué)生在此過(guò)程中體會(huì)到元認(rèn)知策略性思考與調(diào)控的重要.

（三）課程內(nèi)容的“凝聚”

課堂是基于LFSTM設(shè)計(jì)的，所以課程內(nèi)容在落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的同時(shí)對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行了重新調(diào)整.這種調(diào)整包括課程內(nèi)容順序上的調(diào)整和分類的調(diào)整.比如在函數(shù)值域教學(xué)內(nèi)容的安排上，是以LFSTM為順序?qū)?nèi)容進(jìn)行編排的，依次講解化“少”和化“熟”，這與以往的以問(wèn)題解決方法為順序編排的教學(xué)內(nèi)容不相同.以問(wèn)題解決方法為順序編排的教學(xué)內(nèi)容沒(méi)有體現(xiàn)方法之間的聯(lián)系，沒(méi)有揭示思維的本質(zhì).比如求值域的配方法、分離常量法、輔助角公式、換元法等在以往的課程安排中都是獨(dú)立的，問(wèn)題解決方法之間沒(méi)有聯(lián)系，但是在LFSTM下，這些方法都可以劃歸到化“少”的范疇.由于在LFSTM基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的課程不再完全按照問(wèn)題解決的方法來(lái)對(duì)內(nèi)容進(jìn)行劃分，所以內(nèi)容的分類也進(jìn)行了相應(yīng)的調(diào)整.這種調(diào)整就是由以方法為依據(jù)進(jìn)行的課程內(nèi)容分類變?yōu)榱艘訪FSTM為依據(jù)的分類.以LFSTM為依據(jù)的分類在體現(xiàn)原有問(wèn)題解決方法的同時(shí)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)方法的異同和聯(lián)系，并從思維模式上對(duì)這些方法進(jìn)行原理分析，從思維上對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行重新“凝聚”.

通過(guò)案例的展示和分析，我們發(fā)現(xiàn)LFSTM體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決技能、方法之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體理解和掌握，有利于思維的“凝聚”，有利于建構(gòu)學(xué)生個(gè)體的數(shù)學(xué)心理圖式，也有利于在問(wèn)題解決過(guò)程中對(duì)個(gè)體心理圖式中概念、知識(shí)和方法的提取.LFSTM為中學(xué)數(shù)學(xué)解題等價(jià)輔助鏈的產(chǎn)生提供了方向，同時(shí)也為數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)課程的“凝聚”帶來(lái)契機(jī).當(dāng)然，這些“凝聚”是以思維的“凝聚”為中心，方法和課程的“凝聚”是為了更好地落實(shí)思維的“凝聚”.

參考文獻(xiàn)：

[1]張景斌，王尚志.中學(xué)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)為中學(xué)生創(chuàng)造發(fā)展空間[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2001（2）：11-15.

[2]歐陽(yáng)亮，胡典順，張玉環(huán).中學(xué)數(shù)學(xué)解題的LFSTM模式[J].教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2019（4）：43-45.

[3]曹一鳴，王振平.基于學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力發(fā)展的教學(xué)改進(jìn)研究[J].教育科學(xué)研究， 2018（3）：61-65.

[4]鄭毓信.數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].課程·教材·教法， 2004（4）：28-32.